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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用第五节一、微分的概念 函数的微分第二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的 线性主部高阶无穷小时为故 称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其目录 上页 下页 返回 结束 的微分,定义: 若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即在点可微,目录 上页 下页 返回 结束 定理 : 函数证: “必要性” 已知在点 可微 , 则故在点 可导
2、, 且在点 可微的充要条件是在点 处可导, 且即目录 上页 下页 返回 结束 定理 : 函数在点 可微的充要条件是在点 处可导, 且即“充分性” 已知即在点 可导, 则目录 上页 下页 返回 结束 说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当目录 上页 下页 返回 结束 注意:目录 上页 下页 返回 结束 微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分, 记作记目录 上页 下页 返回 结束 例如,基本初等函数的微分公式 (见 P116表)又如,目录 上页 下页 返回 结束 二、 微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分
3、别可微 ,的微分为微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数目录 上页 下页 返回 结束 例1.求 解:目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意 数学中的反问题往往出现多值性.注意:注数学中的反问题往往出现多值性 , 例如 目录 上页 下页 返回 结束 三、 微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:目录 上页 下页 返回 结束 特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 .解: 设取则例4. 求目录 上页
4、 下页 返回 结束 例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为 ( g )用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可微可导2. 微分运算法则微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的应用近似计算估计误差目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分的区别:目录 上页 下页 返回 结束 思考题目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性 主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函 数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同 的概念. 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1. 设函数的图形如下, 试在图中标出的点处的及并说明其正负 .目录 上页 下页 返回 结束 2.目录 上页 下页 返回 结束 5. 设由方程确定,解: 方程两边求微分, 得当时由上式得求6. 设 且则目录 上页 下页 返回 结束 1. 已知求解：因为所以备用题目录 上页 下页 返回 结束 已知求解:方程两边求微分, 得2.习题课
