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1、统计学概论第三章 统计分布的数值特征本章内容 分布的平均水平、集中趋势和位置的度量 分布的离散趋势 分布的偏度和峰度一名统计学家遇到一位数学家，统计学家 调侃数学家说道：“你们不是说若且 ，则吗！那么想必你若是喜欢一个 女孩，那么那个女孩喜欢的男孩你也会喜欢喽 ！？”数学家想了一下反问道：“那么你把左手 放到一锅一百度的开水中，右手放到一锅零度 的冰水里想来也没事吧！因为它们平均的温度 不过是五十度而已！” 统计学家与数学家 第一节 分布的集中趋势 统计平均数的含义与作用 数值平均数 众数和中位数反映集中趋势的指标qq平均指标的作用平均指标的作用qq 反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平
2、反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平 ； qq 平均指标可以比较同类现象在不同单位间的发展平均指标可以比较同类现象在不同单位间的发展 水平；水平；qq 平均指标常用来进行同类现象在不同空间、不同平均指标常用来进行同类现象在不同空间、不同 时间条件下的对比分析；时间条件下的对比分析；qq 用于分析现象之间的依存关系。用于分析现象之间的依存关系。指总体中各单位的次数分布从两边向中间指总体中各单位的次数分布从两边向中间 集中的趋势，集中的趋势，用用平均指标平均指标来反映。来反映。集中趋势集中趋势指同质总体中各单位某一数量标志的一般指同质总体中各单位某一数量标志的一般 水平，是对总体单位间数量差
3、异的抽象化水平，是对总体单位间数量差异的抽象化反映集中趋势的主要指标众数中位数数值平均数位置平均数主要类型算术平均数调和平均数几何平均数qq 数值平均数数值平均数qq 概念：以分配数列的所有各项数据来计算的平均数，用以概念：以分配数列的所有各项数据来计算的平均数，用以 反映分配数列的所有各项数值的平均水平。反映分配数列的所有各项数值的平均水平。qq特点：平均数受数列其它数值的影响。特点：平均数受数列其它数值的影响。qq 位置平均数位置平均数qq所谓位置平均数是根据数列中处于特殊位置上的个别单位所谓位置平均数是根据数列中处于特殊位置上的个别单位 或部分单位的标志值来确定的或部分单位的标志值来确定
4、的。第一节 分布的集中趋势 统计平均数的含义与作用 数值平均数 众数和中位数反映集中趋势的主要指标众数中位数数值平均数位置平均数主要类型算术平均数调和平均数几何平均数基本形式：基本形式：例：例：直接承担者注意区分算注意区分算 术平均数与术平均数与 强度相对数强度相对数算术平均数算术平均数 在计算平均指标时，分子与分母必须同属一个总体，具 有一一对应关系，即有一个总体单位，必有一个标志值与 之对应。强度相对指标是两个有联系的不同总体的总量指标对比 的结果，这两个总量指标没有依存关系。强度相对指标：算术平均数： A. A. 简单算术平均数简单算术平均数 适用于总体资料未经 分组整理、尚为原始资料
5、的情况算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法式中：式中：x x 为算术平均数为算术平均数; ; N N为总体单位总为总体单位总 数；数；x xi i为第为第i i 个单位的标志值。个单位的标志值。平均每人日销售额为：平均每人日销售额为：算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法某售货小组某售货小组5 5个人，某天的销售额个人，某天的销售额 分别为分别为520520元、元、600600元、元、480480元、元、750750 元、元、440440元，则元，则【例例】B. B. 加权算术平均数加权算术平均数适用于总体资料经过适用于总体资料经过 分组整理分组整理形成变量数列的形成变量数列的 情况情况
6、算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法式中：式中：x x 为算术平均数为算术平均数; ; f fi i为第为第i i 组的次数；组的次数； mm为组数；为组数；x xi i为第为第i i组的标志值或组中值。组的标志值或组中值。【例例】某企业某日工人的日产量资料如下：某企业某日工人的日产量资料如下： 日产产量（件）工人人数（人） xf 10 11 12 13 1470 100 380 150 100 合计计800计算该企业该日全部工人的平均日产量。计算该企业该日全部工人的平均日产量。算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法解：解：算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法若上述资料为组距数列，则
7、应取各组的若上述资料为组距数列，则应取各组的组组 中值中值作为该组的代表值用于计算；此时求作为该组的代表值用于计算；此时求 得的算术平均数只是其真值的得的算术平均数只是其真值的近似值近似值。 （ 例：例：P47P47）说说 明明分析分析 ：成绩绩（分）人数（人） 甲班乙班丙班603915010013950平均成绩绩(分)619980起到起到权衡轻权衡轻 重的作用重的作用加权算术平均数的因素分析加权算术平均数的因素分析决定平均数决定平均数 的变动范围的变动范围表现为表现为频率、比重频率、比重；即公式；即公式中的中的算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法指指变量数列中各组标志值出现的次变量数列中
8、各组标志值出现的次 数，反映了各组的标志值对平均数数，反映了各组的标志值对平均数 的影响程度。（起着权衡加轻重的的影响程度。（起着权衡加轻重的 作用，故常将其称作作用，故常将其称作“ “权数权数” ”）权数权数绝对权数绝对权数相对权数相对权数权 数 的 形 式表现为表现为次数、频数、单位数次数、频数、单位数；即；即 公式公式 x x= = xfxf / / f f 中的中的 f f算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法权数失效的情形权数失效的情形qq下列两种情况，分组资料可以不考虑权数下列两种情况，分组资料可以不考虑权数，而用简单算术平均数，而用简单算术平均数qq当各组的权数相同时当各组的权
9、数相同时qq简单算术平均数是加权的特例简单算术平均数是加权的特例qq当分布数列完全对称时当分布数列完全对称时成绩(分)人数(人)比重(%)组中值(X)60以下61255607012246570801938758090102085901003695合 计50100例：例：绝对权数绝对权数相对权数相对权数权数与加权234567819算术平均数的计算取决于变 量值和权数的共同作用：变量值决定平均数的范围；权数则决定平均数的位置权数的选择权数的选择资本金利润率 xi(%)企业数资本金总额 fi(万元)利润总额 xifi(万元)5 10 158 6 640 100 1602 10 24合 计203003
10、6平均利润率=在统计中，经常将定类尺度和定序尺度的数据在统计中，经常将定类尺度和定序尺度的数据 资料之间的类别差异过渡到数量上的变异，然资料之间的类别差异过渡到数量上的变异，然 后再计算平均数。后再计算平均数。例如：性别、产品合格与否之类的品质标志。经例如：性别、产品合格与否之类的品质标志。经 过以过以1 1作为作为“是是”的单位的标志值，以的单位的标志值，以0 0作为作为“非非 ”的单位的标志值。的单位的标志值。计算公式：计算公式：是非标志的平均数是非标志的平均数其中，p为合格率，q为不合格率。p 也称为总体中具有某 种属性的单位成数，它 是一种是非标志平均数离差的概念离差的概念123456
11、78-1-1-213思考题比特啤酒公司雇用了468名员工，其中有 56名管理人员，130名行政和技术人员， 其余282人是工人。这三组人的周平均工 资分别是500英镑、300英镑和200英镑。 财务主管希望计算全体员工的平均工资。正确的计算方法1.算术平均数与变量值个数的乘积等于各 变量值的总和，即：2.变量值与其算术平均数的离差之和恒等 于零，即：3. 变量值与其算术平均数的离差平方和为 最小，即：算术平均数的主要数学性质算术平均数的主要数学性质4. 某变量的线性式的平均等于该变量平均 的线性式，即：5. n个独立变量代数和的平均数等于各变 量平均数的代数和算术平均数的主要数学性质算术平均数
12、的主要数学性质主要数学性质的证明主要数学性质的证明某变量与其算术平均数的离差之和等于某变量与其算术平均数的离差之和等于0 0证明：各单位标志值与算术平均数的离差平方和为最小各单位标志值与算术平均数的离差平方和为最小设x0为任意值，证明：设return对两变量，有若两变量分别取值如下：则有那么n n个独立变量代数和的平均数等于各变量个独立变量代数和的平均数等于各变量 平均数的代数和平均数的代数和反映集中趋势的主要指标众数中位数数值平均数位置平均数主要类型算术平均数调和平均数几何平均数【例】 设设 x =x =（2 2，4 4，6 6，8 8），），则其调和平则其调和平 均数可由定义计算如下：均数
13、可由定义计算如下：再求再求算术平均数：算术平均数：求各求各标志值的倒数标志值的倒数 ： ， ， ，再求再求倒数：倒数：是总体各单位标志值倒数的算术平是总体各单位标志值倒数的算术平 均数的倒数，又叫均数的倒数，又叫倒数平均数倒数平均数调和平均数调和平均数 harmean（ harmonic mean）A. A. 简单调和平均数简单调和平均数适用于总体资料未经分组 整理、尚为原始资料的情 况（各变量值对应的标志 总量为1个单位或相等）式中：式中： 为调和平均数为调和平均数; ; 为变量值为变量值 的个数；的个数； 为第为第 个变量值。个变量值。调和平均数的计算方法调和平均数的计算方法B. B. 加
14、权调和平均数加权调和平均数适用于总体资料经过分 组整理形成变量数列的情 况式中：式中： 为第为第 组的变量值；组的变量值； 为第为第 组的标志总量。组的标志总量。调和平均数的计算方法调和平均数的计算方法当已知当已知各组变量值各组变量值和和标志总量标志总量时时 ，作为算术平均数的变形使用。，作为算术平均数的变形使用。因为：因为：调和平均数的应用调和平均数的应用调和平均数的用途：作为独立意义上的平均数使用 基本上没有用途。作为算术平均数的变形使用是 其常见的用法。但此时已经不能称 为调和平均数，只能称其为调和平 均方法。mm日日产产产产量（件）量（件）各各组组组组工人日工人日总产总产总产总产 量（
15、件量（件 ）1010 1111 1212 1313 1414700700 11001100 45604560 19501950 14001400 合合计计计计97109710【例例】某企业某日工人的日产量资料如下：某企业某日工人的日产量资料如下：计算该企业该日全部工人的平均日产量。计算该企业该日全部工人的平均日产量。调和平均数的应用调和平均数的应用即该企业该日全部工人的平均日产量为即该企业该日全部工人的平均日产量为 12.137512.1375件。件。调和平均数的应用调和平均数的应用解：解：该使用哪种平均数？该使用哪种平均数？己知己知mm、f f， 采用基本平采用基本平 均数公式均数公式己知己
16、知x x、f f ，采，采 用加权算术平用加权算术平 均数公式均数公式己知己知x x、mm，采，采 用加权调和平用加权调和平 均数公式均数公式已知已知【例例A A】某季度某工业公司下属某季度某工业公司下属1818个工业个工业 企业产值计划完成情况如下：企业产值计划完成情况如下：计计计计划完成程度划完成程度 （ ）组组组组中中值值值值 （ ）企企业业业业数数 （个）（个）计计计计划划产值产值产值产值 （万元）（万元） 9090以下以下 9090100100 100100110110 110110以上以上8585 9595 105105 1151152 2 3 310103 3800800 25002500 1720017200 44004400 合合计计计计
