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1、时域离散信号和系统的频域分析第章第2章 时域离散信号和系统的频域分析2.1 学习要点与重要公式2.2 FT和ZT的逆变换2.3 分析信号和系统的频率特性 2.4 例题2.5 习题与上机题解答时域离散信号和系统的频域分析第章2.1 学习要点与重要公式数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里叶变换（FT）、 Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。 利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换， 这大大方便了对信号和系统的分析和处理。 三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。时域
2、离散信号和系统的频域分析第章在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散傅里叶变换具有快速算法FFT， 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。 但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号的时域和频域， 都进行了离散化， 这是它的优点。 但更有它自己的特点， 只有掌握了这些特点， 才能合理正确地使用DFT。 本章只学习前两种变换， 离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。时域离散信号和系统的频域分析第章2.1.1 学习要点（1） 傅里叶变换的正变换和逆变换定义， 以及存在 条件。 （2）
3、傅里叶变换的性质和定理： 傅里叶变换的周期性、 移位与频移性质、 时域卷积定理、 巴塞伐尔定理、 频 域卷积定理、 频域微分性质、 实序列和一般序列的傅里叶 变换的共轭对称性。 （3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶 变换表示式 。（4）Z变换的正变换和逆变换定义， 以及收敛域与序列特性之间的关系。时域离散信号和系统的频域分析第章（5） Z变换的定理和性质： 移位、 反转、 z域微分、 共轭序列的Z变换、 时域卷积定理、 初值定理、 终值定理、 巴塞伐尔定理。 （6） 系统的传输函数和系统函数的求解。 （7） 用极点分布判断系统的因果性和稳定性。 （8） 零状态响应、 零输入响应和稳
4、态响应的求解。 （9） 用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.1.2 重要公式（1）这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。 注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件， 即时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以表现周期序列的频谱特性。时域离散信号和系统的频域分析第章（3） 该式用以求周期序列的傅里叶变换。 如果周期序列的周期是N， 则其频谱由N条谱线组成， 注意画图时要用带箭头的线段表示。（4） 若y(n)=x(n)*h(n), 则这是时域卷积定理。时域离散信号和系统的频域分析第章（5） 若y
5、(n)=x(n)h(n), 则这是频域卷积定理或者称复卷积定理。（6） 时域离散信号和系统的频域分析第章式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。 （7） 这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变换定义。 时域离散信号和系统的频域分析第章（8） 时域离散信号和系统的频域分析第章前两式均称为巴塞伐尔定理， 第一式是用序列的傅里叶变换表示， 第二式是用序列的Z变换表示。 如果令x(n)=y(n)， 可用第二式推导出第一式。（9） 若x(n)=a|n|, 则x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一些测试题
6、都是用它演变出来的。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.2 FT和ZT的逆变换（1） FT的逆变换为 用留数定理求其逆变换， 或者将z=ej代入X(ej)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取单位圆。 时域离散信号和系统的频域分析第章例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为求其反变换x(n)。 将z=ej代入X(ej)中， 得到因极点z=a， 取收敛域为|z|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n) 。 （2） ZT的逆变换为时域离散信号和系统的频域分析第章求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。 用围线
7、积分法求逆Z变换有两个关键。 一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系， 可以总结成几句话： 收敛域包含点， 序列是因果序列； 收敛域在某圆以内， 是左序列； 收敛域在某圆以外， 是右序列； 收敛域在整个z面， 是有限长序列； 以上、 、 均未考虑0与两点， 这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键是会求极点留数。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.3 分析信号和系统的频率特性求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅
8、频特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5章）等。时域离散信号和系统的频域分析第章根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的 极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。 滤波器是高通还是低通等滤波特性， 也可以通过分析极、 零点分布确定， 不必等画出幅度特性再确定。 一般在最靠近单位圆的
9、极点附近是滤波器的通带； 阻带在最靠近单位圆的零点附近， 如果没有零点， 则离极点最远的地方是阻带。 参见下节例2.4.1。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.4 例 题例2.4.1 已知IIR数字滤波器的系统函数试判断滤波器的类型（低通、 高通、 带通、 带阻）。 （某 校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题）解： 将系统函数写成下式:时域离散信号和系统的频域分析第章系统的零点为z=0， 极点为z=0.9， 零点在z平面的原点， 不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0.9处， 因此滤波器的通带中心在=0处。 毫无疑问， 这是一个低通滤波器。 例2.4.2假设x(n)=xr(n)+jx
10、i(n)， xr(n)和xj(n)为实序列， X(z)=ZTx(n)在单位圆的下半部分为零。 已知求X（ej）=FTx(n)。时域离散信号和系统的频域分析第章解： Xe(ej)=FTxr(n)因为 X(ej)=02所以X(e-j)=X(ej(2-)=0 0时域离散信号和系统的频域分析第章当0时， ， 故当2时， X(ej)=0， 故0 2时域离散信号和系统的频域分析第章因此ReX(ej)=X(ej)ImX(ej)=0例2.4.3 已知0nNN+1n2Nn2对应的原序列x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解：（1） 收敛域0.52:n0时， c内有极点0.5、 2，时域离散信号和系统的频
11、域分析第章nmax(r, |a|)， 且n0时， y(n)=0， 故时域离散信号和系统的频域分析第章c包含三个极点， 即a、 z1、 z2。时域离散信号和系统的频域分析第章时域离散信号和系统的频域分析第章27 如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列， 求证： 式中， X1(ej)和X2(ej)分别表示x1(n)和x2(n)的傅里叶变换。 解： FTx1(n)*x2(n)=X1(ej)X2(ej)进行IFT， 得到时域离散信号和系统的频域分析第章令n=0, 则由于x1(n)和x2(n)是实稳定因果序列， 因此(1)(2)时域离散信号和系统的频域分析第章(3)由（1）、（2）、（3）
12、式， 得到28 若序列h(n)是因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解： 求上式的Z的反变换， 得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)为时域离散信号和系统的频域分析第章因为h(n)是因果序列， he(n)必定是双边序列， 收敛域取 ： a|z|a1。n1时， c内有极点： a，时域离散信号和系统的频域分析第章n=0时，c内有极点： a、 0，时域离散信号和系统的频域分析第章因为he(n)=he(n)， 所以时域离散信号和系统的频域分析第章29 若序列h(n)是因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为求序列h
13、(n)及其傅里叶变换H(ej)。解 ：时域离散信号和系统的频域分析第章令z=ej, 有jHI(ej)对应h(n)的共轭反对称序列ho(n)， 因此jHI(z)的反变换就是ho(n), 因为h(n)是因果序列， ho(n)是双边序列， 收敛域取: a|z|a1。时域离散信号和系统的频域分析第章n1时， c内有极点： a,n=0时， c内有极点： a、 0， 时域离散信号和系统的频域分析第章因为hI(n)=h(n), 所以时域离散信号和系统的频域分析第章30*. 假设系统函数如下式：试用MATLAB语言判断系统是否稳定。解： 调用MATLAB函数filter计算该系统。 系统响应的程序ex230.
14、m如下： 时域离散信号和系统的频域分析第章%程序ex230.m%调用roots函数求极点， 并判断系统的稳定性A=3， 3.98， 1.17， 2.3418， 1.5147； %H(z)的分母多项式系数p=roots(A) %求H(z)的极点pm=abs(p)； %求H(z)的极点的模if max(pm)1 disp(系统因果稳定)， else， disp(系统不因果稳定)， end程序运行结果如下： 极点： 0.7486 0.6996 0.7129i 0.6996+0.7129i0.6760由极点分布判断系统因果稳定。时域离散信号和系统的频域分析第章31*. 假设系统函数如下式：(1) 画出
15、极、 零点分布图， 并判断系统是否稳定；(2) 用输入单位阶跃序列u(n)检查系统是否稳定。时域离散信号和系统的频域分析第章解： （1） 求解程序ex231.m如下： %程序ex231.m%判断系统的稳定性A=2， 2.98， 0.17， 2.3418， 1.5147； %H(z)的分母多项式系数B=0， 0， 1， 5， -50； %H(z)的分子多项式系数用极点分布判断系统是否稳定subplot(2， 1， 1)； zplane(B， A)； %绘制H(z)的零极点图p=roots(A)； %求H(z)的极点pm=abs(p)； %求H(z)的极点的模时域离散信号和系统的频域分析第章if max(pm)1 disp(系统因果稳定)， else， disp(系统不因果稳定)， end%画出u(n)的系统输出波形进行判断un=ones(1， 700)； sn=filter(B， A， un)； n
