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1、第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,除了平衡方程和几何方程,固体力学问题的基本方程还需要建立应变和应力之间的关系,此关系式称为物理方程,或本构关系(方程)。 弹性力学的物理方程用广义虎克定律。 除了基本方程外,固体力学问题的求解还需要边界条件,边界条件包括位移边界条件和应力边界条件。 固体力学问题的求解方法包括位移解法和应力解法两种方法。,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.1 广义虎克定律,三个平衡方程中有6个应力未知函数;几何方程中6个方程有三个位移和6个应变未知函数。15个未知函数只有9个方程,差6个方程。为了问题可解,需要建立6个应力与应变的关系方程:,此方程在
2、固体力学中称物理方程,或本构方程,其形式和系数取决材料结构,线弹性材料采用广义虎克定律:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.1 广义虎克定律,以下推导广义虎克定律的多种形式。 将(A)前三式相加:,记:,则:,或:,体积弹性模量。,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.1 广义虎克定律,用应力表达应变的广义虎克定律可以写成:,或统一写成:,或:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.1 广义虎克定律,广义虎克定律也可以写成应变表达应力的形式:,记:,Lame系数。,统一写成:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.1 广义虎克定律,以上(A)
3、、(B)、(C)是广义虎克定律的三种数学方程。现在考察应力偏量和应变偏量之间的关系:,同理:,对于应力偏量张量和应变偏量张量之间有:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.1 广义虎克定律,统一写成:,说明应力偏量矩阵和应变张量偏量矩阵成比例关系,两者的主轴方向相同,主值成比例关系。 另外,应力偏量与应力之间、应变张量偏量与应变张量都只差一任意方向都是主方向的球张量,其加入与减去都不影响主轴方向,所以得出: 在弹性阶段,应力主轴方向与应变主轴方向重合。此结论在后续的塑性分析中非常有用。,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.2 弹性力学基本方程,前面已经系统地讲述了弹性
4、力学的基本方程,包括平衡方程、几何方程和物理方程。 一、平衡方程,统一写成:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.2 弹性力学基本方程,二、几何方程与应变协调方程,统一写成:,应变协调方程:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.2 弹性力学基本方程,统一写成:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.2 弹性力学基本方程,三、物理方程(广义虎克定律),统一写成:,应力表达应变的广义虎克定律:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.2 弹性力学基本方程,统一写成:,应变表达应力的广义虎克定律:,四、用简单符号写的基本方程集中:,第四章:物理方程和
5、弹性力学解的基本方程与求法,4.2 弹性力学基本方程,考虑应力、应变矩阵的对称性后,三组基本方程总共有15个偏微分方程,包含15个未知函数:,6个应力:,6个应变:,3个位移:,虽然方程数与未知函数数量相等。但这些方程都是偏微分方程,求解时必须需要边界条件。 基本方程与边界条件同等重要,从某种意义上讲,边界条件比基本方程更加重要,因为基本方程形式是相对固定的,而边界条件各个问题的力学模型不同,其边界条件也不同。所以连续介质的问题统称为边值问题。边值问题是物理中最大类的问题,也是数学与物理知识最集中的问题。,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,在固体力学中,从基本方程
6、得到的解,其位移必须满足位移约束条件,求得的应力必须满足边界上的面力要求(应力和面力作用后,边界保持平衡)。这样的解才可能是问题的真实解。 边界条件分位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件,而混合边界条件是位移和应力边界条件的组合,所以在理论分析时只考虑位移和应力边界条件。 位移边界:位移已知的那部分边界。 应力边界:应力已知的那部分边界。 为了使得问题得以解决,必须把位移和应力边界条件表达成方程的形式。,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,由边界围成,设区域,围成:,在位移边界上,位移值(函数)已知:,平面问题退化为:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求
7、法,4.3 边界条件,在应力边界上,受的面力函数已知。 设应力边界上任意一点的法线(向外)矢量的方向余弦为:,面力已知函数为:,则利用应力状态分析的公式,边界上的应力函数须满足:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,平面问题退化为:,讨论: 1、不管是位移边界条件还是应力边界条件,其方程数量都是3个(三维问题),或两个(平面问题)。 2、对于混合边界条件,其某(或某些)方向受到位移约束,即位移函数已知,而某(或某些)方向面力分布已知。但不管如何,混合边界条件上也是能写出三个边界条件方程,部分是位移约束方程,部分是应力约束方程。具体形式看具体问题而定(见下面的实例)。
8、 例如下图的AB边界属于混合边界条件。其边界条件的约束方程为:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,大家一定要学会写边界条件,写边界条件时注意: 1、写完所有边界完备边界。 2、三维问题每个边界一定有三个边界约束方程,或全位移、或全应力、或部分位移部分应力。 3、平面问题每个边界一定是两个约束方程,或两个位移约束方程、或两个应力约束方程,或一个位移一个应力约束方程。 4、对与坐标轴平行的边界和平行的约束可以直接写出约束方程。,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,5、对于与坐标成角度的边界(斜线或曲线),必须考虑边界的法线方向(垂直向外)。
9、法线方向由方向余弦(l,m ,n)确定,即单位法线向坐标的投影值。 6、对于与坐标成角度的混合边界条件,必须分别对位移边界和应力边界约束方程进行转换。 7、不受力、不受位移约束的边界属于应力边界,面力为0。 以往学生考试情况看,写边界条件得分情况非常差。 仔细研究以下写边界条件的例题。,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,例题:写出下图由ABCD围成区域的边界条件(DA上位移约束垂直DA)。、边界性质分析:a、AB:应力边界;b、BC:位移边界;C、CD:应力边界;d、DA:混合边界。,2、AB边界上:,、BC边界上:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,
10、4.3 边界条件,、CD边界上,因为是斜面:,、DA边界上,位移只能沿DA方向,设DA上某点DA方向位移为R:,约束反力垂直DA,设约束DA上某点约束反力为f,CD边界应力约束方程为:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,而DA的法线矢量:,代入应力边界条件方程:,消除f :,-应力约束方程。,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,当问题的边界条件完备时,弹性问题有解,而且是唯一解。,从以上分析知,问题解取决两部分:、基本方程、边界条件基本方程是统一的,而边界条件可以五花八门。所以抽象边界条件非常重要。总结地讲,一个弹性问题有以下内容所决定
11、:、问题类别(三维问题、平面应力、平面应变)、材料系数与体力、区域边界(形状)、边界上完备的位移约束和应力约束。,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.4 按照位移求解,虽然有了基本方程和边界条件,但求解时两者的未知函数还没有达到数学上匹配的条件: 1、基本方程中的未知函数有应力、应变和位移,而边界条件方程中只有位移和应力,不相互匹配,无法求解。 2、未知函数种类和数量都太多。 所以求解要完成两件事: 1、两类方程(基本方程和边界条件方程)中减少未知函数数量。 2、两类方程相互匹配,以达到数学上可解的条件。 固体力学的求解方法一般分两种: 位移解法和应力解法。,第四章:物理方程和弹
12、性力学解的基本方程与求法,4.4 按照位移求解,位移解法: 将两类方程中的应力和应变全都替换成位移。 应力解法: 将两类方程中的应变和位移全都替换成应力。 首先讲位移解法。 基本思路: 用物理方程,把应力表达成应变,然后用几何方程把应变表达成位移,这样方程中(基本方程和边界条件方程)只留下位移。 为了减少推导篇幅,采用统一表达式。,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.4 按照位移求解,一、基本方程的简化 物理方程:,用几何方程,把物理方程中的应力变成位移表达:,把以上方程代入平衡方程有:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.4 按照位移求解,其中:,称为拉普拉斯算子
13、。,(A)式对每个分量展开后得书上(4-18)式:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.4 按照位移求解,二、边界条件方程的简化 位移边界条件方程中,只有位移函数,不需要简化。只需简化应力边界条件方程:,把位移表达的应力代入有:,展开后得到书上(4-20)方程:,以上简化得出以下结论:、基本方程化为位移表达的二阶偏微分方程。、边界条件为:或阶、或一阶、或阶组合。,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.4 按照位移求解,、边界条件是完备(所有边界被三类边界包围). 所以问题是可解且唯一。,位移解的优缺点: 优点: 1、未知函数数量少,可大大减少数值计算时的容量需求。 2
14、、方程阶数较低(两阶)3、能同时表达位移边界和应力边界条件。 4、基本方程和边界条件方程,在数学上符合可解条件。 缺点: 1、方程复杂,以增加复杂度和阶数来减少未知函数数量。 2、根本无法得到任何问题的解析解。 3、用数值解求得位移后,求应变和应力需要求导数,产生很大的误差。 所以位移求解法广泛用于数值解中,而不用于解析解中。,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.5 按照应力求解,顾名思义,应力解法是把方程的未知函数只留下应力,删除应变和位移。 将几何方程中的位移删除不是件容易的事,所以不直接利用几何方程,而是利用6个应变协调方程,因为应变协调方程中只有应变而没有位移,然后利用物
15、理方程把应变变成应力,即:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.5 按照应力求解,以上方程加平衡方程为应力解的基本方程。 对以上方程可以作进一步整理和简化。前三式两两相加可以删除剪应力,例如第一、第三式相加:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.5 按照应力求解,整理后得:,同理可得另外两式并合并:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.5 按照应力求解,三式想加:,代入(B)的第一式:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.5 按照应力求解,对(A)的第四式右边作如下处理:,(A)的第四式变成:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.5 按照应力求解,综合得:,第四章:物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,