中学数学课件 第二章_点的投影

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1、点的投影41 点的三面投影及其规律 1 ） 点的三面投影及其投影标注 如图1-2-19(a)是空间点A三面投影的直观图。图1-2- 19 (b)是三个投影面回转展平后所得点A的投影图。 在投影中，空间的点用大 写字母表示。其在H面上 的投影称为水平投影，用 同一字母的小写字母表示 ；在V面上的投影称为正 面投影，用同一字母的小 写字母并在右上角加一撇 表示；在W面上的投影称 为侧面投影，用同一字母 的小写字母并在右上角加 两撇表示。 1正面投影和水平投影连线必定垂直于X轴，即： aaOX。 2正面投影和侧面投影连线必定垂直于Z轴，即： aaOZ。 3水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离

2、 ，即：a ax= aaZ。1） 点的投影规律 Aa=aax= aay，其中Aa 是空间点A到H面的距离； A a= a ax= aaz，其 中A a是空间点A到V面的 距离； A a= aaz= aay，其中A a是空间点A 到W面的距离。因此，我们 得出：点的三个投影到各 投影轴的距离，分别代表 空间点到相应的投影面的 距离，如图1-2-20从图图1-2-19 (a)中还可以看出：例【1-2-1】：已知点B的H面投影b和W面投影b，求作 点B的V面投影b。 【解】：（如图1-2-21）根据点的投影规律，b的 作法如下：（a）已知点B的H、 W面投影b、b（ b）过b作OX轴的 垂线 bbx

3、并延长之 （c）过b作OZ轴的垂 线bbz并延长之，与bbx 延长线相交于b点即为所求例【1-2-2】：已知空间点C的H面投影c和V面投影c， 求作点C的W面投影c。 【解】：如图1-2-22所示，（a）已知点C的H、V 面投影c、c（b）过c作OZ轴的 垂线ccz并延长之（c）过c作OYH的 垂线ccYH（e）过CYW作OYW的垂线， 与ccz之延长线相交， 交点c即为所求（d）以O为圆心，OCYH为半径 作弧，交OYW于CYW， 即OCYH=OCYW习题1： 已知：点B的H面投影b和W投影面b,求作B的V面投影 b。c习题2： 已知：点C的H面投影c和V投影面c,求作C的W面投影 c。YH

4、YwZbobbYHYwZboc在三投影面体系中，空间点及其投影的位置，可以用坐 标来确定。我们把三投影面体系看作空间直角坐标系， 投影轴OX、OY、OZ相当于坐标系X、Y、Z轴，投影面H、V 、W相当于三个坐标面，投影轴原点O相当于坐标原点。 如图1-2- 23a所示， 空间一点到 三投影面的 距离，就是 该点的三个 坐标（用小 写字母x、y 、z表示） ， 2） 点的投影与坐标空间点到W面的距离为x坐标；即：Aa=aaz=aaYH=x坐标 空间点到V面的距离为y坐标；即：Aa=aax=aaz=y坐标 空间点到H面的距离为Z坐标；即：Aa=aax=aaYW=Z坐标 空间点及投影位置即可用坐标方

5、法表示，如点A的空 间位置是：A（x，y，z）；点A的H面投影是a（x，y ，0），点A的V面投影a（x，0，z，），点A的W面 投影a（0，y，z，）。应用坐标能较容易地求作 点的投影和指出点的空间位置。例【1-2-3】：已知点A的坐标x=20，y=15，z=10，即： A（20，15，10），求作点A的三面投影图。 【解】：如图1-2-24所示(a)画出投影轴；（b）在OX轴上量取Oax=x=20 在OYH轴上量取OaYH=y=15 在OZ轴上量取Oaz=z=10例【1-2-4】：已知点B的坐标x=20，y=0，z=10，即： B（20，0，10），求作点B的三面投影图。 【解】：作法见图

6、1-2-25。注意：点B的y=0，即表示该 点离V面的距离为零，也就是点B位于V面上。（b） 在OX轴上量取Obx=x=20 在OYH轴上量取ObYH=y=0 在OZ轴上量取Obz=z=10(a)画出投影轴；从上例B点的投影图中反映了一个规律：见图1 -2-26如空间点位于投影面上（即点的三个坐标 中有一个坐标等于零），它的三个投影中必有 两个投影位于投影轴上，反之，空间一个点的 三个投影中，如果有两个投影位于投影轴上， 该空间点必定位于某一投影面上。 图1-2-26习题3： 已知：点A（20，15，0），求作点的三面投影图3） 两点的相对位置 由点的投影图判别两点在空间的相对位置，首先应该了

7、解对空 间的一个点来说有前、后、左、右、上、下等六个方位。如图1 -2-29（a）所示。 在V面上的投影，能反映左、右（即空间点到W面的距离x坐标）和 上、下（即空间点到H面的距离z坐标）的情况。 在H面上的投影，能反映左、右（即空间点到W面的距离x坐标）和 前、后（即空间点到V面的距离y坐标）的情况。 在W面上的投影，能反映前、后（即空间点到V面的距离y坐标）和 上、下（即空间点到H面的距离z坐标）的情况。这六个方位 在投影图上 也能反映出 来。如图1- 2-29（b） 所示。 从图中可以 看出：我们可以根据方位来判别两点在空间的相对位置。 例【1-2-5】：试判别C、D两点的相对位置，如图

8、1 -2-30所示。 【解】：从图中可以看出： c、c在d、d之左，即空间点C在点D的 左方； c、c在d、d之下，即空间点C在点 D的下方； c、c在d、d之前，即空间点C在点 D的前方。由此判别出空间点C在点D的左、下、前方，或点D在 点C的右、上、后方。习题4： 已知A、B、C三点的三个投影，如下图，试判断A、B 、C三点的相对位置。bYHYwZboba(b)ccaa(c)点的重影及可见性 由正投影特性可知，如果两个点位于同一条垂直于某投 影面的投影线上，则此两点在该投影面上的投影必然重 叠，该投影可称为重影，重影的空间两个点称为重影点 。 如图1-2-31中，A、B是位于同一投影线上的

9、两点，它们 在H面上的投影a和b相重叠。我们沿着投影线方向朝投 影面观看，离投影面较近的点B被较远的点A所遮挡，点 A为可见点，点B为不可见点。在投影图上规定重影点中 不可见点的投影用字母加一括号表示。 1、点的三面投影及其投影标注 点的三面投影的形成：1）H面投影过空间点A作垂直于H面的投影线，投 影线与H面的交点，投射方向：由上至下； 2）V面投影过空间点A作垂直于V面的投影线，投影线与H面的交点，投射方 向：由前至后； 3）W面投影过空间点A作垂直于W面的投影线，投影线与W面的交点，投射 方向：由上至下；投射方向：由左至右；小结：2、点的三面投影规律 1正面投影和水平投影连线必定垂直于X

10、轴，即： aaOX。 2正面投影和侧面投影连线必定垂直于Z轴，即： aaOZ。 3水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离 ，即：a ax= aaZ。点的三个投影 到各投影轴的 距离，分别代 表空间点到相 应的投影面的 距离点的两个投影之间的关系3、点的三面投影规律的应用 已知点的两面投影，求解第三面投影4、点的投影与坐标 应用根据空间点坐标确定点的三面投影图 把三投影面体系看作空间坐标系，空间一点到三投影面的 距离，就是该点的三个坐标（用小写字母x、y、z表示）5、两点的相对位置（同视图与形体的方位关系） 应用：依据点的三面投影图判别两点的相对位置X坐标确定左右：大者在左； Y坐标确定前

11、后：大者在前； Z坐标确定上下：大者在上。6、重影点及可见性判别cd(c)dC Da(b)a bAB重影点-若两点位于同 一条垂直某投影面的 投射线上，则这两点 在该投影面上的投影 重合，这两点称为该 投影面的重影点。bbYHYwZXoaa cc 作业1：已知空间点的两个投影，求相应的第三面投影 。作业2：作出点的三面投影，A（10，5，10），B（0，15，0） ，C（0，10，20），D（15，0，5）两点相对位置的应用 习题3：判断两点之间的相对位置。XYWZOYHccda ebdae(b)A点在B点A点在D点B点在E点C点在D点A点在E点bbYHYwZXoaa cc 作业1：已知空间点的两个投影，求相应的第三面投影 。作业2：作出点的三面投影，A（10，5，10），B（0，15，0） ，C（0，10，20），D（15，0，5）ab caxXYHYwZayazaaabbbcccddd两点相对位置的应用 习题3：判断两点之间的相对位置。XYWZOYHccda ebdae(b)A点在B点A点在D点B点在E点C点在D点A点在E点下、左、前正后方右、前左、下上、后结 束!