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1、算子方程的数值求解算子方程的数值求解施国兴施国兴 10802071前言在数值分析介绍过解线性方程组的直接方法，迭代 法和非线性方程的迭代法。 迭代法最关键的也就是不动点定理. 定理：设X,是完备的度量空间的压缩映射必定在X上存 在不动点。本课程主要内容： 1）线性算子方程的近似解法 2）算子方程式的迭代求解主要内容 线性算子方程的近似解法有限基法有限差分法Galerkin法配置法例8.1.1定理8.1.1推论例8.1.2线性算子方程的近似解法设X是Banach空间，T:XX是线性算子； 给定,求,使得：式（8.1.1）就是线性算子方程线性算子方程。它的近似解法有两种类型：它的近似解法有两种类型
2、： 1）有限基法2）有限差分法Xf Xx) 1 . 1 . 8 ( fTx 有限基法的Galerkin方法方法。 设X假定为可分Hilbert空间，选择ei是其直交规范基，令假定T=I-X，其中A属于XX赋范线性空间的有界算子，且 ，则(8.1.1)可近似成：为了求解使得方程式（8.1.3）成 立，只需求解下列方程组：算法的精确性是依懒于ei和n的选择。)2 . 1 . 8()(1)( in ininecx 1A )3 . 1 . 8()()(fAxxnn,.,2 , 1,)(niRcn i) 4 . 1 . 8 (,.,2 , 1,1)(njefeAeccjjin inin j 有限基法中的
3、配置法假定X是0,1区间上函数构成的赋范线性空间，选择X中 一组线性独立元e1,e2,en,令式（8.1.2）仍表示x的近似 表示，假定T=I-X，其中A假设如前，则式(8.1.1)可近似成：其中。这样，为了求解使得方程式（8.1.3） 成立，只需求解下列方程组：算法的精度是依懒于ei和n的选择。) 5 . 1 . 8 (,.,2 , 1),()()(nktftxAIkkn1.021nttt ,.,2 , 1,)(niRcn i) 6 . 1 . 8 (,.,2 , 1),()()()(1nktfctAetekn ikikini 一个例子：例8.1.1例8.1.1，考虑如下线性时变常微分方程其
4、中;假定则T: 可表示为：再令而（8.1.7）等价如下方程：)7.1.8( )0(1 ,0,)()()()()( xxttutBtxtAtxnnRtuRtx)(,)(,1 . 0 ,nC)8.1.8(1 ,0,)()()()(0tdtxAtxtxTt)9.1.8(1 ,0,)()()(0tdtuBxtft)10.1.8(1 ,0,)()()()()(00tdtuBdtuBxtxtt一个例子：例8.1.1显然有算子方程成立，如下：只要满足A属于XX赋范线性空间的有界算子，且 ，则由配置法所得近似解：fxAITx)( 1A)12. 1 . 8 ( 1 , 0 ),()()(1)( ttectxim
5、 imim有限差分法导言X是0,1 区间上函数构成的赋范线性空间，对于，设 有其中， 则：x在ti的导数可近似成前向差分：其中h0为ti的增量。又设f 是定义在x上的函数，则积分可近似表示为：其中wi为”权系数”， ti的划分由不同方式选择。btttan.21Xx,.,2 , 1),(nitxxii)13. 1 . 8(/)()()(htxhtxtxiii)16. 1 . 8()()( 1baiinitxfdttxf有限差分法的使用步骤1) 这样，对式（8.1.1）的线性算子方程式，假定利用有限差分可求得（Tx）(ti)；或者当T=I-A,A:XX 时：求得(A(x)(ti),这边得到一组n个
6、代数方程：其中(A(x)(ti)是(x(t1),x(tn)的函数。2)又设是利用式（8.1.17）的代数方 程组求 得的离散数值解。3)利用插值可得原方程的近似解x0;4) 这边得到如下的误差限的估计。)17. 1 . 8 (,.,2 , 1),()()(nitftAxtxiiinitxxii,.,2 , 1),(0定理8.1.1定理：在前述的假设条件下，假定定理：在前述的假设条件下，假定，而，而x是式（是式（8.1. 1）线性算子方程的严格解，即）线性算子方程的严格解，即x=f+Ax;又设又设x1=f+Ax0,则有则有 如下误差界限公式：如下误差界限公式：证明：由于x-x1=A(x-x0),
7、则有：并且注意到x-x0=x-x1+x1-x0 ,则有：结合以上两个不等式则得式（8.1.18）,同时注意到第 一个不等式，并利用式（8.1.18）两边同乘以，即得式 （8.1.19）.1A19.1.8)1/(18.1.8)1/(011010 AxxAxxAxxxx A01xxAxx0110xxxxxx推论推论：当X采用一致范数时，必有：证明证明：因为X用一致范数，则必有：再利用式(8.1.18)即得式(8.1.20).20.1.8,.,2, 1),1/()(01niAxxtxxiinixxtxxii,.,2, 1,)(0例8.1.2 例：考虑如下初值问题：在t=0.1时x的值并进行误差估计。
8、 1)解得离散数值解。 令,利用可解得，因为。 2）利用二次多项式线性插值。 设1)0(2)()( xttxtx1 . 0,.,01. 0, 010ttt9,.,2, 1 , 0, 2)(01. 0)1(ktxtxxkkkk.2051.1)1.0(010xx2)0(x2)(ctbtatp例8.1.2很容易得到：3）进行误差限的估计： 假定x取值于C0,0.1，由原方程得又设,则有线性算子方程 ， 又因为2 0051. 021)( 51. 02051. 1) 1 . 0(22)0(11)0(tttx cxbxax 1.0,0,)(21)(0tdxttxtdxtAxttft0)()( ,21)(f
9、xAI)(01. 0)(max(sup 01 . 0, 01ttxdxA例8.1.2再利用x1=f+Ax0得从而可得:定理8.1.1得： ，而且从而得x(0.1)的误差估计： 1.2041y =0;构造P:XX 为Px=x+A(Tx-f),即利用迭代引出 定理：在上述假设条件下，设S是X中的有界闭集，即有：P:SS 是收缩映射，即有0c1,使得：则式(8.1.23)的迭代算法对任意收敛到唯一点 使得；而且当k步终止迭代时有)23. 1 . 8()(1fTxAxxkkk yxdiaSd Syx,0supSyxyxcyPxP,)()( Sx 0SxfxT)24. 1 . 8(0dcxxk k定理8
10、.1.3证明证明：因S在X中闭，从而按照范数规定的距离，S是完备的 度量空间。由收缩映射定理，P在S有唯一不动点,即,从而有由A的特性知，即 是非线性方程的唯一解 ，其次令，递推定义，因P是收缩映射，且 S闭，则对任意有，且令则必有，从而；因是P的不 动点，则, 从而得式（8.1.24）x)( xPx)(fxTAxx0 fxTxfTx SS 0)(1kkSPSZk yxdiaSdkSyxkk ,sup0SSk,.,2 , 1, 1kcddkk,kSxZkdcdk k,0x牛顿迭代法定理8.1.4: 考虑非线性算子方程Tx=0,其中，X和Y 为Banach空间, D是定义域；假定对某个，T在x0
11、的某 个邻域N(X0, )二次Frechet可微，而且还假定 1）dT(x0)有有界逆，即使得2）二次Frechet微分d2T(x)在N(X0, )一致有界，即使得：由T(x)的Taylor级数推导得：要使得上式收敛于的充分条件：YXDT: Dx 0, 0, 000)26. 1 . 8 ()()(,)(001 001 0xTxdTxdT)27. 1 . 8 (),(,)(002xNxKxTd)31. 1 . 8(2)()(200 01 00xxKxTxdTxx0)( xT 2/1)(2)(0000KhIII牛顿迭代法满足上面的条件，可得到牛顿迭代法：Ps: 还有改进型的牛顿迭代法,如果感兴趣的，可以请参考P3 22P323.,.2 , 1),()(11 11 kxTxdTxxkkkk总结 线性方程近似解法的两种方法。 线性方程近似解法的两个实例。 迭代法中线性方程的迭代法。 非线性算子方程的迭代法，牛顿迭代法。谢谢！
