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1、 第十章 能量法1 概述 2 杆件变形能的计算*7 虚功原理3 单位载荷法 莫尔积分 4 计算莫尔积分的图乘法 5 卡氏定理 6 互等定理10.1 概述 一. 问题的提出 FAFqMeFDMe FABC？任意结构任意截面任意方向的位移任意载荷基本方法-平衡、几何、物理能量法二. 能量法的依据 FUW略其他能量损失,由能量守恒而且也可导出适用于非线弹性和塑性问题 的计算方法. 本教材以线弹性材料为主.U=W（功能原理）能量法10.2 杆件变形能计算一. 杆件基本变形的变形能U=W线弹性FF特殊情况 FFMeMeMeMe 广义表达式 内力2 2刚度l注意：当内力或刚度发生变化时要用 积分或分段计算
2、F二. U的特点 1. 3. U的大小与加载的次序无关, 仅取决于载荷或位移的最终值U不能用叠加法计算2. U0 恒正=4.三.变形能的普遍表达式-克拉贝依隆原理F线弹性范围内.F1F2F3dx四. 组合变形杆件变形能的计算M(x) FN(x)Mx(x)在组合变形杆件中取 微段dx内力对微段可看作外力 有 FN(x) Mx(x) M(x)设材料在线弹性范围内dU=dW在小变形下FN(x)与d , d Mx(x)与d( ) , d M(x)与d( ) , d正交而必须强调FF只适用于线弹性结构对非线性材料 U=W=曲线下的面积可利用积分计算面积=底 高未作特殊说明,均假定材料在 线弹性范围内例1
3、0.2 已知d F E G 求 fc=?FABC2aa解FABC2aax2x1U=W（功能原理）一个做功力作用点 作用方向该力位移？任意结构任意截面任意方向的位移任意载荷？U=W（功能原理） 方法10.3 单位载荷法莫尔积分问题：以平面刚架为例 ，求任意截面任意方向 的位移（A点沿a-a方 向）AF MeaaD若不计轴力、剪力影响， 线弹性结构在A截面a-a方向加 单位力1aaA1 aAMeDF方法一 F、Me、1同时作用 后加F、Me 方法二AMeFaa1 D先加1，dxEIxMxMl=D)()(莫尔积分1.单位力法适用于线性与非线 性结构2.结果为正,说明方向设对, 位移沿单位力方向,反之
4、相反要 点 :dxEIxMxMl=D)()(扭转 (圆轴)拉(压)弯曲组合变形下莫尔积分为注意在每一段中必须具有同一坐标原点2.相同段内,相同面的相同种类的内力 才能互乘 3.GIP仅对圆轴而言,对非圆IP对应It 4.对小曲率的曲杆,直杆公式仍可用1.载荷引起的内力FN,M,Mx 单位力引起的内力FN,M,Mx例10.4已知q，EI=C解：求fc注意:M.M的区域不一样,应分段 积分,但该梁具有对称性ql)0(22)(lxqxxxM-=2q求:fc)0( 21)(2lxxxM=LxAB。qc1 xA。 。1 c)(38454=EIql)()(=D=dxEIxMxMfc2)22(22 2 0-
5、dxxqxxql EIl =求A。A。1LxAB。qcx)0 (1 )(lxlxM-=ql)0(22)(lxqxxxM-=2)(=D=AdxEIxMM l) 1)(22(102-ldxlxqxxql EI=)(243 -=EIql10.4 计算莫尔积分的图形互乘法一. 积分计算的简化 在数学里:若函数F(x). f(x)中只要有一个是线性函 数,上式积分总可以得到大大简化,即可把积 分运算化成代数运算。 而在莫尔积分中,若刚度为常数(在一段 内),则只需计算积分 或 而 为单位力产生的内力,其方 程(图形)总是线性的,故莫尔积分式总可简化 为代数运算。二.图形互乘法(维力沙金法)以最复杂的弯矩
6、图为例:xxMMx.cxdxlxc若需要分段,则:载荷引起内力图的形心对应单位力 的值。载荷引起内力图的面积。对等直杆轴的拉压 ：对桁架（多杆） ：对圆轴扭转:对圆截面杆的组合变形:是同一段内.同一平面内的相同的内力引起的内力图的面积乘以该图形心对应单位力图的值。必须注意:三.几点说明同侧互乘为正,异侧互乘为负,得正说明位移方向同单位力方向。2. 分段原则有正负 有折点 不等 3.位移是载荷的线性函数,可采取分段,分块叠加的方法计算。4.若 均为线性,可互换,即:(见例1014)需要记忆的特殊图形的面积和形心位置:(a)直角三角形(b)任意三角形顶点(c)二次抛物线顶点(d)二次抛物线bh例
7、107已知刚架(不计FN、FQ影响),求解: 利用图乘法,作载荷作用下的弯矩图M,求 在A点加单位力,作图BA求B ,在B截面加单位力偶BAB讨论:考虑轴力时,给出具体数据可知,在同一杆上有M,FQ,FN时,轴力引起的弯曲变形是非常小的,故一般情况下(不特别指出时)均略去不计。 例10-8 用图乘法求fCA。解:作M图,求fC在C点加单位力,作 图。求A在A点加单位 力偶作图例10-9 求A在截面A上作用一单位力偶矩,并作出单位力偶 矩作用下的弯矩利用图乘法例 计算相对位移 求解:作梁在外力作用下的弯矩图.分别画出q在 两段引起的 弯矩图,在利用叠加法计 算其总和。为求B端的转角,在截面B上作
8、用一单位力 偶矩。并作出单位力偶矩作用下的弯矩图。( )10.5 卡氏定理 一 卡氏第二定理 设弹性体无刚体位移设根据U的特性:先加再加略高阶微量有卡氏第二定理Fi广义力广义位移 卡氏定理只适用于线弹性结构变形能U对任意载荷Fi的 偏导数,等于Fi作用点沿 Fi方向的位移二 线弹性体在各类变形下的卡氏定理的应用具体计算式1. 横力弯曲卡氏定理的实质是莫尔积分 即单位力法(虚功原理)2. 小曲率曲杆3. 桁架4. 圆轴受扭 5. 圆杆组合变形三. 注意问题 1. 若要求位移处无载荷作用,要加虚力,求偏导后令其为零.例 10-14 fA=? FAAxxLq0令FA=0 则FAAxxLq02若结构作
9、用有相同的力,而要求的是某一个力作用上沿其力方向的位移时要先把力编号,求解后还原. 例 10-15 EI为常量,求fcFF aaCABFCFB x1 x2CABBC段CA段FCFB x1 x2CABF1F21210.6 互等定理 一. 影响系数 线性结构112F212112第一力系第二力系F111D12影响系数 (柔度系数)单位力作用下 产生的位移产生此位移的 单位力作用点 及方向位移发生地点及方向二. 互等定理 先加F1， 后加F2先加F2， 后加F1F212F111D12 方法一 方法二 代入有 功的互等定理若F1=F2 则位移互等定理三 几点说明 1. 互等定理仅适用于线弹性结构 2.
10、功的互等定理中的功为虚功,或称为诱导功 3. 以刚架为例推出, 不失一般性 4. F-广义力, -广义位移, 若5. 对多个力作用,组合变形,静定或静不定结构均适用 T10-23FAF表示截面A的 什么位移?1CABvc1vc2AB11CT10-1710.7 虚功原理 一. 实功与虚功虚功：力在与自身无因果关系的位移上所做的功。虚位移：与做功的力无关的位移。实功实位移真实力二. 虚功原理 1.刚体的虚位移原理.变形体的虚位移原理)(*xn2*d1*dx设虚位移设真实力F1 F2 q(x)F1F2q(x)1*d2*d)(*xn=WWe +=dxxv*xqF2F1)()(*2*1dd路径一计算虚功F1F2q(x)1*d2*d)(*xn从整体考虑路径二* *lFQ dMd+=WWi=取微段计算F1F2q(x)1*d2*d)(*xnFQMq结论 We = Wi外力在虚位移上所做的虚功 等于内力在相应的虚变形上 所做的虚功 或 外力所做的虚功等于杆件的虚变形能三.几点说明2.对组合变形 +D+=*)(lFQjddlFNdMxdMdFii3.推导过程未涉及材料的性质, 所以虚功原理可用于线性和非 线性结构。1.F广义力广义位移二. 互等定理 设F1作用为第一力系设F2作用为第二力系由虚功原理有对线性结构
