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1、1常用逻辑用语常用逻辑用语复习复习一、一、本讲进度本讲进度常用逻辑用语复习二、二、复习要求复习要求1、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；2、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；3、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。三、三、学习指导学习指导1、命题：（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；（2）复合命题的形式：p 且 q，p 或 q，非 p；（3）复合命题的真假：对 p 且 q 而言，当 q、p 为真时，其为真；当 p、q 中有一个为假时，其为假。对 p 或 q 而言，当 p、q 均为假时，其为假；当 p、
2、q 中有一个为真时，其为真；当 p为真时，非 p 为假；当 p 为假时，非 p 为真。（3）四种命题：记“若 q 则 p”为原命题，则否命题为“若非 p 则非 q”，逆命题为“若 q则 p“，逆否命题为”若非 q 则非 p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。2、 充分条件与必要条件（1）定义：对命题“若 p 则 q”而言，当它是真命题时，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件，当它的逆命题为真时，q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件，两种命题均为真时，称 p是 q 的充要条件；（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条
3、件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件 p 的所有对象组成集合 A，满足条件 q 的所有对象组成集合 q，则当 AB 时，p 是 q 的充分条件。BA 时，p 是 q 的充分条件。A=B 时，p 是 q 的充要条件；（3）当 p 和 q 互为充要时，体现了命题等价转换的思想。3、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。四、四、 典型例题典型例题例 1、已知集合 A=x|x2-3x+2=0，B=x|x2-mx+2=0，若 A 是 B 的必要不充分条件，求实 数 m 范围。
4、解题思路分析：2化简条件得 A=1，2，A 是 B 的必要不充分条件，即 AB=BBA 根据集合中元素个数集合 B 分类讨论，B=，B=1或2，B=1，2 当 B= 时，=m2-80 22m22当 B=1或2时，m 无解 02m2402m10或当 B=1，2时， 221m21 m=3 综上所述，m=3 或22m22 说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要 方面，如本题当 B=1或2时，不能遗漏=0。 例 2、用反证法证明：已知 x、yR，x+y2，求 证 x、y 中至少有一个大于 1。 解题思路分析： 假设 x1 且 y1，由不等式同向相加的性质 x+y
5、2 与已知 x+y2 矛盾 假设不成立 x、y 中至少有一个大于 1 说明；反证法的理论依据是：欲证“若 p 则 q”为真，先证“若 p 则非 q”为假，因在条件 p 下，q 与非 q 是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若 p 则非 q”为假时， “若 p 则 q”一定为真。 例 3、若 A 是 B 的必要而不充分条件，C 是 B 的充要条件，D 是 C 的充分而不必要条件，判 断 D 是 A 的什么条件。 解题思路分析： 利用“”、“”符号分析各命题之间的关系DCBA DA，D 是 A 的充分不必要条件 说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。
6、例 5、求直线 l：ax-y+b=0 经过两直线 l1：2x-2y-3=0 和 l2：3x-5y+1=0 交点的充要条件。 解题思路分析： 从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。由 得1，2交点 P（） 01y5x303y2x2411,417 过点 P 0b411 417a 17a+4b=11 充分性：设 a，b 满足 17a+4b=11 4a1711b代入方程：04a1711yax3整理得：0)417x(a)411y(此方程表明，直线恒过两直线的交点（）0417x, 0411y411,417而此点为1与2的交点 充分性得证 综上所述，命题为真 说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一
7、种是利用“”，双向传输，同时证明 充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。 五、同步练习五、同步练习（一）（一）选择题选择题1、设 M=x|x2+x+2=0，a=lg(lg10)，则a与 M 的关系是A、a=M B、Ma C、aM D、Ma2、已知全集 U=R，A=x|x-a|2，B=x|x-1|3，且 AB=，则 a 的取值范围是A、 0，2 B、（-2，2） C、（0，2 D、（0，2）3、已知集合 M=x|x=a2-3a+2，aR，N、x|x=b2-b，bR，则 M，N 的关系是A、 MN B、MN C、M=N D、不确定4、设集合 A=x|xZ 且-
8、10x-1，B=x|xZ，且|x|5，则 AB 中的元素个数是A、11 B、10 C、16 D、155、集合 M=1，2，3，4，5的子集是A、15 B、16 C、31 D、326、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真7、“”是 coscos”的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件8、集合 A=x|x=3k-2，kZ，B=y|y=3+1，Z，S=y|y=6m+1，mZ之间的关系是A、SBA B、S=BA C、SB=A D、SB=A9、方程 mx2+2x+1=0 至
9、少有一个负根的充要条件是A、0m1 或 m0 B、0m1C、m1 D、m110、已知 p：方程 x2+ax+b=0 有且仅有整数解，q：a，b 是整数，则 p 是 q 的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C.充要条件 D、既不充分又不必要条件（二）（二）填空题填空题411、已知 M=，N=x|，则 MN=_。Z24m|mN23x12、在 100 个学生中，有乒乓球爱好者 60 人，排球爱好者 65 人，则两者都爱好的人数最少是_人。13、关于 x 的方程|x|-|x-1|=a 有解的充要条件是_。14、命题“若 ab=0，则 a、b 中至少有一个为零”的逆否命题为_。15、非空集合 p 满
10、足下列两个条件：（1）p1，2，3，4，5，（2）若元素 ap，则 6-ap，则集合 p 个数是_。（三）（三）解答题解答题16、设集合 A=(x，y)|y=ax+1，B=(x，y)|y=|x|，若 AB 是单元素集合，求 a 取值范围。17、已知抛物线 C：y=-x2+mx-1，点 M（0，3），N（3，0），求抛物线 C 与线段 MN 有两个不同交点的充要条件。18、设 A=x|x2+px+q=0，M=1，3，5，7，9，N=1，4，7，10，若AM=，AN=A，求 p、q 的值。19、已知，b=2-x，c=x2-x+1，用反证法证明：a、b、c 中至少有一个不小于 1。21xa25参考答案参考答案 （一） 选择题1、C 2、A 3、C 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、D 10、A（二） 填空题11、 12、25，60 13、-1a1 14、若 a、b 均不为 0，则 ab0 15、7（三） 解答题16、a1 或 a-1，提示：画图17、 3m31018、，或，或 16q8p 10q20p 40q14p
