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1、第 1 页 共 9 页广东四校联考 2011 届高三上学期期末考试数学（文）试题联考学校：深圳中学、广雅中学、华南师大附中、广东省实验中学本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 【注意事项】 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名考号填写在答题卡上。 2选择题的答案一律做在答题卡上，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，
2、然后再写上新的答案；不准使用铅笔 和涂改液不按以上要求作答的答案无效。 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。 参考公式：1锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高1 3VSh2方差公式，其中是平均数2211()ni isxxn一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的1设全集，集合，则实数的值是（ ）1,3,5,7,9U 1,|5|,9Aa5,7UA A2 B8 C或 8 D2 或 822在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）1i izzA第一象限 B第二象限 C第
3、三象限 D第四象限3某简单几何体的三视图如图所示，其正视图侧视图俯视图 均为直角三角形，面积分别是 1，2，4，则这个几何体的体积 为（ ）A B 4 38 3C4 D84设为等比数列的前项和，已知，nS na3432Sa，则公比（ ）2332Saq A3 B4 C5 D65过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，则的外接圆方程是224xy(4,2)P,A BABP侧视图正视图俯 视 图第 2 页 共 9 页（ ）A B22(4)(2)1xy22(2)4xyC D22(2)(1)5xy22(2)(1)5xy6下图是把二进制数化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是(2)11111（
4、）A B C D4i 5i 4i 5i 7已知凸函数的性质定理：“若函数在区间上是凸函数，则对于区间内的任意，有：( )f x12,nx xx”若函数在区间上是凸函数，则12 121 ()()()()n nxxxf xf xf xfnnsinyx(0, )在中，的最大值是（ ）ABCsinsinsinABCA B C D1 23 23 3 23 28设是三角形的一个内角，且，则方程表示的曲线是1sincos522sincos1xyA焦点在轴上的双曲线 B焦点在轴上的椭圆 C焦点在轴上的双曲线 D焦点在轴上的椭圆9已知平面上直线的方向向量，点和在直线的正射影分别是和，31(,)22e (0,0)
5、O( 2,2)P OP且，则等于（ ）O Pe A B C D2( 31)2( 31)( 31)3110若对于任意的，函数总满足，则称在区间上， , xa b( ), ( )f x g x( )( )1 ( )10f xg x f x , a b可以代替 若，则下列函数中，可以在区间上代替的是( )g x( )f x( )f xx4,16( )f x（ ）A B C D( )2g xx1( )4g xx1( )(6)5g xx( )26g xx二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分其中 1415 题是选做题，考生只能选做 一题，两题全答的，只计算前一题得分。11期末考试
6、后，班长算出了全班 50 名同学的数学成绩的平均分为，方差为 如果把当成x2 1sx否是开始S=1+2Si=i+1输出 S结束i=1, S=1第 3 页 共 9 页一个同学的分数，与原来的 50 个分数一起，算出这 51 个分数的方差为，那么 * 2 2s2 1 2 2s s12若关于的方程有两个相异的实根，则实数的取值范围是 * 120xaa13在中，角所对的边分别为，若，则边上的中线ABC, ,A B C, ,a b c7,8,9abcAC长为 * 14 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点在曲线上，点在直线上，则的最小值是 2sin()4cos1 |AB* 15 （几何证明选讲选做
7、题） 如图，已知与圆相切于，半径，交于，,，则 * PAOCOPACPO1OC 2OP PB 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分）已知向量，函数 (2sin,cos )42xxm (cos, 3)4xn ( )f xm n （1）求的最小正周期；( )f x（2）若，求的最大值和最小值0x ( )f xABCOP第 4 页 共 9 页17 （本小题满分 12 分）在棱长为 1 的正方体中，分别是棱的中点1111ABCDABC D,E F G H1111,AB CC D A BB（1）证明：平面；/FH1AEG（2）证
8、明：；AHEG（3）求三棱锥的体积1AEFG18 （本小题满分 14 分）已知函数，其中为常数3221( )(1)3f xxaxb x, a b（1）当时，求函数的单调递增区间；6,3ab( )f x（2）若任取，求函数在上是增函数的概率0,4,0,3ab( )f x19 （本小题满分 14 分）某单位为解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为的宿舍2(m )A楼已知土地的征用费为 2388 元/，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2m 25 倍 经工程技术人员核算，第一二层的建筑费用都为 445 元/，以后每增高一层，2m 其建筑费用就增加 30 元/ 试设计这幢宿
9、舍楼的楼高层数，使总费用最小，并求出其最小2m 费用 （总费用为建筑费用和征地费用之和）ABCDA1B1C1D1EFGH第 5 页 共 9 页20 （本小题满分 14 分）设，点在轴的负半轴上，点在轴上，且(1,0)FM,MPPNPMPF （1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；（2）若，是否存在垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求(4,0)AAN出直线的方程；若不存在，请说明理由21 （本小题满分 14 分）设函数，方程有唯一解，其中实数为常数，( )(2)xf xa x( )xf x12()2013f x* 1()()nnf xxnN（1）求的表达式；( )f x（2
10、）求的值；2011x（3）若且，求证：44023n nax22 *11()2nn n nnaabnaaN121nbbbn第 6 页 共 9 页参考答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分 题号12345678910 答案DBABDACDCC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分11 ； 12 ； 137 ； 14 ； 1551 501(0, )22 23三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分 16 （本小题满分 12 分）解：（1）-4 分( )2sincos3cossin3cos2sin()4422223xxxxxxf x的最小正
11、周期-6 分( )f x4T（2） 0x，当，即时，有最大值 2； -8 分5 3236x232x3x( )f x当，即时，有最小值 1 -12 分5 236xx( )f x17 （本小题满分 12 分）解：（1）证明： -2 分111111/,/,/FHBC BCAGFHAG又平面，平面，1AG 1AGEFH 1AGE平面 -4 分/FH1AEG（2）平面，平面，1AG 11ABB AAH 11ABB A-5 分1AHAG又11,ABHA AEHABEA A ， -6 分11190 ,90A AHHABA AHEA A 1AHAE又，平面， -7 分111AGAEAAH1AEG平面，故 -8
12、 分EG 1AEGAHEG（3）连结，由（1）得平面， -9 分1,HA HE HG/FH1AEG 11HA EGFA EGVV又， -10 分 11 111 111131 14488A EHABB AA AEA B HEBHSSSSS 11 2AG -12 分 11111111311 338216AEFGFA EGHA EGGA EHA EHVVVVSAGAABCDA1B1C1D1EFGH第 7 页 共 9 页18 （本小题满分 14 分）解：（1）当时， -2 分6,3ab321( )593f xxxx2( )109fxxx令，,解得或，-4 分2( )1090fxxx(1)(9)0xx1
13、x 9x 故函数的单调递增区间分别为和 -6 分( )f x(,19,)（2）22( )2(1)fxxaxb若函数在上是增函数，则对于任意，恒成立( )f xxR( )0fx所以，即 -8 分224(1)40ab (1)(1)0abab设“在上是增函数”为事件，则事件对应的区域为( )f x( , )|(1)(1)0a babab全部试验结果构成的区域，如图 -12 分( , )|04,03a bab 所以，11341 13 3722( )3412SP AS 阴影故函数在上是增函数的概率为 -14 分( )f x7 1219 （本小题满分 14 分） 解：设楼高为层，总费用为元，则征地面积为，征地费用为元，-2 分22.5()Amx5970A x楼层建筑费用为元，从而30445445(44530)(445302)44530(2)(15400)AxxAxx-8 分59703015400AAyxAAxx(0)x 整理化简，得 -12 分60006000(15400)(2 15400)1000 ()yxAxAAxx元当且仅当，解得（层）时，总费用最小 -13 分600015xx20x 故当这
