《高中数学课件 2.2.2对数函数及其性质(二)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学课件 2.2.2对数函数及其性质(二)（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.22.2.2 对数函数及其性质对数函数及其性质( (二二) )第二章 基本初等函数（）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域 为 .一般地，我们把函数复习：a100且a1）(2) （a0且a1）(3)（3）要使函数有意义，则 函数的定义域为 例1. 比较下列各组数中两个值的大小：(1) log 25 和 log 27(2) log 0.35 和 log 0.37(3) log a5 和 log a7 (a0且a1)解：考察对数函数 y = log 2x,xy0157（1）log 25 与log 27得到：log 25log 27log 27log 25底数21,所以在(0,+)上是
2、增函数, 由图象观察：（2）log 0.35 与 log 0.37解：考察对数函数 y = log 0.3 x, 底数为0.3, 即00.31,所以在(0,+)上是减函数, 由图 象观察：57yx01y = log 0.3 xlog 0.37log 0.35得到：log 0.35log 0.37对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是 小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大?（3）log a5 与log a7 ( a0 且 a1 )因此需要对底数a进行讨论:当0a1时,函数y=log ax在(0,+)上是减函数,故log a5log a7当a1时,函数y=log ax在(0,+)上是
3、增函数,故log a5log a7yx01xy012.当底数不确定时,要对底数a与1的大小进行分类 讨论.总 结1.当底数相同时,利用对数函数的增减性比较大小 .例2:比较下列各组数中两个值的大小：log 7 6 log 7 7 log 6 7 log 7 6 log 3 2 log 2 0.8总 结当底数不相同，真数也不相同时，利用“介值法 ” 常需引入中间值常需引入中间值0或或1(各种变形式).log 6 7 log 6 6 log 3 2 log 3 1 log 2 0.8 log 2 1= 1= 1= 0= 0例3：比较下列各组数中两个值的大小：log 2 7 与 log 5 7解:
4、1 log 7 5 log 7 2 0 log 2 7 log 5 7总 结 1.1.利用利用换底公式换底公式的运算，取倒数后转化为同底的运算，取倒数后转化为同底 问题问题. .xoy17log 5 7log 2 72.2.当底数不相同，真数相同时，利用图象判断大小当底数不相同，真数相同时，利用图象判断大小. .（一）（一）同底数比较大小同底数比较大小1. 1.当底数确定时，则可由函数的当底数确定时，则可由函数的单调性直接进行判断；单调性直接进行判断；2. 2.当底数不确定时，应对底数进当底数不确定时，应对底数进行分类讨论。行分类讨论。（三）若底数、真数都不相同（三）若底数、真数都不相同, ,
5、 则常借则常借助助1 1、0 0等中间量进行比较。 等中间量进行比较。 小结：小结：两个对数比较大小两个对数比较大小（二）（二）同真数比较大小同真数比较大小1. 1.通过换底公式；通过换底公式；2. 2.利用函数图象。利用函数图象。你能口答吗？变一变还能口答吗？练习练习1: 1: 比较下列各题中两个值的大小比较下列各题中两个值的大小: :例4：函数yloga(x1)2 (a0, a1)的图象恒过定点 . 例5：求下列函数的值域 ：（1） （2）（3）y=loga(a-ax)(a1).【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域 ，再由单调性求解.【解析】（1）-x2-4x+12=-(x2+4
6、x)+12=-(x+2)2+1616,又-x2-4x+120, 00,且y=log x在(0,+)上是减函数,yR,函数的值域为实数集R.（3）令u=a-ax,u0,a1,ax0,u=a-ax0知- 0得(2x+1)(x- 3)0，得x3.易知y=log0.1是减函数，=2x2-5x-3在 上为减函 数，即x越大，越小，y=log0.1u越大；在(3,+)上函 数为增函数，即x越大，越大，y=log0.1越小.原函数的单调增区间为 ，单调减区间为 (3,+).【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓 住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注 意复合函数的定义域.已知f(x)=l
7、oga(ax-1)(a0,且a1).（1）求f(x)的定义域；（2）讨论函数f(x)的单调性.（1）由ax-10得ax1，当a1时，x0;当01时，f(x)的定义域为(0,+);当01时，设01时，f(x)在(0,+)上是增函数.同理，当00=4-4a0时，(x)=ax2+2x+1要包含(0,+)，需a0=4-4a0综上所述，0 a1.【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.（1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定.函数y=logax在x2,+)上总有|y|1，求a的取值范围.依题意得|logax|1对一切x2,+)都成立，当a1时，因
8、为x2,所以|y|=logax1，即logaxlog22.所以 11,所以logax0)例11：对数的综合应用已知函数f(x)= .（1）判断f(x)的奇偶性；（2）证明：f(x)在(1,+)上是增函数.【分析】由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明.【解析】（1）由 0解得f(x)的定义域是(-,- 1)(1,+),f(-x)= = = = -f(x),f(x)是奇函数. （2）证明:设x1,x2(1,+)，且x1x11,x2-x10,x1-10,x2-10,u(x1)-u(x2)0,即u(x1)u(x2)0,y=log u在(0,+)上是减函数,log u(x1)0x - 10p - x
9、0当p1时，函数f(x)的定义域为(1,p)(p1).探探 究究: :在指数函数 中， 为自变量， 为因变量。如果把 当成自变量， 当成因变量，那么 是 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。 y=2x指数函数y=2x(x R)与对数函数y=log2x (x(0,+) 互为反函数一般地，指数函数y=ax(x R)与对数函数 y=logax (x(0,+) 互为反函数XYO112233445567Y=log2xY=XY=2x-1 -1-2 同底指数函数与对数函数的关系同底指数函数与对数函数的关系与 的图象关于对称。 直线函数与其反函数的关系?(1)函数与其反函数的对应法则是
10、互逆即互反的。(2)函数与其反函数的定义域，值域互换。 (4)反函数也是函数，因为它是符合函数定义的, 不是任意函数都有反函数 的.(3) 函数与其反函数的图象关于y=x轴对称。反函数已知a0,且a1，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是（ ）【分析】分a1,01 ，则曲线y=ax上升且过点(0,1)，而曲线y=loga(-x)下降且过( -1,0)，只有B满足条件.解法三：如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象 为y=logax的图象，因为y=logax与y=ax互为反函数（图象关 于直线y=x对称），则可直接选B.【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也
11、可 利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响.要 养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活 性.原函数y=f(x)与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性 质.若函数f(x)=ax (a0，且a1)的反函数的图象过点(2,-1),则a= .反函数的图象过点(2,-1)，则f(x)=ax的图象过(-1,2),得a-1=2,a= .例6 溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过pH刻画的。 pH的计算公式 pH= - lgH+， 其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度 与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系?(2)已知纯净水中氢离子的浓度H+=10-7为摩尔/升，计算纯净水 的pH值.解：(1)根据对数函数的运算性质，有 pH= - lgH+ = lgH+ 1 = lg在(0,+ )上，随着H+的增大， 减小，相应地， lg 也减小，即pH减小。所以，随着H+的增大， pH减小,即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的碱性越小。(2)当H+ =10-7时，pH=-lg10-7=7，所以，纯净水的pH是7。
