高数I第1,2讲：函数

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1、 期末总评:平时30%(考勤10%+作业15%+课堂表现与测验5%)+期末考试70% 答疑时间：星期二 19：3021：30 星期四 9:3011:30办公地点：基础部（综合楼414）电 话：02087817998，13926078718（668718）E-MAIL： WXZ第一章 极限与连续第二章 导数与微分第三章 导数的应用第四章 不定积分 第五章 定积分 学习内容引 言一、什么是高等数学 ?初等数学 研究对象有限运算(有限个数作有限次运算)高等数学 研究对象为无限多个数的运算恩格斯数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 ,

2、微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生. 二、如何学习高等数学? 1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.马克思 一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .恩格斯要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.2. 学数学最好的方式是做数学.华罗庚聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 .第一章 函数 极限 连续三：连续的概念及其运算一：函数及其有关概念主要内容：二：极限的概念及运算 函数及其有关概念 内容提要：一、 函数的概念，表示法，特性二 、函数的复合与分解三 、基本初等函数四 、建立函数，常

3、用的经济函数五 、邻域返回学习目的 一 、理解函数的概念及其特性，知道其 三种常用的表示法，会求函数的自然定义域,会判断两个函数是否相等,会判断函数的奇偶性二 、掌握五种基本初等函数的性质及图像三 、会将复合函数分解为简单函数的复合四 、理解邻域的概念返回一、函数函 数函数的有关概念函数的表示法函数的基本性态公式法列表法图象法 有界性 单调性周期性奇偶性函 数函数的有关概念函数的表示法函数的基本性态公式法列表法图象法 有界性 单调性周期性奇偶性函 数函数的有关概念函数的表示法函数的基本性态公式法列表法图象法 有界性 单调性周期性奇偶性函数的自然定义域两个函数相等函数及其有关概念1.常量与变量在

4、日常生活、生产活动和经济活动中，是固定 不变的量，如飞机上的乘客数在飞行过程中不会 发生变化，一个国家的国土面积在一段时间内是 固定不变的。光在真空中的传播速度也是一个固 定的量，这些在我们考察过程中固定不变的量 称 作常量；另一类量在考察过程中是变化的，可以 取不同的教值，我们称之为变量，例如：一天中 的气温，飞机飞行过程中离地面的高度，离出发 地、目的地的距离，陨石下落过程中的速度等都 是在不断变化的，它们都是变量。（1）常量变量依赖于所研究的过程，同一个量， 在个过程中可认为是常量，而在另一个过程中则可 能是变量，反过来也是同样的。例如：利率在一定 时期内是固定的，而从长远来看是变化的。

5、（2）从几何意义上讲，常量对应着实数轴上的定 点，变量则对应着实数轴上的动点。（3）一个变量所能取的数值的集合叫做这个变量 的变动区域。在理解常量与变量时，应注意下面几点：有一类变量，例如气温、时间、它们的取值可 介于两个实数之间的任意实数值，叫做连续变量， 连续变量的变动区域常用区间表示。 习惯上我们用x、y、z、u、v、w表示变量， 用a、b、c、d表示常量。例1、某产品专卖店，场租和人工为100000元，每 件产品的进货价为2000元/件，则该专卖店销售量x（件 ） 与总成本y（元）之间有下面关系式：Y=100000+2000x （x0） 显然，销售量x取任何一个合理值，总成本y就有一个

6、 确定值与它对应，我们说总成本y是销售量x的函数。例2、根据税法，广州市市民个人月收入x元 ） 与其应纳个人所得税税额T（元）之间的关系为：居民的月收入x取确定的值，其应纳个人 所得税税额T就完全由x确定，我们说应纳个 人所得税税额T是个人月收入x的函数。D 称为函数 f 的定义域. 定义:设 x 和 y 是两个变量, D是R 的非 空子集, 任意 x D,变量 y 按照某个对应关 系 f 有唯一确定的 y 与之对应, 则称 f 是定 义在D上的函数, 或称变量 y 是变量 x 的函 数, 记作 y =f (x),其中，x 称为自变量, y 称 为因变量. 2.函数的概念注1：给出一个函数，其

7、定义域都已注明，如果不直接注明，就默认其定义域为函数的自然定 义域. 定义函数的自然定义域是使函数表达式有意义的自变 量的最大取值范围.函数的两要素：定义域和对应法则其定义域为 其自然定义域为3.函数的定义域从定义知，求一个函数的自然定义域，就是将实轴去 掉函数没有意义的点，即满足下述条件点的交集：函数自然定义域的求法（1）分式中使分母不为零的点 （2）开偶数次方中，使根式内式子为非负的点 （3）对数函数中使真数大于零的点 （4）arcsinu,arccosu中使1的点 （5）中使式子有意义且f(x),g(x)不同时为零的点。例3填空:(1)函数的自然定义域为D= 。(2)函数(3)函数的自然

8、定义域为D= 。的自然定义域为D= 。(4)函数的自然定义域为D= 。解:(1) D由满足下述二个条件的点组成：得(2) D由满足下述条件的点组成：(3) D由满足下述二个条件的点组成：(4) D由满足下述二个条件的点组成：解得：解得：解得即(1),(2),(3)中的D的交集课堂练习选择:(07,1.1)函数的定义域是 。解得 :故选择(c)4.两个函数相等定义设y=f(x)，z=g(u)是两个分别定义在 上的函数，如果 ，且对任意 ,都有f(x)=g(x)，则称两个函数是 相同的。从定义不难看出，两个相同的函数具有相同 的定义域和相同的对应法则。因而要判断两个 函数是否相同，首先检验它们的定

9、义域是否 相同，其次再看它们的对应法则是否一致 （对解析式进行恒等变换，看看表达式 是否一致）。 例4.下列函数对中,哪些表示相同的函数,哪些表示不同 的函数(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)解:(1)不同,两个函数的定义域不同(2)相同(3)不同,两个函数的定义域不同(4)不同,两个函数的定义域不同(5)不同,两个函数的对应法则不同(7)不同,两个函数的定义域不同(6)相同(9)相同(8)相同(10)相同(11)相同课堂练习:2.下列函数对中，表示相同函数的是（ ）答案:只有(D)是正确的选择课堂练习:3.下列函数对中，表示不同函数的是（ ）答案:只有(C

10、)是正确的选择函 数 的 表 示 法公式法列表法图象法显函数隐函数分段函数显函数定义: 若变量 x , y 之间的函数关系是用 含 x 的式 子直接表示出来的, 则 称这样 表示的函数 y = f (x) 为显函数.4. 分段函数定义: 如果一个函数在定义域的不同部分, 对应关系用不同的式子表示,这样表示的函 数称为分段函数.注：分段函数的定义域是各个部分所在 的定义集合的并集。定义: 若变量 x , y 之间的函数关系是含 x , y 的方程 F (x, y) = 0 给出的, 则称 y 是 x 的隐函数.隐函数因此隐函数是表达函数的一种必不可 少的形式.有些方程确定的隐函数可以化为显函 数

11、, 如有些方程确定的隐函数就无法化为显 函数, 如例6. 某地某日的气温 T 和时间 t 是两个变量, 由气温自动记录仪描得一条曲线(如图), 这个图形表示了 气温 T 和时间 t (从0时开始)之间 的函数关系, 时间 t :自变量, 气温 T :因变量 定义域是 0, 24) (h).图 象 法函数的基本性态 1. 有界性 定义 已知f(x)定义在D上，对于任意 的xD,存在M0,使得|f (x)| M ， 那么f (x)在D上有界有界,或称f(x)是有界 函数M-My = f(x)ab常见的有界函数有,正弦函数 y = sin x, 余弦函数 y = cos x.2. 单调性在区间 I

12、上单调增加或单调减少的函 数统称为在区间 I 上的单调函数.xyoxyo单调函数图象的特征单调增函数图象 沿x 轴正向上升 单调减函数图象 沿x 轴正向下降 思考：能否举出 在任何区间都不单调的函数呢 3. 奇偶性 偶函数的图象关于y 轴对称奇函数的图象关于原点对称判断函数的奇偶性的方法只要二种: 一是直接对进行恒等变换,看它与的关系,若等于,则为偶函数;若等于,则为奇函数;若与没有相等或差个负号关系, 则既非奇函数也非偶函数. 二是根据已知函数的奇偶的奇偶性.奇偶函数的运算性质来确定所给函数常用的奇偶函数的运算性质:(1) 奇函数加或减奇函数所得是奇函数(2) 偶函数加或减偶函数所得是偶函数

13、(3) 奇函数乘或除奇函数所得是偶函数(4) 偶函数乘或除偶函数所得是偶函数(5) 奇函数乘或除偶函数所得是奇函数(6) 偶函数乘或除奇函数所得是奇函数解:因为例8下列函数中，不是奇函数的是（ ）解：选择（C）例9下列函数中，是偶函数的是（ ）解：选择（B），对于（B）中的f(x)有:故 是偶函数。课堂练习:4.(08,1.1)下列函数为奇函数的是( )答案：选择（C）课堂练习:5.(10,1.1)设函数 的定义域为 ,则函数在上是( )( A )偶函数(B )奇函数( C )周期函数( D)有界函数答案：选择（B）4. 函数的周期性（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.T 为 f(x)

14、的周期.常用周期函数的周期常见的周期函数有,正弦函数 y = sin x, 余弦函数 y = cos x.结论:设 是周期 T 为的周期函数,则函数也是周期函数,且周期为:例10(1) 函数周期为_.(2) 函数周期为_.(3) 函数周期为_.答案:(1) (2) (3)函数小结函 数函数的有关概念函数的表示法函数的基本性态公式法列表法图象法 有界性 单调性周期性奇偶性函 数函数的有关概念函数的表示法函数的基本性态公式法列表法图象法 有界性 单调性周期性奇偶性函 数函数的有关概念函数的表示法函数的基本性态公式法列表法图象法 有界性 单调性周期性奇偶性函数的自然定义域两个函数相等二 .反函数与复

15、合函数1.定义:设y=f(x)是x的函数,值域为R(f),如果对R(f)中的 任何一个y值,都只存在唯一的一个x,使得 y=f(x),则 就是定义在R(f)上的y的函数, 称作函数 y=f(x)的反函数,而函数 y=f(x)就称作反函数的的直函数.定理：12 若y=f(x)是D上的单调函数，则y=f(x) 一定存在反函数x=(y)，且x=(y)也是单调函数。习惯上，我们喜欢将自变量用x表示，因变量 用y表示，故将y=f(x)反函数x=(y) 记成y=(x) 的形式.n求给定函数y=f(x) 的反函数y=(x)的步骤：n（1）从方程y=f(x)中解出x=(y)n（2）改变自变和因变量记号得：y=(x)n例10.求下列函数的反函数解（1）由y=x2 得x0 (x0)的反函数.（2）由(1)-(2)得:的反函数。（3）由得y=ax是的反函数.由于x=(y)是从y=f(x)解出来的，因而，在同一坐 标平面