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1、各类信号的Fourier分析,1连续周期信号 (FS),设xp(t)是时域连续周期信号，周期为tp，且满足狄里克雷条件，则的Fourier级数存在,系数cn是基波和各次谐波的幅值，计算公式为,x(t)是xp(t) 在0,tp之间的取值，称为xp(t)的主值区间,设f(t)是连续非周期信号，且满足绝对可积条件，则f(t)的Fourier变换存在,其中,2连续非周期信号,Fourier变换的性质,3离散非周期信号 (DTFT),离散序列x(n)满足绝对可和条件，则x(n)的Fourier变换存在,频谱的主值区间为=0,2,例：设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT,解：,设N=4， 幅度与相位
2、随变化曲线如图所示。,R4(n)的幅度与相位曲线,4离散周期信号 (DFS),设xp(n)是周期为N的离散周期序列，xp(n)= xp(n+kN)，周期为N，则周期序列xp(n)可以像时间连续周期信号那样展开成Fourier级数,其中k为任意整数，k=k0k次谐波的角频率，,基波角频率，ckk次谐波的幅度,其中,令XN(k)=Nck，则有,将周期序列分解成N次谐波， 第k个谐波频率为 k=(2/N)k, k=0, 1, 2 N-1，幅度为(1/N)XN(k)。基波分量的频率是2/N， 幅度是(1/N)X1(k)。,例: 设x(n)=R4(n)， 将x(n)以N=8为周期， 进行 周期延拓，周期
3、为8，得到周期序列， 求此序列 的DFS。,解：,其幅度特性如图(b)所示。,5有限长序列 (DFT),设x(n)长度为N的有限长序列，x(n)只在n=0到N-1有值，其他为0，可视为周期为N的周期序列xp(n)的一个主周期，把xp(n)看作是x(n)的周期延拓，即,同理，有限长序列X(k)可看作周期序列Xp(k)的主值序列，周期序列Xp(k)可看作有限长序列X(k)的周期延拓，即,由此可定义有限长序列的离散Fourier变换和逆变换,例: x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT,设变换区间N=16， 则,FFT结果的物理意义,FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变
4、换到频域 。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。,模拟信号,数字信号,ADC采样,采样频率,2信号频率,N个采样点,FFT,N个点的FFT结果,通常N取2的整数次方,假设,采样点数为N,采样频率为Fs,信号频率F,FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。,与原始信号的幅度的关系？,假设原始信号的峰值为A,FFT的结果的每个点 (除了第1个点之外),模值=AN/2,相位=该频率
5、下的信号的相位,第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍,第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半份分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。,某点n所表示的频率Fn=(n-1)*Fs/N,频域分辨率(Fn所能分辨到频率): Fs/N,如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率，采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒
6、时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。,如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。,假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，则这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。,根据以上的结果，就可以计算出n点(n1，且nN/2)对应的信号的表达式为：,对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N,由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。,例：假设有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、 相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为 75Hz、相位
7、为90度、幅度为1.5V的交流信号。,用数学表达式就是如下：,式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。,以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。,按照上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。,我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。,我们来看看FFT的结果的模值如图所示,从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：,1点：512+0i2点： -2
8、.6195E-14-1.4162E-13i3点：-2.8586E-14-1.1898E-13i50点：-6.2076E-13-2.1713E-12i51点：332.55-192i52点：-1.6707E-12-1.5241E-12i75点：-2.2199E-13-1.0076E-12i76点：3.4315E-12+192i77点：-3.0263E-14+7.5609E-13i,很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。,接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：,1点：51251点：38476点：192,按
9、照公式，可以计算出：,直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为： 192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。,可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。,然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言。,先计算50Hz信号的相位， atan2(-192,332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是 180*(-0.5236)/pi=-30.0001。,再计算75Hz信号的相位， atan2(192,3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是 180*1.5708/pi=90
10、.0002。,根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。,总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。,要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间
11、内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。,DFT的应用举例,DFT的快速算法FFT的出现， 使DFT在数字通信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。,用DFT对信号进行谱分析,所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算， 使其应用受到限制， 而DFT是一种时域和频域均离散化的变换， 适合数值运算， 成为
12、分析离散信号和系统的有力工具。 1. 用DFT对连续信号进行谱分析 工程实际中， 经常遇到的连续信号xa(t)， 其频谱函数Xa(j)也是连续函数。 利用FFT对连续信号的频谱进行分析其实是一个对信号逐级近似的过程。,设连续信号xa(t)和持续时间Tp， 最高频率为fc， xa(t)的傅里叶变换为,对xa(t)以采样间隔T1/2fc(即fs=1/T2fc)采样得 a(t)= Xa(nT)。 设共采样N点， 并对Xa(jf)作零阶近似(t=nT, dt=T)得,显然， Xa(jf)仍是f的连续周期函数，a(t)和X (jf)如图 (b)所示。 对 X(jf)在区间0, fs上等间隔采样N点，采样
13、间隔为F， 如图 (c)所示。 参数fs 、 Tp、 N和F满足如下关系式：,由于NT=Tp， 所以,可得Xa(jf)的采样,0kN-1,令,则,用DFT计算连续信号频谱原理,理想低通滤波器的单位冲击响应ha(t)及其频响函数Ha(if)如图 (a)、 (b)所示。 图中,用DFT计算理想低通滤波器频响曲线,现在用DFT来分析ha(t)的频率响应特性。 由于ha(t)的持续时间为无穷长，所以要截取一段Tp，假设Tp=8 s，采样间隔T=0.25 s(即采样速度fs=4 Hz)，采样点数N=Tp/T=32。,已知信号的最高频率fc(即谱分析范围时)， 为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象， 要
14、求采样速率fs满足下式 fs2fc,此时频域采样间隔F=1/NT=0.125 Hz。 则 H(k)=TDFTh(n), 0k31其中 h(n)=ha(nT)R32(n),由于谱分辨率F=fs/N， 若保持采样点数N不变， 要提高谱的分辨率(F减小)， 必须降低采样速率， 采样速率的降低会引起谱分析范围减少。 如维持fs不变， 为提高分辨率可以增加采样点数N， 因为NT=Tp，T=f-1s， 只有增加对信号的观察时间Tp， 才能增加N。 Tp和N可以按照下式进行选择:,例：对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F10 Hz，信 号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记录时间TPmin， 最大的
15、采样间隔Tmax， 最少的采样点数Nmin。 如果 fc不变， 要求谱分辨率增加一倍， 最少的采样点和最 小的记录时间是多少?,解：,因此TPmin=0.1 s， 因为要求fs2fc， 所以,为使频率分辨率提高一倍， F=5 Hz， 要求,例：在某工程实际应用中，有一信号的主要频率成分是由50Hz 和300Hz的正弦信号组成的，该信号被一白噪声污 染，现对 该信号进行采样，采样频率为1000Hz。 通过Fourier变换对 其成分进行分析。,解：t=0:0.001:1.3; % 时间间隔为0.001，说明采样频率为1000Hz x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);
16、 % 产生主要频率是50Hz和300Hz的信号 f=x+3.5*randn(1,length(t); %在信号中加入白噪声 subplot(211);plot(f); %画出原始信号的波形图 Ylabel(幅值); Xlabel(时间); title(原始信号); y=fft(f,1024); %对原始信号进行离散Fourier变换， %参加DFT的采样点个数为1024 p=y.*conj(y)/1024;%计算功率谱密度 ff=1000*(0:511)/1024; %计算变换后不同点所对应的频率值 subplot(212);plot(ff,p(1:512); %画出信号的功率谱图 Ylabel(功率谱密度);Xlabel(频率); title(信号功率谱图);,
