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1、第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,除了平衡方程和几何方程，固体力学问题的基本方程还需要建立应变和应力之间的关系，此关系式称为物理方程，或本构关系（方程）。 弹性力学的物理方程用广义虎克定律。 除了基本方程外，固体力学问题的求解还需要边界条件，边界条件包括位移边界条件和应力边界条件。 固体力学问题的求解方法包括位移解法和应力解法两种方法。,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.1 广义虎克定律,三个平衡方程中有6个应力未知函数；几何方程中6个方程有三个位移和6个应变未知函数。15个未知函数只有9个方程，差6个方程。为了问题可解，需要建立6个应力与应变的关系方程:,此方程在
2、固体力学中称物理方程，或本构方程，其形式和系数取决材料结构，线弹性材料采用广义虎克定律：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.1 广义虎克定律,以下推导广义虎克定律的多种形式。 将（A）前三式相加：,记：,则：,或：,体积弹性模量。,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.1 广义虎克定律,用应力表达应变的广义虎克定律可以写成：,或统一写成：,或：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.1 广义虎克定律,广义虎克定律也可以写成应变表达应力的形式：,记：,Lame系数。,统一写成：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.1 广义虎克定律,以上（A）
3、、（B）、（C）是广义虎克定律的三种数学方程。现在考察应力偏量和应变偏量之间的关系：,同理：,对于应力偏量张量和应变偏量张量之间有：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.1 广义虎克定律,统一写成：,说明应力偏量矩阵和应变张量偏量矩阵成比例关系，两者的主轴方向相同，主值成比例关系。 另外，应力偏量与应力之间、应变张量偏量与应变张量都只差一任意方向都是主方向的球张量，其加入与减去都不影响主轴方向，所以得出： 在弹性阶段，应力主轴方向与应变主轴方向重合。此结论在后续的塑性分析中非常有用。,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.2 弹性力学基本方程,前面已经系统地讲述了弹性
4、力学的基本方程，包括平衡方程、几何方程和物理方程。 一、平衡方程,统一写成：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.2 弹性力学基本方程,二、几何方程与应变协调方程,统一写成：,应变协调方程：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.2 弹性力学基本方程,统一写成：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.2 弹性力学基本方程,三、物理方程（广义虎克定律）,统一写成：,应力表达应变的广义虎克定律：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.2 弹性力学基本方程,统一写成：,应变表达应力的广义虎克定律：,四、用简单符号写的基本方程集中：,第四章：物理方程和
5、弹性力学解的基本方程与求法,4.2 弹性力学基本方程,考虑应力、应变矩阵的对称性后，三组基本方程总共有15个偏微分方程，包含15个未知函数：,6个应力：,6个应变：,3个位移：,虽然方程数与未知函数数量相等。但这些方程都是偏微分方程，求解时必须需要边界条件。 基本方程与边界条件同等重要，从某种意义上讲，边界条件比基本方程更加重要，因为基本方程形式是相对固定的，而边界条件各个问题的力学模型不同，其边界条件也不同。所以连续介质的问题统称为边值问题。边值问题是物理中最大类的问题，也是数学与物理知识最集中的问题。,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,在固体力学中，从基本方程
6、得到的解，其位移必须满足位移约束条件，求得的应力必须满足边界上的面力要求（应力和面力作用后，边界保持平衡）。这样的解才可能是问题的真实解。 边界条件分位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件，而混合边界条件是位移和应力边界条件的组合，所以在理论分析时只考虑位移和应力边界条件。 位移边界：位移已知的那部分边界。 应力边界：应力已知的那部分边界。 为了使得问题得以解决，必须把位移和应力边界条件表达成方程的形式。,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,由边界围成,设区域,围成：,在位移边界上，位移值（函数）已知：,平面问题退化为：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求
7、法,4.3 边界条件,在应力边界上，受的面力函数已知。 设应力边界上任意一点的法线（向外）矢量的方向余弦为：,面力已知函数为：,则利用应力状态分析的公式，边界上的应力函数须满足：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,平面问题退化为：,讨论： 1、不管是位移边界条件还是应力边界条件，其方程数量都是3个（三维问题），或两个（平面问题）。 2、对于混合边界条件，其某（或某些）方向受到位移约束，即位移函数已知，而某（或某些）方向面力分布已知。但不管如何，混合边界条件上也是能写出三个边界条件方程，部分是位移约束方程，部分是应力约束方程。具体形式看具体问题而定（见下面的实例）。
8、 例如下图的AB边界属于混合边界条件。其边界条件的约束方程为：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,大家一定要学会写边界条件，写边界条件时注意： 1、写完所有边界完备边界。 2、三维问题每个边界一定有三个边界约束方程，或全位移、或全应力、或部分位移部分应力。 3、平面问题每个边界一定是两个约束方程，或两个位移约束方程、或两个应力约束方程，或一个位移一个应力约束方程。 4、对与坐标轴平行的边界和平行的约束可以直接写出约束方程。,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,5、对于与坐标成角度的边界（斜线或曲线），必须考虑边界的法线方向（垂直向外）。
9、法线方向由方向余弦（l,m ,n）确定，即单位法线向坐标的投影值。 6、对于与坐标成角度的混合边界条件，必须分别对位移边界和应力边界约束方程进行转换。 7、不受力、不受位移约束的边界属于应力边界，面力为0。 以往学生考试情况看，写边界条件得分情况非常差。 仔细研究以下写边界条件的例题。,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,例题：写出下图由ABCD围成区域的边界条件（DA上位移约束垂直DA)。、边界性质分析：a、AB：应力边界；b、BC：位移边界；C、CD：应力边界；d、DA：混合边界。,2、AB边界上：,、BC边界上：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,
10、4.3 边界条件,、CD边界上，因为是斜面：,、DA边界上，位移只能沿DA方向，设DA上某点DA方向位移为R：,约束反力垂直DA，设约束DA上某点约束反力为f,CD边界应力约束方程为：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,而DA的法线矢量：,代入应力边界条件方程：,消除f :,-应力约束方程。,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.3 边界条件,当问题的边界条件完备时，弹性问题有解，而且是唯一解。,从以上分析知，问题解取决两部分：、基本方程、边界条件基本方程是统一的，而边界条件可以五花八门。所以抽象边界条件非常重要。总结地讲，一个弹性问题有以下内容所决定
11、：、问题类别（三维问题、平面应力、平面应变）、材料系数与体力、区域边界（形状）、边界上完备的位移约束和应力约束。,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.4 按照位移求解,虽然有了基本方程和边界条件，但求解时两者的未知函数还没有达到数学上匹配的条件： 1、基本方程中的未知函数有应力、应变和位移，而边界条件方程中只有位移和应力，不相互匹配，无法求解。 2、未知函数种类和数量都太多。 所以求解要完成两件事： 1、两类方程（基本方程和边界条件方程）中减少未知函数数量。 2、两类方程相互匹配，以达到数学上可解的条件。 固体力学的求解方法一般分两种： 位移解法和应力解法。,第四章：物理方程和弹
12、性力学解的基本方程与求法,4.4 按照位移求解,位移解法： 将两类方程中的应力和应变全都替换成位移。 应力解法： 将两类方程中的应变和位移全都替换成应力。 首先讲位移解法。 基本思路： 用物理方程，把应力表达成应变，然后用几何方程把应变表达成位移，这样方程中（基本方程和边界条件方程）只留下位移。 为了减少推导篇幅，采用统一表达式。,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.4 按照位移求解,一、基本方程的简化 物理方程：,用几何方程，把物理方程中的应力变成位移表达：,把以上方程代入平衡方程有：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.4 按照位移求解,其中：,称为拉普拉斯算子
13、。,（A）式对每个分量展开后得书上(4-18)式：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.4 按照位移求解,二、边界条件方程的简化 位移边界条件方程中，只有位移函数，不需要简化。只需简化应力边界条件方程：,把位移表达的应力代入有：,展开后得到书上（4-20）方程：,以上简化得出以下结论：、基本方程化为位移表达的二阶偏微分方程。、边界条件为：或阶、或一阶、或阶组合。,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.4 按照位移求解,、边界条件是完备（所有边界被三类边界包围）. 所以问题是可解且唯一。,位移解的优缺点： 优点： 1、未知函数数量少,可大大减少数值计算时的容量需求。 2
14、、方程阶数较低（两阶）3、能同时表达位移边界和应力边界条件。 4、基本方程和边界条件方程，在数学上符合可解条件。 缺点： 1、方程复杂，以增加复杂度和阶数来减少未知函数数量。 2、根本无法得到任何问题的解析解。 3、用数值解求得位移后，求应变和应力需要求导数，产生很大的误差。 所以位移求解法广泛用于数值解中，而不用于解析解中。,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.5 按照应力求解,顾名思义，应力解法是把方程的未知函数只留下应力，删除应变和位移。 将几何方程中的位移删除不是件容易的事，所以不直接利用几何方程，而是利用6个应变协调方程，因为应变协调方程中只有应变而没有位移，然后利用物
15、理方程把应变变成应力，即：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.5 按照应力求解,以上方程加平衡方程为应力解的基本方程。 对以上方程可以作进一步整理和简化。前三式两两相加可以删除剪应力，例如第一、第三式相加：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.5 按照应力求解,整理后得：,同理可得另外两式并合并：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.5 按照应力求解,三式想加：,代入(B)的第一式：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.5 按照应力求解,对（A）的第四式右边作如下处理：,（A）的第四式变成：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,4.5 按照应力求解,综合得：,第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法,
