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1、57第第 3 章章 时域连续信号的复频域分析时域连续信号的复频域分析3.1学习要点学习要点1.拉普拉斯变换的定义(3-1)( )( )stF sf t edt(3-2)1( )( )2 jstjf tF s e dsj式（3-1）和（3-2）称为双边拉普拉斯变换对或复傅里叶变换对。(3-3) 0( )( )stF sf t edt(3-4)1( )( )( )2jstjf tF s e ds u tj 式（3-3）和（3-4）称为单边拉普拉斯变换对。通常用下列符号分别表示，即(3-5)( ) F sL( )f t(3-6)( ) f t-1L( )F s也可用双箭头表示 ( )( )f tF
2、s复变函数称为的象函数，时间函数称为的原函数。( )F s( )f t( )f t( )F sLaplace 变换则建立了连续信号时域和复频域 (域)间的联系。s2.拉普拉斯变换的收敛域对于单边信号，当时，若存在一个值使得时，的极限( )f t t00( )tf t e等于零，则在的全部范围内满足绝对可积，Laplace 变换存在。这一关系( )tf t e 0可表示为， (3-7)lim( )0ttf t e0与的特性有关，它给出了 Laplace 变换存在的条件。一般而言，的收敛0( )f t( )F s域如图 3-1 所示。在以为横坐标，为纵坐标的平面上，这一区域称为 Laplace 积
3、分js的收敛域或象函数的收敛域。横坐标称为收敛坐标，直线称为收敛轴。而( )F s00双边 Laplace 变换可以看成两个单边 Laplace 变换的叠加，其收敛域一般有两个有限边界：58一个边界决定于时的，是收敛域的左边界，用表示；另一个边界决定于0t1( )f t时的，是收敛域的右边界，用表示。如果，有公共收敛域，双边0t2( )f tLaplace 变换存在。反之，双边 Laplace 变换就不存在。j0O收 敛 域图 3-1 单边 Laplace 变换收敛域一般而言，1)凡是定义在有限区间上的能量信号，不管取何值，都能使信号的 Laplace 变 换存在，其收敛域为整个平面。s 2)
4、如果信号是等幅信号或等幅振荡信号，如阶跃信号、正弦信号，只要乘以衰减因子就可以使之收敛，因此其收敛域为右半平面。te(0)s3)对于任何随时间成正比的 的正幂次信号，其增长速度比指数信号要慢得多，对t其乘以衰减因子也可收敛，因此其收敛域也是右半平面。te(0)s4)对于指数信号，在平面的区域可收敛。而对于一些比指( )( )atf te u ts a数阶函数增长快的非指数阶函数，如，信号，不存在相应的衰减( )tt u t2( )te u t因子，故其 Laplace 变换不存在。te3.常用信号的 Laplace 变换表 3-1 常用信号的 Laplace 变换序号单边信号( )f tLap
5、lace 变换( )F s收敛域1( ) t1Re( ) s 2( )( )nt(1,2)nsn Re( ) s 3( )u t1 sRe( )0s 594( )ateu t1 saRe( ) sa 5(为正整数)( )nt u tn1!nn sRe( )0s 6( )atteu t 21 ()saRe( ) sa 7( )natt eu t 1! ()nn saRe( ) sa 8( )jteu t1 sjRe( )0s 9sin() ( )t u t22s Re( )0s 10cos() ( )t u t22s sRe( )0s 11sin() ( )atet u t 22()sa Re(
6、 ) sa 12cos() ( )atet u t 22()sa sa Re( ) sa 4.拉普拉斯变换的基本性质表 3-2 单边拉普拉斯变换的性质序 号名称结论1线 性1 1221122( )( )( )( )a f ta f ta F sa F s2尺度变换,1()( )sf atFaa0a 3时 移0 00() ()( )stf tttteF s4复频移0 0( )()s tf t eF ss5时域卷积1212( )( )( )( )f tf tF s F s606复频域卷积12121( )( )( )( )2f tf tF sF sj7时域微分( )( )(0 )df tsF sfd
7、t12(1)( )( )(0 )(0 )(0 )n nnnn ndfts F ssfsffdt 8时域积分( 1) ( 1)(0 )( )( )( )tfF sftfdss ， ()() 1 1( )1( )(0 )n nm nn m mF sftfss 1,2,n 9复频域微分( )( )dF stf tds( )()( )n n nd F stf tds10复频域积分( )( ) sf tFdt11初值定理0(0 )lim( )lim( ) tsff tsF s12终值定理0( )lim( )lim( ) tsff tsF s 6.拉普拉斯反变换(1) 查表法表 3-3 单边 Laplac
8、e 变换表序号( )F s( ),0f t t 11( ) t2(1,2)nsn ( )( )nt31 s( )u t40b sa0atb e61522s sin() t622s scos() t722s sinh() t822s scosh() t922()s sin()tet1022()s scos()tet1122()s sinh()tet1222()s scosh()tet131ns11 (1)!ntn 1410 2bsb s 01b tb1510 2()bsb sa 011()atbba tb e161 ()nsa11 (1)!natten 1710 22()bsb s sin()t
9、Aet其中，01()jbbjAe 1810 ()bsb s sa 0 1()atbbb eaa621910 ()()bsb ss 0101ttbbbbee 202221 ()ss31sin()tt212221 ()s31sin()cos()2ttt22222()s s1sin()2tt232222()s s1sin()cos()2ttt2422222()s s cos()tt251 1sTe0()ntnT(2) 部分分式展开法如果象函数是的有理分式，它可写为( )F ss(3-8)1 110 1 110( )mm mm nn nb sbsbsbF ssasa sa 式(3-8)中，各系数均为实
10、数，为简便且不失一般性，设(0,1, ),(0,1,)ija in bjm。若，可用多项式除法将象函数分解为有理多项式与有理真分式1na mn( )F s( )P s之和，即(3-9)( )( )( )( )B sF sP sA s式(3-9)中，的幂次小于的幂次。例如( )B s( )A s63322271063412( )(12 )(12 )32(1)(2)12ssssF sssssssss由于，故式(3.4-2)中多项式的 Laplace 反变换由冲-1L1( ) t-1L ( ),st( )P s激函数及其各阶导数组成，容易求得。下面讨论象函数为有理真分式的情况。部分分式展开的第一步是
11、把分母进行因式分解；第二步是根据极点的类型，分别( )A s求取待定系数。下面分别讨论极点为单实根、共轭复根和多重根时待定系数的求解方法。1)的所有根均为单实根( )0A s 如果方程的所有个单实根互不相等，那么根据代数理论，( )0A s n12,np pp可分解为以下形式( )F s(3-10)1212( )( )( )nnKKKB sF sA sspspsp式(3-10)中，为待定系数。可见，只要将待定系数求出，由12,nK KKiK-1L，并利用线性性质，可得的原函数1ip tiesp( )F s(3-11)12 12 1( )( )nin p tp tp tp t ni if tK
12、eK eK eK e u t求待定系数时，将式(3-10)两边各项同成以因子，再令，等iK()isp(1,2,)isp in式右边仅留下项，有iK(3-12)( )()( ) iii spB sKspA s2)具有共轭复根且无重复根( )0A s 如果方程具有共轭复根且无重复根，可比照的所有根均为单实根的( )0A s ( )0A s 情形来进行 Laplace 反变换，但计算复杂，简便实用的方法是将二项式因子配成二项式的平方，将一对共轭复根作为一个整体来解。22(4 )sbscbc 例如222111 25( 12 )( 1 2 )(1)2sssjsjs 再由，并利用线性性质和复频移性质，可得
13、-1L222sin(2 )2ts64-1L21 25ss-1L22121sin(2 ) ( )2 (1)22tet u ts3)含有重根( )0A s 如果方程含有一个重根，即( )0A s r1p11( )() ()()r rnA sspspsp则(3-13)1(1)111211 12 11111( )( )( )rnrr rr rnB sF sA s KKKKKK spspspspspsp 的非重根因子对应的系数用前述方法求得；求重根因子对应的系数( )A s12,rrnKKK，可将式(3.4-6)两边同乘以，有11121(1)1,rrKKKK1()rsp(3-14)21 1111211(
14、1)1111 1 1( )()( )()rrr rrrnrrnB sspKKspKspKspA sKKspspsp 将代入上式，可得1sp(3-15)1111( )()( )rspB sKspA s将式(3-15)两边对求导，并令可得s1sp(3-16)1121( )()( )rspdB sKspdsA s以此类推，可求得重根项对应的所有系数，其求解的一般公式为(3-17)111111( )()(1)!( )i r ii spdB sKspidsA s 再由，并利用复频移性质得，可得L1!( )n nntts -1L1 1 111( )()!p tn nt e u tspn的原函数( )F s(3-18)111(1)111 1 1111( )(1)!1!(0)()!jjnp trp tr rj j rrnp tp tr ii j ij rKKf tttKeK erKteK etri
