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1、1惠州市惠州市 2015 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试数学（理科）数学（理科）本试卷共 5 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无
2、效。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求一项符合题目要求.1若集合|1,Ax xxR，|Bx yx，则AB ( )A.|01xxB.|0x x C.| 11xx D.2下列函数中，既是偶函数又在区间0,1上单调递减的函数为( )A.xy1B.xylgC.xycosD.2xy 3 “0 ba”是“22ba ”成立的( )条件A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要4设双曲线22221xy ab 的虚轴长为 2，焦距为32，则此双曲
3、线的离心率为( )A.6 2B.3 2 C.2 2D.3 25空间中，对于平面和共面的两直线m、n，下列命题中为真命题的是( )A.若m，mn，则/nB.若/m，/n，则/mnC.若m、n与所成的角相等，则/mn D.若m，/n，则/mn26某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为( )A.840 B.720 C.600 D.307数列 na，满足对任意的nN，均有12nnnaaa为定值若792,3,aa984a，则数列 na的前 100 项的和100S( )A.132 B.299 C.68 D.998在平面直角坐标
4、系中，定义两点11( ,)P x y与22(,)Q xy之间的“直角距离”为1212( ,)d P Qxxyy给出下列命题：(1)若(1,2)P，(sin,cos)Q()R，则( ,)d P Q的最大值为32；(2)若,P Q是圆221xy上的任意两点，则( ,)d P Q的最大值为2 2；(3)若(1,3)P，点Q为直线2yx上的动点，则( ,)d P Q的最小值为1 2其中为真命题的是( )A. (1) (2) (3) B. (2) C. (3) D. (2) (3)二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5
5、分，满分分，满分 30 分）分）（一）必做题：第（一）必做题：第 9 至至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答题为必做题，每道试题考生都必须作答9某校有4000名学生，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为_10已知(1,2)a ，(0,1)b ，( , 2)ck ，若(2 )abc ，则实数k _11已知复数3 2za i(Ra)，若iz23 212 ，则实数a的值为_12已知xR ，使不等式2log (4)31axx恒成立，则实数a的取值范围是_13, ,A
6、B C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有230PAPBPC ，现将一高一高二高三女生600y650男生xz7503粒黄豆随机撒在ABC内，则这粒黄豆落在PBC内的概率为_（二）选做题：第（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分。分。14 （坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的参数方程为24xatyt （t为参数） ，圆C的参数方程为4 cos 4 sinx y （为参数） 若直线l与圆C有公共点，则实数a的取值范围是_15 （几何证明选讲选做题）（几何证明选讲
7、选做题）如图 1，点, ,A B C都在圆O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若5AB ，3BC ，6CD ，则线段AC的长为_三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 6 小题，满分小题，满分 80 分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤骤 ）16 （本小题满分 12 分）已知函数( )sin()f xAx，xR（其中0,0,22A ） ，其部分图像如图 2 所示（1）求函数( )f x的解析式； （2）已知横坐标分别为1、1、5的三点,M N P都在函数( )f x的图像上，求sinMNP的值17 （本小题满分 12 分） 惠州市某校中学
8、生篮球队假期集训，集训前共有 6 个篮球，其中 3 个是新球（即没有用过的球） ，3 个是旧球（即至少用过一次的球） 每次训练都从中任意取出 2 个球，用完后放回ACBDO A图 1图 2yx210 111234564（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望； （2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率 参考公式：参考公式：互斥事件加法公式：()( )( )P ABP AP B（事件A与事件B互斥） 独立事件乘法公式：()( )( )P ABP AP B（事件A与事件B相互独立） 条件概率公式：()(|)( )P ABP B AP A
9、 18 （本小题满分 14 分）三棱柱111ABCABC的直观图及三视图（正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形）如图所示，D为AC的中点（1）求证：1AC 平面1BDC；（2）求二面角1ABCD的正切值19(本小题满分 14 分)已知数列 na的前n项和1 2n nnaS ，且11a （1）求数列 na的通项公式；（2）令lnnnba，是否存在k(2,)kkN，使得kb、1kb、2kb成等比数列若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由正视图侧视图俯视图222DABC1A1C1B5620 （本小题满分 14 分）已知抛物线2 1:2Cypx(0)p 的焦点F以及椭圆2222
10、2:1yxCab(0)ab的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O xy上（1）求抛物线1C和椭圆2C的标准方程；（2）过点F的直线交抛物线1C于,A B两不同点，交y轴于点N，已知1NAAF ，2NBBF ，求12的值；（3）直线l交椭圆2C于,P Q两不同点，,P Q在x轴的射影分别为,P Q， 10OP OQOP OQ ，若点S满足OSOPOQ ，证明：点S在椭圆2C上21 （本小题满分 14 分）已知函数( )(0)tf xxxx ，过点(1,0)P作曲线( )yf x的两条切线PM，PN，切点分别为M，N（1）当2t 时，求函数( )f x的单调递增区间；（2）设( )g tMN，求
11、函数( )g t的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间642,nn内，总存在1m个数121,mma aaa使得不等式121()()()()mmg ag ag ag a成立，求m的最大值7数数 学学 (理科）参考答案理科）参考答案 一选择题：共一选择题：共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分分题号12345678答案ACBADBBD1 【解析】由1x 得11x ，11|Axx ；由yx得0x ， 0|Bx x。01ABxx|。故选 A.2 【解析】首先cosyx是偶函数，且在0,上单减，而0,1 0,， 故cosyx满足条件。故选 C.3 【解析】
12、由不等式的性质知，当0ab时，22ab成立；反之，例如取31,ab ，显然22ab，而0ab不成立。故选 B.4 【解析】由已知知13,bc，所以2a ，所以6 2cea 。选 A.5 【解析】当m，/n时，必有/mn或m与n异面直线，而m与n是共面的两条直线，所以/mn。故选 D.6 【解析】分两类。第一类：甲、乙两人中恰有一人参加，方法种数为134 254480CCA种，第二类：甲、乙两人同时参加，方法种数为24 54240CA种，根据分类计数原理， 满足条件的方法种数为 480+240=720 种。故选 B.7 【解析】对任意的nN，均有12nnnaaa为定值，123120()()nnn
13、nnnaaaaaa，故3nnaa， na是以 3 为周期的数列，故172aa，2984aa，393aa，100123979899100133 243299()()()Saaaaaaaa。选 B.8 【解析】对于（1） ，12324d P Q( ,)sincossin ， ,( ,)Rd P Q的最大值为32，故（1）不正确。对于（2） ，要使( ,)d P Q最大，必有,P Q两点是圆上关于原点对称的两点，可设 22 22,P 22 22,Q，则2 2( ,)d P Q 。故（2）正确；对于（3） ，设002(,)Q xx，则00123( ,)d P Qxx，去掉绝对值后可知当03 2x 时，( ,)d P Q取得最小值1 2。故（3）正确。故选 D. 二填空题：共二填空题：共 7 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分其中分其中 1415 题是选做题，考生只能选做题是选做题，考生只能选做 一题一题930 108 111 2 122 4,131 6 14. 2 5 2 5, 159 29 【解析】由条件有4000 0.2800x ，4000 1400 14001200yz，而抽样比例为1001 400040 ，故高二抽取的学生人数为112003040 人。810 【解析】21 4( , )ab，(2 )0abc 808kk。11
