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1、为您服务教育网 http:/第 1 页 共 20 页DBAC 20092010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料第 37 讲 空间夹角和距离空间夹角和距离一一 【课标要求课标要求】 1能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离; 2能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何 问题中的作用。 二二 【命题走向命题走向】 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察主要有以下情况: (1)空间的夹角;(2)空间的距离;(3)空间向量在求夹角和距离中的应用 预测 2010 年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化
2、 了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解,而是加大了向量在这方面内容应用的讲 解,因此作为立体几何的解答题,用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法,在复习 时应加大这方面的训练力度 题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察 三三 【要点精讲要点精讲】 1空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 (1)异面直线所成的角的范围是2, 0(。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决 具体步骤如下: 利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置, 顶点选择在特殊的位置上; 证明作出的角即为所求的角;
3、 利用三角形来求角(2)直线与平面所成的角的范围是2, 0。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。具体步骤如下: 找过斜线上一点与平面垂直的直线; 连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出 所求的角; 把该角置于三角形中计算。 注:斜线和平面所成的角,是它和平面内任何一条直 线所成的一切角中的最小角,即若 为线面角, 为斜线与平面内任何一条直线所成的角,则有; (3)确定点的射影位置有以下几种方法: 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影 在这个角的平分线上;如果一条直线与一个角的两边的夹角相等,那么这一
4、条直线在平 面上的射影在这个角的平分线上; 两个平面相互垂直,一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面 的交线上; 利用某些特殊三棱锥的有关性质,确定顶点在底面上的射影的位置:为您服务教育网 http:/第 2 页 共 20 页a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角 形的外心; b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的 射影是底面三角形的内心(或旁心); c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形 的垂心;(4)二面角的范围在课本中没有给出,一般是指, 0(,解题时要注意
5、图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法:在棱上任取一点,过这点在两个平面内分别引棱的垂线,这两 条射线所成的角,就是二面角的平面角; 面上一点三垂线法:自二面角的一个面上一点向另一面引垂线,再由垂足向棱作垂 线得到棱上的点(即垂足) ,斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角,即为二面角 的平面角; 空间一点垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射 线所成的角就是二面角的平面角斜面面积和射影面积的关系公式:cosSS(S为原斜面面积,S为射影面积,为 斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面 角的
6、好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公 式,求出二面角的大小 2空间的距离(1)点到直线的距离:点到直线a的距离为点到直线a的垂线段的长,常先找或 作直线a所在平面的垂线,得垂足为,过作a的垂线,垂足为连,则由三垂线 定理可得线段即为点到直线a的距离。在直角三角形中求出的长即可。 点到平面的距离:点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法作 出点到平面的垂线后求出垂线段的长;转移法,如果平面的斜线上两点,到斜 足的距离,的比为nm:,则点,到平面的距离之比也为nm:特别地, 时,点,到平面的距离相等;体积法(2)异面直线间的距离:异面直线ba,间的距离
7、为ba,间的公垂线段的长常有求法先证线段为异面直线ba,的公垂线段,然后求出的长即可找或作出过b且与a平行的平面,则直线a到平面的距离就是异面直线ba,间的距离找或作出分别过ba,且与b, a分别平行的平面,则这两平面间的距离就是异面直线ba,间的距离根据异面直线间的 距离公式求距离。 (3)直线到平面的距离:只存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间 的距离。 (4)平面与平面间的距离:只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另 一个平面的距离。 以上所说的所有距离:点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两为您服务教育网 http:/第 3 页 共 20 页点间的
8、最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离 3空间向量的应用(1)用法向量求异面直线间的距离如右图所示,a、b 是两异面直线,n是 a 和 b 的法向量,点 Ea,Fb,则异面直线 a 与 b 之间的距离是nnEF d ;(2)用法向量求点到平面的距离如右图所示,已知 AB 是平面 的 一条斜线,n为平面 的法向量,则 A 到平面 的距离为 nnAB d ;(3)用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题(4)用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行,这时可以在一个平面上任取一点,将两平面间的距离问题转
9、化成点到平面的距离问题。(5)用法向量求二面角如图,有两个平面 与 ,分别作这两个平面的法向量1n与2n,则平面 与 所成的角跟法向量1n与2n所成的角2n相等或互补,所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。(6)法向量求直线与平面所成的角要求直线 a 与平面 所成的角 ,先求这个平面 的法向量n与直线 a 的夹角的余弦an,cos,易知 =an,或者an,2。四四 【典例解析典例解析】abEFABCn1n为您服务教育网 http:/第 4 页 共 20 页题型 1:异面直线所成的角例 1 (1)直三棱住 A1B1C1ABC,BCA=090,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1的中点,BC
10、=CA=CC1,则 BD1与 AF1所成角的余弦值是( ) (A )1030(B)21(C)1530(D)1015解析:(1)连结 D1F1,则 D1F1/1121CB,BC /11CB D1F1/BC21设点 E 为 BC 中点,D1F1/BE,BD1EF1,EF1A 或其补角即为 BD1与 AF1所成的角。由余弦定理可求得1030cos1AEF。故选 A。(2) (2009 广东卷 理) (本小题满分 14 分)如图 6,已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2,点E是正方形11BCC B的中心,点F、G分别是棱111,C D AA的中点设点11,E G分别是点E,G在平面11DC
11、C D内的正投影(1)求以E为顶点,以四边形FGAE在平面11DCC D内的正投影为底面边界的棱锥的体积;(2)证明:直线1FG平面1FEE;(3)求异面直线11E GEA与所成角的正弦值.解:(1)依题作点E、G在平面11DCC D内的正投影1E、1G,则1E、1G分别为1CC、1DD的中点,连结1EE、1EG、ED、1DE,则所求为四棱锥11FGDEE 的体积,其底面11FGDE面积为111111EDGRtFGERtFGDESSS 221212221,又1EE面11FGDE,11EE,32 3111111EESVFGDEFGDEE.(2)以D为坐标原点,DA、DC、1DD所在直线分别作x轴
12、,y轴,z轴,得) 1 , 2 , 0(1E、) 1 , 0 , 0(1G,又) 1 , 0 , 2(G,)2 , 1 , 0(F,) 1 , 2 , 1 (E,则) 1, 1, 0(1FG,zyxE1G1为您服务教育网 http:/第 5 页 共 20 页D) 1, 1 , 1 (FE,) 1, 1 , 0(1FE,01) 1(01FEFG,01) 1(011FEFG,即FEFG 1,11FEFG ,又FFEFE1,1FG平面1FEE.(3))0 , 2, 0(11GE,) 1, 2, 1 (EA,则62,cos1111 11 EAGEEAGEEAGE,设异面直线11E GEA与所成角为,则
13、33 321sin.例 2已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点。 求:D1E 与平面 BC1D 所成角的大小(用余弦 值表示) 解析:建立坐标系如图,则2,0,0A、2,2,0B,0,2,0C,12,0,2A,12,2,2B,10,0,2D,2,1,0E,12,2, 2AC uuu u r ,12,1, 2D E uuuu r ,0,2,0AB uuu r ,10,0,2BB uuu u r 。不难证明1ACuuu u r 为平面 BC1D 的法向量, 11 11113cos,9AC D EAC D E AC D Euuu u r uuuu ruuu u
14、 r uuuu rguuu u r uuuu r。 D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为93。点评:将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。 题型 2:直线与平面所成的角例 3PA、PB、PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为060,那么直线PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是( )A. 21B. 22C. 33A1B1C1D1A BCDExyz为您服务教育网 http:/第 6 页 共 20 页D. 36解:构造正方体如图所示,过点 C 作 CO平面 PAB,垂足为 O,则 O 为正 ABP 的中心,于是CPO 为 PC 与平面 PAB 所成的角。设 PC=a,则
15、PO=aPD33 32,故33cosPCPOCPO,即选 C。思维点拨:第(2)题也可利用公式coscoscos直接求得。例 4 (2009 北京卷文) (本小题共 14 分)如图,四棱锥PABCD的底面是正方形,PDABCD 底面,点 E 在棱 PB 上.()求证:平面AECPDB 平面; ()当2PDAB且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小. 【解法解法 1】1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础 知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力 ()四边形 ABCD 是正方形,ACBD,PDABCD 底面,PDAC,AC平面 PDB,平面AECPDB 平面.()设 ACBD=O,连接 OE,由()知 AC平面 PDB 于 O,AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角,O,E 分别为 DB、PB 的中点,为您服务教育网 h