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1、为您服务教育网 http:/第 1 页 共 20 页DBAC 20092010 学年度高三数学（人教版 A 版）第一轮复习资料第 37 讲 空间夹角和距离空间夹角和距离一一 【课标要求课标要求】 1能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离； 2能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何 问题中的作用。 二二 【命题走向命题走向】 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察主要有以下情况： （1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用 预测 2010 年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化
2、 了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲 解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习 时应加大这方面的训练力度 题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察 三三 【要点精讲要点精讲】 1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 （1）异面直线所成的角的范围是2, 0(。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决 具体步骤如下： 利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置， 顶点选择在特殊的位置上； 证明作出的角即为所求的角；
3、 利用三角形来求角（2）直线与平面所成的角的范围是2, 0。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。具体步骤如下： 找过斜线上一点与平面垂直的直线； 连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出 所求的角； 把该角置于三角形中计算。 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直 线所成的一切角中的最小角，即若 为线面角， 为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有； （3）确定点的射影位置有以下几种方法： 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影 在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一
4、条直线在平 面上的射影在这个角的平分线上； 两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面 的交线上； 利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：为您服务教育网 http:/第 2 页 共 20 页a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角 形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的 射影是底面三角形的内心(或旁心)； c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形 的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指, 0(，解题时要注意
5、图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两 条射线所成的角，就是二面角的平面角； 面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂 线得到棱上的点（即垂足） ，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角 的平面角； 空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射 线所成的角就是二面角的平面角斜面面积和射影面积的关系公式：cosSS(S为原斜面面积,S为射影面积,为 斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面 角的
6、好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公 式,求出二面角的大小 2空间的距离（1）点到直线的距离：点到直线a的距离为点到直线a的垂线段的长，常先找或 作直线a所在平面的垂线，得垂足为，过作a的垂线，垂足为连，则由三垂线 定理可得线段即为点到直线a的距离。在直角三角形中求出的长即可。 点到平面的距离：点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法作 出点到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面的斜线上两点，到斜 足的距离，的比为nm:，则点，到平面的距离之比也为nm:特别地， 时，点，到平面的距离相等；体积法（2）异面直线间的距离：异面直线ba,间的距离
7、为ba,间的公垂线段的长常有求法先证线段为异面直线ba,的公垂线段，然后求出的长即可找或作出过b且与a平行的平面，则直线a到平面的距离就是异面直线ba,间的距离找或作出分别过ba,且与b， a分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线ba,间的距离根据异面直线间的 距离公式求距离。 （3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间 的距离。 （4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另 一个平面的距离。 以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两为您服务教育网 http:/第 3 页 共 20 页点间的
8、最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离 3空间向量的应用（1）用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、b 是两异面直线，n是 a 和 b 的法向量，点 Ea，Fb，则异面直线 a 与 b 之间的距离是nnEF d ；（2）用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知 AB 是平面 的 一条斜线，n为平面 的法向量，则 A 到平面 的距离为 nnAB d ；（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转
9、化成点到平面的距离问题。（5）用法向量求二面角如图，有两个平面 与 ，分别作这两个平面的法向量1n与2n，则平面 与 所成的角跟法向量1n与2n所成的角2n相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。（6）法向量求直线与平面所成的角要求直线 a 与平面 所成的角 ，先求这个平面 的法向量n与直线 a 的夹角的余弦an,cos，易知 =an,或者an,2。四四 【典例解析典例解析】abEFABCn1n为您服务教育网 http:/第 4 页 共 20 页题型 1：异面直线所成的角例 1 （1）直三棱住 A1B1C1ABC，BCA=090，点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1的中点，BC
10、=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是（ ） （A ）1030（B）21（C）1530（D）1015解析：（1）连结 D1F1，则 D1F1/1121CB，BC /11CB D1F1/BC21设点 E 为 BC 中点，D1F1/BE，BD1EF1，EF1A 或其补角即为 BD1与 AF1所成的角。由余弦定理可求得1030cos1AEF。故选 A。（2） （2009 广东卷 理） （本小题满分 14 分）如图 6，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，点E是正方形11BCC B的中心，点F、G分别是棱111,C D AA的中点设点11,E G分别是点E，G在平面11DC
11、C D内的正投影（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面11DCC D内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线1FG平面1FEE；（3）求异面直线11E GEA与所成角的正弦值.解：（1）依题作点E、G在平面11DCC D内的正投影1E、1G，则1E、1G分别为1CC、1DD的中点，连结1EE、1EG、ED、1DE，则所求为四棱锥11FGDEE 的体积，其底面11FGDE面积为111111EDGRtFGERtFGDESSS 221212221，又1EE面11FGDE，11EE，32 3111111EESVFGDEFGDEE.（2）以D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别作x轴
12、，y轴，z轴，得) 1 , 2 , 0(1E、) 1 , 0 , 0(1G，又) 1 , 0 , 2(G，)2 , 1 , 0(F，) 1 , 2 , 1 (E，则) 1, 1, 0(1FG，zyxE1G1为您服务教育网 http:/第 5 页 共 20 页D) 1, 1 , 1 (FE，) 1, 1 , 0(1FE，01) 1(01FEFG，01) 1(011FEFG，即FEFG 1，11FEFG ，又FFEFE1，1FG平面1FEE.（3）)0 , 2, 0(11GE，) 1, 2, 1 (EA，则62,cos1111 11 EAGEEAGEEAGE，设异面直线11E GEA与所成角为，则
13、33 321sin.例 2已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 E 为棱 AB 的中点。 求：D1E 与平面 BC1D 所成角的大小（用余弦 值表示） 解析：建立坐标系如图，则2,0,0A、2,2,0B，0,2,0C，12,0,2A，12,2,2B，10,0,2D，2,1,0E，12,2, 2AC uuu u r ，12,1, 2D E uuuu r ，0,2,0AB uuu r ，10,0,2BB uuu u r 。不难证明1ACuuu u r 为平面 BC1D 的法向量， 11 11113cos,9AC D EAC D E AC D Euuu u r uuuu ruuu u
14、 r uuuu rguuu u r uuuu r。 D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为93。点评：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。 题型 2：直线与平面所成的角例 3PA、PB、PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为060，那么直线PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是（ ）A. 21B. 22C. 33A1B1C1D1A BCDExyz为您服务教育网 http:/第 6 页 共 20 页D. 36解：构造正方体如图所示，过点 C 作 CO平面 PAB，垂足为 O，则 O 为正 ABP 的中心，于是CPO 为 PC 与平面 PAB 所成的角。设 PC=a，则
15、PO=aPD33 32，故33cosPCPOCPO，即选 C。思维点拨：第（2）题也可利用公式coscoscos直接求得。例 4 （2009 北京卷文） （本小题共 14 分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD 底面，点 E 在棱 PB 上.（）求证：平面AECPDB 平面； （）当2PDAB且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小. 【解法解法 1】1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础 知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力 （）四边形 ABCD 是正方形，ACBD，PDABCD 底面，PDAC，AC平面 PDB，平面AECPDB 平面.（）设 ACBD=O，连接 OE，由（）知 AC平面 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，O，E 分别为 DB、PB 的中点，为您服务教育网 h
