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1、1正弦定理的教学正弦定理的教学设计设计本教学本教学设计设计是一位是一位师师范生在教学范生在教学实习阶实习阶段段为为公开公开课课而准而准备备的。的。 【 【教学目教学目标标】 】知知识识与技能：知道解斜三角形的意与技能：知道解斜三角形的意义义；掌握正弦定理以及三角形面；掌握正弦定理以及三角形面积积公式，理解正弦公式，理解正弦定理的推定理的推导过导过程。程。应应用：利用正弦定理解决一下两用：利用正弦定理解决一下两类问题类问题：已知三角形的两角及一：已知三角形的两角及一边边，求其它，求其它的角和的角和边边；已知三角形的两；已知三角形的两边边及其中一及其中一边边的的对对角，求其它的角，求其它的边边和角
2、。情感、和角。情感、态态度：通度：通过对实际过对实际问题问题的引入和解决，鼓励同学的引入和解决，鼓励同学们对们对日常生活中的日常生活中的问题进问题进行探索。行探索。【 【教学重点教学重点】 】正弦定理的推正弦定理的推导导和和应应用用【 【教学教学难难点点】 】已知三角形的两已知三角形的两边边及其中一及其中一边边的的对对角，求其他的角，求其他的边边和角和角【 【教学教学设计说设计说明明】 】天文天文观测观测、航海和地理、航海和地理测测量是人量是人类认识类认识自然的重要方面，解三角形的理自然的重要方面，解三角形的理论论在其中在其中发挥发挥了了重要作用。在初中，学生已重要作用。在初中，学生已经经学学
3、习习了如何借助了如何借助锐锐角的三角函数来解直角三角形，而角的三角函数来解直角三角形，而为为了解决了解决更一般的斜三角形的更一般的斜三角形的问题问题，我，我们们需要需要进进一步学一步学习习正弦定理。通正弦定理。通过过事例的引入和事例的引入和对对特殊三角形特殊三角形的探索，引的探索，引导导学生学生发现发现和推和推导导出正弦定理，并使用正弦定理解决一些出正弦定理，并使用正弦定理解决一些实际实际的的问题问题。 。【 【教学教学过过程程】 】（一）事例引入（一）事例引入在日新月异的今天，上海的在日新月异的今天，上海的轨轨道交通道交通线线的的发发展也十分地迅速，然而在展也十分地迅速，然而在轨轨道建道建设
4、过设过程中，程中，我我们们如何来大致地如何来大致地计计算出相算出相邻邻两个站点两个站点间间的的距离呢？距离呢？如如图图 1，将，将实际实际事例模事例模拟拟成一个数学模型：成一个数学模型：已知已知 AC=1.7km， ，A、 、C 的角度如的角度如图图，即求，即求 AB的的长长度。度。由原来所学的知由原来所学的知识识，可以知道只要，可以知道只要过过 B 点作点作 CA 的垂的垂线线，然后通，然后通过锐过锐角三角比的一些性角三角比的一些性质质，便能，便能够够得出得出结论结论。然而，有没有更。然而，有没有更为简为简便的便的结论结论呢？呢？（二）探索（二）探索1在在中，已知中，已知为为直角，直角，BC
5、=a， ，CA=b， ，AB=c， ，则则可知：可知：ACBRtCsinsin1abccAB图 1 地铁站模型2注意到注意到，因而，因而sin1C sinsinsinabc ABC从形式上从形式上讲讲，非常，非常对对称，体称，体现现了数学的一种独特的美，但了数学的一种独特的美，但这这里我里我们给们给出的前提，是出的前提，是为为直角三角形的情况。而在我直角三角形的情况。而在我们们的日常生活或科学研究中，更多遇到的是更的日常生活或科学研究中，更多遇到的是更为为普通的普通的ACB斜三角形，那上述斜三角形，那上述结论结论是否依然成立呢？是否依然成立呢？2 （ （1）等）等边边， ，o60,:CBAcb
6、aABC（ （2）等腰）等腰钝钝角角。 。1:1:3:,30,120:cbaCBAABCoo在上述两种斜三角形中，在上述两种斜三角形中，sinsinsinabc ABC均成立。均成立。故得猜想：在任意三角形中，上式均成立。故得猜想：在任意三角形中，上式均成立。（三）（三）证证明明step1：构建直角坐：构建直角坐标标系。系。如如图图 2，以，以 A 为为原点，原点，AB 所在直所在直线为线为 x 轴轴建建立直角坐立直角坐标标系。系。step2：推：推导导面面积积。 。在直角坐在直角坐标标系中，系中，得知，得知(0,0)( ,0)( cos , sin)AB cC bA bA，1sin2Sc b
7、A同同样样，当分，当分别别取取 B,C 为为坐坐标标原点原点时时，可以得到：，可以得到：1sin2SacB1sin2SbaC因此，因此，111sinsinsin222SbcAacBbaC即：三角形面即：三角形面积积等于任意两等于任意两边边与它与它们夹们夹角正弦角正弦值值的的积积的一半。的一半。step3：推：推导导正弦定理。正弦定理。图 2 建立直角坐标系3我我们对们对已已经经得到的面得到的面积积公式等式同除以公式等式同除以，即可推得：，即可推得：1 2abcsinsinsinabc ABC据此，我据此，我们们得出得出结论结论：在三角形中，各：在三角形中，各边边与它所与它所对对角的正弦角的正弦
8、值值的比相等。我的比相等。我们们把把这样这样的的结结论论叫做正弦定理，即在叫做正弦定理，即在中，中，ABCsinsinsinabc ABC（四）（四）应应用用例例 1 将本将本课课伊始的伊始的实际问题转实际问题转化化为纯为纯数学数学问题问题： ：1.7km11045ABCACACABooV已知中，求的长。说说明：我明：我们们可知，正弦定理可以知三求三。可知，正弦定理可以知三求三。例例 2 在在中，已知中，已知求求的大小。的大小。ABC,1,105,45cmcBAooca和选题选题目的：本目的：本题题作作为为例例 1 的的补补充，和例充，和例 1 一一样样，都是属于，都是属于“已知三角形的两角及
9、一已知三角形的两角及一边边，求，求其他的角和其他的角和边边”的的题题目目类类型。型。例例 3 在在中，己知中，己知， ，求，求ABCo60B,9 . 0 cmb cmc1。CAa的大小和,（ （边长边长精确到精确到角度精确角度精确）。）。,1 . 0 cmo1选题选题目的：本目的：本题题和前两个例子作出比和前两个例子作出比较较，可知本，可知本题题题题型型为为“已知三角形的两已知三角形的两边边及其中一及其中一边边的的对对角，求其他的角，求其他的边边和角和角”，可，可让让学生根据学生根据总结总结上两个例子的方法来上两个例子的方法来总结总结本例。本例。思考思考题题 如果将例如果将例 3 中的中的 b
10、=0.9cm 改改为为 b=2cm，其他条件不，其他条件不变变，求，求 C 的角度。的角度。选题选题目的：思考目的：思考题题和例和例 3 的区的区别别在于，例在于，例 3 有两解，有两解，而思考而思考题仅题仅有一解。学生在解有一解。学生在解题题作作业业的的过过程中常常会有程中常常会有漏解的情形。先漏解的情形。先举举出例出例 3，使学生，使学生脑脑海中有海中有“这类题这类题有两有两个解个解”的潜意的潜意识识，然后，然后举举思考思考题题， ，让让学生了解学生了解这这种种题题型解型解的个数不定。的个数不定。（五）（五）总结总结1正弦定理：正弦定理：sinsinsinabc ABC2面面积积公式：公式
11、：111sinsinsin222SbcAacBbaC图 3 思考题&例 343解斜三角形：解斜三角形：（ （1）已知三角形的两角及一）已知三角形的两角及一边边，求其他的角和，求其他的角和边边； ；（ （2）已知三角形的两）已知三角形的两边边及其中一及其中一边边的的对对角，求其他的角，求其他的边边和角。和角。 （两解）（两解）本次本次课课程已程已经为经为我我们们解决了两解决了两类问题类问题了，下了，下节课节课我我们们将来探索将来探索“已知两已知两边边及其及其夹夹角，求角，求其他其他边边和角和角”与与“已知三已知三边边，求三个角，求三个角”的的问题问题。 。（六）作（六）作业业练习练习册：正弦定理
12、部分册：正弦定理部分【 【板板书设计书设计】 】图图 4 板板书设计书设计【 【课课后反思后反思】 】本次本次课课程是作程是作为为公开公开课课，因此大部分的，因此大部分的时间时间是要留是要留给给学生的。而在学生的。而在对这对这堂堂课课的的处处理上，留理上，留给给学生的学生的时间还时间还稍欠，而主要是用在了引稍欠，而主要是用在了引导导上。上。经经指指导导老老师师指出，也指出，也觉觉得得应该应该要分要分配好教配好教师师与学生的与学生的时间时间。由于。由于这这堂堂课课用到了用到了 PPT 教学，教学，虽虽然更然更显显条理，却也有些例如板条理，却也有些例如板书书不不足等缺欠，以后再使用足等缺欠，以后再使用这这些技些技术时术时也也应该应该考考虑虑到板到板书书等等传统传统教学方法。在教学内容上，也有教学方法。在教学内容上，也有老老师师提出提出为为何要引入面何要引入面积积公式来推公式来推导导正弦定理，而不是直接推正弦定理，而不是直接推导导。 。虽虽然可以直接推然可以直接推导导，但由，但由于我于我们备课们备课是基于教材而来（教材上使用了前种方式推是基于教材而来（教材上使用了前种方式推导导），因此），因此这项问题还这项问题还是有待探是有待探讨讨。 。放映幻灯片课题1.正弦定理2.面积公式演算学生板演
