2013年普通高等学校招生全国统一考试《理科数学》（全国Ⅱ卷）真题

第 1 页 共 8 页20132013 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (新课标全国新课标全国ⅡⅡ卷卷) )《《理科数学理科数学》》试卷试卷注意事项：注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回第第ⅠⅠ卷（选择题卷（选择题 共共 5050 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题每小题小题每小题 5 5 分，共分，共 5050 分在每个小题给出的四个选项分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的1 1、已知集合、已知集合，，，则，则（（ ））2{ |(1)4,}MxxxR{ 1,0,1,2,3}N  MN I（A） （B） （C） （D）{0,1,2}{ 1,0,1,2}{ 1,0,2,3}{0,1,2,3}2、 、设设复数复数满满足足， ，则则（ （ ） ）z(1)2i ziz （A） （B） （C） （D）1 i 1 i 1 i1 i3 3、等比数列、等比数列的前的前项和为项和为，已知，已知，，，则，则（（ ））{}nannS32110Saa59a 1a （A） （B） （C） （D）1 31 31 91 94 4、已知、已知为异面直线，为异面直线，平面平面，，平面平面。

直线直线 满足满足，，,m nm n llm，，，，，则（，则（ ））lnll（A）且 （B）且/ // /ll（C）与相交，且交线垂直于 （D）与相交，且交线平行于ll第 2 页 共 8 页5 5、已知、已知的展开式中的展开式中的系数为的系数为 ，则，则（（ ））5(1)(1)axx2x5a （A） （B） （C） （D）43216 6、执行右面的程序框图，如果输入的、执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的，那么输出的（（ ））10N S （A） （B）1111231011112!3!10!（C） （D）1111231111112!3!11!7 7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是中的坐标分别是，，，，Oxyz(1,0,1)(1,1,0)，，，画该四面体三视图中的正视图时，以，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正平面为投影面，则得到正(0,1,1)(0,0,0)zOx视图可以为（视图可以为（ ））(A)(B) (C) (D)8 8、设、设，，，，，则（，则（ ））3log 6a 5log 10b 7log 14c （A） （B） （C） （D）cbabcaacbabc9 9、已知、已知，，满足约束条件满足约束条件，若，若的最小值为的最小值为 ，则，则（（ 0a , x y1, 3, (3)x xy ya x  2zxy1a ））（A） （B） （C） （D）1 41 21210、已知函数，下列结论中错误的是（（ ））32( )f xxaxbxc（A），0xR0()0f x（B）函数的图象是中心对称图形( )yf x第 3 页 共 8 页（C）若是的极小值点，则在区间单调递减0x( )f x( )f x0(,)x（D）若是的极值点，则0x( )f x0'()0fx1111、设抛物线、设抛物线的焦点为的焦点为，点，点在在上，上，，若以，若以为直为直2:3(0)C ypx pFMC|| 5MF MF径的圆过点径的圆过点，则，则的方程为（的方程为（ ））(0,3)C（A）或 （B）或24yx28yx22yx28yx（C）或 （D）或24yx216yx22yx216yx1212、已知点、已知点，，，，，直线，直线将将分割为面积相等分割为面积相等( 1,0)A (1,0)B(0,1)C(0)yaxb aABC的两部分，则的两部分，则的取值范围是（的取值范围是（ ））b（A） （B） （C） （D）(0,1)2 1(1, )222 1(1, )231 1[ , )3 2第第ⅡⅡ卷卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

第本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答第 2222 题题~ ~第第 2424 题为选考题，题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分13）已知正方形的边长为，为的中点，则_______ABCD2ECDAE BDuuu r uuu r（14）从个正整数中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 的概n1,2,,n5率为，则______________1 14n （15）设为第二象限角，若，则______________1tan()42sincos（16）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为{}nannS100S1525SnnS_____________________.第 4 页 共 8 页三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17）（本小题满分 12 分）在内角的对边分别为，已知ABC, ,A B C, ,a b ccossinabCcB（（ⅠⅠ）求）求；；B（（ⅡⅡ）若）若，求，求面积的最大值。

面积的最大值2b ABC（18）如图，直三棱柱中，，分别是，111ABCABCDEAB的中点，1BB12 2AAACCBAB（（ⅠⅠ）证明：）证明：平面平面；；1/ /BC11ACD（（ⅡⅡ）求二面角）求二面角的正弦值的正弦值1DACEEDB1C1ACBA1第 5 页 共 8 页（（1919）（本小题满分）（本小题满分 1212 分）分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，1t500未售出的产品，每亏损元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率1t300分布直方图，如右图所示经销商为下一个销售季度购进了该农产品以（130tX单位： ，）表示市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内t100150XT经销该农产品的利润Ⅰ）将表示为的函数；TX（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于元的概率；T57000（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取[100,110)x，且的概率等于需求量落入的的数学期望105X 105X [100,110)T第 6 页 共 8 页（20）(本小题满分 12 分)平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线xOy2222:1(0)xyMabab交于两点，为的中点，且的斜率为。

30xyM,A BPABOP1 2（（ⅠⅠ）求）求的方程；的方程；M（（ⅡⅡ））为为上的两点，若四边形上的两点，若四边形的对角线的对角线，求四边形的最大值，求四边形的最大值,C DMACBDCDAB21）（本小题满分 12 分）已知函数 )ln()xf xexm（（ⅠⅠ）设）设是是的极值点，求的极值点，求，并讨论，并讨论的单调性；的单调性；0x ( )f xm( )f x（（ⅡⅡ）当）当时，证明时，证明2m ( )0f x 第 7 页 共 8 页请考生在第请考生在第 2222、、2323、、2424 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号答时请写清题号22）（本小题满分 10 分）选修 4-1 几何证明选讲 如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦CDABCABCDDEF与弦上的点，且，、、、四点共圆ABACBC AEDC AFBEFC（（ⅠⅠ）证明：）证明：是是外接圆的直径；外接圆的直径；CAABC（（ⅡⅡ）若）若，求过，求过、、、、、、四点的圆的面积与四点的圆的面积与外接圆面积的外接圆面积的DBBEEABEFCABC比值。

比值 第 8 页 共 8 页（23）（本小题满分 10 分）选修 4——4；坐标系与参数方程已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与PQ、2cos,:2sinxCy  = （），为的中点2 M02MPQ（（ⅠⅠ）求）求的轨迹的参数方程；的轨迹的参数方程；M（（ⅡⅡ）将）将到坐标原点的距离到坐标原点的距离表示为表示为的函数，并判断的函数，并判断 M M 的轨迹是否过坐标原点的轨迹是否过坐标原点Mda（24）（本小题满分 10 分）选修 4——5；不等式选讲设设均为正数，且均为正数，且，证明：，证明：abc、、1abc（（ⅠⅠ））；（；（ⅡⅡ））1 3abbcac222 1abc bca。