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1、直线与平面平行教案直线与平面平行教案 证明直线与平面平行的常用方法有:(1)根据定义,用反证法证明(2)证明直线在 平面外且与平面内的某一条直线平行(3)证明直线在与已知平面平行的平面内(4)向量 法,证明直线的一个方向向量,能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直例例 1 如下图,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB,MAC,NFB 且 AM=FN,求证:MN平面 BCE 证法一:过 M 作 MPBC,NQBE,P、Q 为垂足,连结 PQMPAB,NQAB,MPNQ又 NQ=22BN=22CM=MP,MPQN 是平行四边形MNPQ,PQ平面 BCE而 M
2、N平面 BCE,MN平面 BCE 例例 2 如下图,正方体 ABCDA1B1C1D1中,侧面对角线 AB1、BC1上分别有两点 E、F,且 B1E=C1F 求证:EF平面 ABCD 证法一:分别过 E、F 作 EMAB 于点 M,FNBC 于点 N,连结 MNBB1平面 ABCD, BB1AB,BB1BC EMBB1,FNBB1EMFN 又 B1E=C1F,EM=FN 故四边形 MNFE 是平行四边形EFMN 又 MN 在平面 ABCD 中, EF平面 ABCD 例例 3 已知正四棱锥 PABCD 的底面边长及侧棱长均为 13,M、N 分别是 PA、BD 上 的点,且 PMMA=BNND=58
3、 (1)求证:直线 MN平面 PBC; (2)求直线 MN 与平面 ABCD 所成的角 (1)证明:PABCD 是正四棱锥,ABCD 是正方形连结 AN 并延长交 BC 于 点 E,连结 PE ADBC,ENAN=BNND 又BNND=PMMA,ENAN=PMMA MNPE 又PE 在平面 PBC 内,MN平面 PBC (2)解:由(1)知 MNPE,MN 与平面 ABCD 所成的角就是 PE 与平 面 ABCD 所成的角 设点 P 在底面 ABCD 上的射影为 O,连结 OE,则PEO 为 PE 与平面 ABCD 所成的角 由正棱锥的性质知 PO=22OBPB =2213由(1)知,BEAD
4、=BNND=58,QPN MFEDCBAN MGFED1C1B1A1DCBAPNMDCBAPNMEDCBABE=865在PEB 中,PBE=60,PB=13,BE=865,根据余弦定理,得 PE=891在 RtPOE 中,PO=2213,PE=891,sinPEO=PEPO=724故 MN 与平面 ABCD 所成的角为 arcsin724例例 4 在直三棱柱 ABCA1B1C1中,AB1BC1,AB=CC1=a,BC=b (1)设 E、F 分别为 AB1、BC1的中点, 求证:EF平面 ABC; (2)求证:A1C1AB; (3)求点 B1到平面 ABC1的距离 (1)证明:E、F 分别为 A
5、B1、BC1的中点,EFA1C1A1C1AC,EFAC EF平面 ABC (2)证明:AB=CC1,AB=BB1 又三棱柱为直三棱柱, 四边形 ABB1A1为正方形连结 A1B,则 A1BAB1 又AB1BC1,AB1平面 A1BC1AB1A1C1 又 A1C1AA1,A1C1平面 A1ABB1A1C1AB (3)解:A1B1AB,A1B1平面 ABC1A1到平面 ABC1的距离等于 B1到平面 ABC1的距离 过 A1作 A1GAC1于点 G,AB平面 ACC1A1, ABA1G 从而 A1G平面 ABC1,故 A1G 即为所求的距离,即 A1G=ba22ab 评述:本题(3)也可用等体积变
6、换法或向量法求解 例例 5 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M,N,Q 分别是 棱 A1A,A1B1,A1D1,CB,CC1,CD 的中点, 求证:平面 EFG平面 MNQ 分析:只要证明平面 EFG 内的两条相交直线 EF,FG 分别与平面 MNQ 内的两条直线 QN 和 MQ 平行即可 证法一:由已知 EFAB1,AB1DC1,DC1QN, EFQN,同理 FGMQ 所以,面 EFGMNQ 证法二:建立空间直角坐标系,如图,设正方体的棱长为 2,PNMEDCBAA BECGA1C1 B1F则 E(0,0,1) ,F(1,0,2) , G(0,1,2)
7、 ,M(2,1,0) , N(2,2,1) ,Q(1,2,0)EF=(1,0,1) ,QN=(1,0,1) ,FG=(-1,1,0) ,EF=QN,MQFG EFQN,FGMQ,又 EFFG=F,QNMQ=Q, 所以,平面 EFG平面 MNQ例 6 如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,平面,PABCDABACPA ABCD 且 ,点是的中点. PAABEPD ()求证:ACPB; (11)证明 PB平面 ACE例 7 如图,在正三棱锥中,、分别是棱、上的点,且SABCDEFACBCSC ,是的中点.2CDDA2CEES2CFFBGAB求证:平面平面; 1SABDEF求证:平面 2SGDEF例
8、8 如图,在四棱锥中,SABCD 底面为正方形,侧棱底面,ABCDSDABCD、分别为的中点EFAB SC,(1)证明 EF 平行于平面 SADQGNMFED1C1B1A1DCBAxzyAEBCFSDABCEFDS例 9 右图是一个直三棱柱(以为底面)被一平面所截得到的几何体,截面111ABC为已知,ABC11111ABBC11190ABCo 14AA 12BB 13CC (1)设点是的中点,证明:平面;OABOC111ABC例 10、如图,在边长为 a 的菱形 ABCD 中,E,F 是 PA 和 ABABCDPCABC面面 ,60o的中点。 (1)求证: EF|平面 PBC ;例 11. 如
9、图:在三棱锥中,已知点、分别为棱、的中SABCDEFACSASC 点.()求证:平面;EFABC()若,求证:平面平面.SASCBABCSBDABCABCO1A1B1CABCDPEFABCDOPE例 12 .如图,四棱锥中,底面是正方形,是正方形的中心,ABCDABCDOABCDPO 底面,是的中点ABCDEPC 求证:()平面;PABDE()平面平面.PACBDE练习:1.已知在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,E 为 PC 的中点,O 为 BD 的中点. 求证:OE /平面 ADP2.已知在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形, E 为 PC 的中 点. 求证:
10、PA/平面 BDE9.如图, ,E F O分别为PA,PB,AC的中点G是OC的中点,证明:/ /FG平面BOE10.正方体中,分别是中点.1111ABCDABC D,E G11,BC C D求证:平面/EG11BDD BP ABCDEP ABCDEOGED1 C1B1A1ADCB11.如图,在四棱锥中,底面四边长为 1 的菱形, OABCDABCD 为的中点,为的中点MOANBC 证明:直线平面;MNOCD12.在四棱锥 P-ABCD 中,底面四边形 ABCD 是平行四边形, E,F 分别是 AB,PD 的中点. 求证:平面/AFPCEPBAPCBAPDCBAPADCBAPEAPFAPOAMDCBN