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1、第三章 剪切与圆轴扭转3-1 剪切一、剪切概念、剪应力1、剪切剪切构件受力特点作用在构件两侧面上 的外力合力 大小相等、方向相反， 且作用线很近。变形特点力作用线间截面发生相对错动 。常见剪切现象：剪刀裁剪，冲床裁剪东西。如图：冲床裁剪钢板钢板受力变形1-1与2-2两平面相对错动，平行于作用力 方向，称为剪切面。外力达到一定时， 受剪构件沿剪切面剪断。2、剪应力构件受剪切作用，剪切面产生内力Q如图：搅拌轴上受剪切的键轴上的键受力特点 如图 键一部分镶嵌在轴内,另一部 分插入连轴器键槽内利用截面法沿剪切面将键 分成两部分，取一部分 分析，受力图剪切面上的内力Q，外力N，根据内外力平衡得： N=Q
2、 Q剪力，与剪切面相切，假定剪力分布均匀 。剪应力单位面积上剪力，用表示。剪应力单位：MPa(N/mm2)，Pa(N/m2)假设剪力分布均匀，计算剪应力为名义剪 应力，与真实剪应力分布有差别。例：一个受剪销钉受力如图。销钉横截面积A.销钉存在两个剪切面，受力如图2Q=P, Q=P/2 销钉上剪应力 P二、挤压概念、挤压应力挤 压两物体表面间相互压紧，使表面局部受压。挤 压 力作用面上的压力。挤压应力挤压作用在挤压面上引起的应力，用j表示，单位面积挤压力。如图：受挤压作用构件，一块钢板通过销钉连接。钢板受力P作用，则钢板孔表面受到挤压作用 。如图：挤压力过大造成的破坏现象： 接触面局部表面发生塑
3、性变形，或变长钢 板圆孔圆孔或销钉压溃，或两者同时存在。 工程上表现在连接件孔变大后，连接松动 。挤压应力与压缩应力区别： 挤压应力只分布于两构件相互接触局部 区域，在挤压面表层。挤压应力较大， 稍远处迅速减小。 压缩应力均匀分布于整个构件内部。A挤压面积，构件之间接触面积。挤压应力jj挤压力 挤压面积确定： 对平面接触，A为接触面积。 对圆柱面接触， Aj为圆柱面投影面积 ，Aj=dt如图 ： t板厚度 d孔直径三、剪切与挤压计算确保构件安全工作，应保证材料中应力在 允许范围内。剪切与挤压强度条件： 许用剪切应力对塑性材料 和j 与许用拉应力可近似建立如下关系：j 许用挤压应力对脆性材料 =
4、 (0.60.8) j = (1.72) = (0.801) j = (0.91.5) 注意：一般受剪构件同时也受挤压，应进行剪切与挤压两方面计算。剪切与挤压强度计算可解决三方面计算：设计结构尺寸 确定许用载荷 QA Pjj Aj强度校核 j j 四、剪应变、剪切虎克定律 构件受剪切，两剪切面发生相对错动，发生剪切 变形。变形如图：剪切面取微段dx，放大图剪切虎克定律当剪应力不超过材料剪切 比例极限p ，与 成正比， =G G剪切模量，物理意义表示材料抵抗剪切变形能力。 剪切模量G与弹性模量之间关系：微段dx长 剪切变形，egfh相对于abcd面变形长ee ee 绝对变形相对变形 很小。为矩形
5、直角微变形，称为剪应变或角 应变。 单位 弧度(rad)3-2 扭转概念杆件扭转的受力特点：作用在杆两端一对力为力偶，等值 、 反向。杆件扭转的变形特点：杆横截面绕轴线产 生相对转动，使纵 向线变为螺旋线。3-3 扭转时外力和内力计算扭转构件强度计算方法：由受力分析求外力。 由截面法求内力。 由试验作假设和推论，建立应力在 横截面分布形式。 建立应力、应变计算式，进行强度 与刚度计算。一、外力偶矩计算由一胶带带动传动轴，如图：研究AB传动轴， A轮受到的胶带拉力 T1，t 1 T1 t 1 B轮受到的胶带拉力 T2，t 2 T2 t 2 将AB轴视为刚性，利用力的平移定理对轮 受力进行简化：各
6、力向中心平移，得到一 合力与一附加力偶矩。 简化后受力如图：TA = T1 + t1 mA = (T1 - t1) R1 TB = T2 + t2mB= ( T2 - t1) R2 mA 与 mB 大小相等，方向相反。1、由功率 P 与转数 n 求外力偶矩 m 假设皮带上的力 T1 , t1T1每分钟做功 W1=2 R n T1t1每分钟做功 W2=2 R n t1 W1为正功， W2为负功 有用功 W= W1 - W2 =2 R n(T1-t1)= 2 nm 功率 P 单位：kW，1kW=1kN m/s 每分钟做功W=60P 60P= 2 nm， 公式中单位： 功率 PKw转数 n转/分钟，
7、r p m 外力偶矩 mkN m由上式得出如下结论： 功率一定，n，力偶矩m,对传递相同功 率的轴，高速轴细，低速轴粗。对减速机 而言，与电机相连轴细，与搅拌轴相连轴 粗。 n 一定，P , m ,按一定搅拌功率设计反应 釜，不可随意提高功率。 m 一定， n， P , 如果搅拌轴转速不够， 欲提高 n ，则应加大功率。2、受扭轴任一截面上内力计算 求内力截面法 内力形成内力偶称为扭矩. MT 表示.如图：受扭转轴，两 端外力偶矩mA，mB 求扭矩。任取一截面mn，将AB分为 两部分，取右侧研究： 由内、外力偶矩平衡得： MT - mA =0 MT = mA扭矩本质为内力偶矩。 扭矩是代数量有
8、大小、正负。正负规定如下： 由右手螺旋法则决定四指沿扭矩旋转方向 ，拇指指向与横截面外法线一致，扭矩为正， 反之为负。3、计算扭矩方法 用截面法：将轴分为两部分，任一截面上扭矩数值为该部分所有外力偶矩代数和。 4、扭矩图表示扭矩在各截面上的变化规律。作图方法：取平行于轴线坐标表示各横截面位置。垂直于轴线坐标表示各截面扭矩数值。正扭矩在坐标轴上边，负在下边。例题：受多力偶矩轴EFEA段 BC段CD段解：用截面法求各截面扭矩。MTBC = 10-3 = 7 kN mAB段 MTAB = mA =10 kN mMTCD = 9 kN mMTEA=03-4 圆轴扭转时的应力分析强度问题的关键求出截面中
9、最大应力及应力分布规律。分析强度问题基本方法：由试验观察，作出假设与推论。 由变形几何关系，找出应变变化规律。 由物理关系应力与应变关系，得应力分 布规律。 由静力学关系应力与内力关系，得出应 力计算公式。一、由试验观察得假设与推论如图：一左端固定圆轴，在表 面均布一些平行轴线纵向线 ，和垂直轴线圆轴线，圆周 线代表横截面。 在右端加一个力偶矩 m，使轴扭转。受扭后变形如右图： 取轴表面一条纵向线AB观察 ；A点不动，B点转动到B点 。 AB与AB夹角 OB与OB夹角 由试验观察得到：各圆周线形状，大小，及两线之间距离 均未变，只转一个角度。扭转后各纵向线均近似直线，只倾斜一 个角度 表面矩形
10、方格变为平行四边形。 由此可做 平面假设：圆周受扭变形前为平面的横截面，变 形后仍为平面，形状、大小不变。即圆柱体 受扭后仍为圆柱体。圆轴扭转变形可视为各截面象刚性平面一样，一个接一个绕轴线转动。离固定端越远，转角越大。由平面假设得推论： 扭转导致横截面相对转动，表面小矩形变为 平行四边形，矩形直角改变了角度 ，可推 得发生了剪应变，存在剪应力。剪应力方向 为与半径垂直圆周方向。 变形前后横截面距离不变，圆轴未伸长与缩 短，纵向应变 =0，只有剪应力，无正应力 。二、变形几何关系导出应变变化规律在受扭转圆周上，相距 dx 两截面之间取 一段，截面 11，22 如图：假设扭转时11相对22不动，
11、 22截面 相对11截面转d角,AD线扭转变为AD. tg DD/AD =DD/dx , DD=Rd 非常小时，tg 剪应变 对截面上任一点G，变形后到G点 O2G=O2G= , O2G与O2G夹角d，转角 得 结论： 为截面转角沿轴线变化率， 为单位长度转角,同一截面各点相同。 ，圆心为O，外表面最大，同一圆 周上各点剪应变相同。三、物理关系求剪应力分布 物理关系应力应变之间关系 得由此式得剪应力分布： 某点剪应力与该点到轴心距离成正比。 轴心 =0，外表面max 相同半径 圆周上各点相同。 剪应力方向与半径垂直，与横截面相切。图上表示剪应力分布四、利用静力学关系求剪应力 如图离轴心处取一微
12、面积dA 作用在微面积上剪力 dF= dA dF对轴心微力矩 dMr dMr= dF= dA 合力矩 令 IP 只与横截面尺寸有关 。 IP 横截面极惯性矩。等圆周扭转横截面上任一点剪应力。 = R 时 ， 令 ，WP抗扭截面模量。 五、圆截面 IP 与 WP 计算1、对实心圆截面2、对圆环截面内径 d ，外径D3-5 圆轴扭转时变形对等截面轴，距离 dx 两截面，相对转角 d 相距的两截面，相对转角 如果各截面扭矩不变，材料相同，直径相同，转角单位 弧度与Mr, 成正比，与 GIP 成反比。 GIP抗扭刚度。剪应力计算公式及扭转变形计算公式 适用范围：适用实心圆轴及空心圆轴，不适用非圆截面轴
13、。3-6 圆轴扭转时的强度与刚度计算一、圆轴扭转强度条件为确保轴安全工作，各截面最大剪应力应 不超过许用剪应力 Mrmax危险截面扭矩。单位 N mm WP危险截面抗扭截面模量。mm3 max单位 Mpa (N/mm2)判断危险截面：整个构件中直径最小截面扭矩最大截面 许用剪应力 的确定：由扭转实验得扭转屈服s ，取一定 安全系数 n , = s / n对塑性材料 = (0.50.6) 对脆性材料 = (0.81.0) 公式应用与拉压强度公式相似。二、圆轴扭转刚度条件设计受扭转轴 既要保证强度又要保证刚度。刚度设计条件：保证限制单位长度转角不超过许用单位长度转角 即单位：弧度/米 ( rad
14、/ m ) 工程上使用单位 ( 0 / m)如果：Mr 单位 N mm , IP 单位mm4 ,G 单位 MPa( 0 / m)机械设计手册中规定：精密轴 = (0.150.5) 0 / m传动轴 = (0.51.0) 0 / m一般轴 = (24) 0 / m例一、如图 一直杆AB ,d=40mm,长l=1m,B处 焊接一刚性折杆BC,长 a=0.5m,当P=1kN时,试 校核AB段强度及C点 的垂直距离。解： AB轴所受的扭矩 Mr Mr = P a = 0.5kN m = 0.5106 N mmAB强度校核=39.8MPa安全C点垂直位移 mC点转角 AB段内Mr不变，d不变，材料不变 。 = 0.0249 (rad) m = a =0.02490.5 103
