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1、第第1 1章：线性空间与线性变换章：线性空间与线性变换 内容内容： 线性空间的一般概念线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换线性变换重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法 特点特点： 研究代数结构研究代数结构具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。1.1 1.1 线性空间线性空间一、线性空间的
2、概念一、线性空间的概念 几何空间和几何空间和 n n 维向量空间的回顾维向量空间的回顾 推广思想：推广思想： 抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。合上定义具有线性运算的代数结构。 定义定义1.11.1（P P . .1 1） 要点：要点： 集合集合V V 与数域与数域F F 向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画运算的性质刻画常见的线性空间常见的线性空间 F F n n=X=X=（x x1 1，x x2 2，x xn n）T T：x x F F 运算运算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向
3、量 F F mm n n = A= A=a aij ij mm n n：a a ij ij FF；运算运算：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵 R R mm n n；C C mm n n。 P Pn nx=p(x)= x=p(x)= ：a ai i RR运算运算：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘 CCa a，b b=f=f（x x）：）：f f（x x）在在 a a，b b 上连续上连续 运算运算：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘 eg5eg5： V=R V=R+ +，F=RF=R， a a b b= =abab， a=aa=a F=RF=R或或C C线性空间的一般性的观点：线
4、性空间的一般性的观点： 线性空间的一般形式：线性空间的一般形式： V V（F F），），元素被统称为向量：元素被统称为向量： ， ， ， 线性空间的简单性质（共性）：线性空间的简单性质（共性）：定理定理1 1 . . 1 1：V V（F F）具有性质：具有性质： （1 1） V V（F F）中的零元素是惟一的。中的零元素是惟一的。 （2 2） V V（F F）中任何元素的负元素是惟一的中任何元素的负元素是惟一的 。 （3 3）数零和零元素的性质：）数零和零元素的性质：0 0 =0=0，k0=0k0=0，k k =0 =0 =0=0 或或k=k=0 0 （4 4） = = （ 1 1） 数数0
5、0向量向量0 0二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数 向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关： 定义形式和向量空间定义形式和向量空间R Rn n中的定义一样。中的定义一样。 有关性质与定理和有关性质与定理和R Rn n中的结果一样。中的结果一样。例题例题1 1 证明证明C0C0，11空间中的向量组空间中的向量组 e ex x，e e2x2x，e e3x3x ，e enxnx ，x x 00，11 线性无关。线性无关。二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数 基与维数的概念：基与维数的概念：P . 2P . 2，定义定义1 1 . . 2 2 常见线性空间的基与维数：常见
6、线性空间的基与维数： F Fn n，自然基自然基 e e1 1，e e2 2，,e,en n ，dimdim F Fn n=n =n R Rmm n n ，自然基自然基 E Eij ij ，dimdim R Rmm n n = =mm n n。 P Pn n x x ，自然基自然基11，x x，x x2 2，x x3 3,x ,x n-1n-1 ，dimdimP Pn n x x =n=n CaCa，bb， 1 1，x x，x x2 2，x x3 3x x n-1n-1 Ca,bCa,b，dim dim CaCa，b= b= 约定：约定： V V n n（F F）表示数域表示数域F F上的上的
7、 n n 维线性空间。维线性空间。 只研究有限维线性空间。只研究有限维线性空间。三、坐标三、坐标 1 1 定义定义 1 1 .3 .3 （P . 3)P . 3)设设 1 1， 2 2， n n 是空间是空间的一组基，的一组基， ， = = ，则，则x x1 1 ，x x2 2， ， x xn n是是 在基在基 i i 下的坐标。下的坐标。例例1 1：求求 R R2 2 2 2中向量中向量 在基在基 E Eij ij 下的坐标。下的坐标。要点：要点： 坐标与基有关坐标与基有关坐标的表达形式坐标的表达形式 例例2 2 设空间设空间P P4 4xx的两组基为：的两组基为： 11，x x，x x2
8、2，x x3 3 和和 11，（，（ x x - 1 - 1）1 1，（，（ x - 1 x - 1）2 2，（，（ x - 1 x - 1）3 3 求求f f（x x）=2+3x+4x=2+3x+4x2 2+x +x 3 3在这两组基下的坐标在这两组基下的坐标 。 归纳归纳：任何线性空间任何线性空间V V n nFF在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于F Fn n 。 每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组“ “自然基自然基” ”，在这组，在这组 基下，向量的坐标容易求得。基下，向量的坐标容易求得。 求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。2 2、 线性空间线性
9、空间V V n n（F F）与与F Fn n的同构的同构坐标关系坐标关系 V V n n（F F） F Fn n基基 1 1， 2 2，。，。 n n 由此建立一个一一对应关系由此建立一个一一对应关系 V V n n（F F），）， X X F Fn n， （ ）=X=X （ 1 1+ + 2 2）= = （ 1 1）+ + （ 2 2） （k k ）=k=k （ ） 在关系在关系 下，线性空间下，线性空间V V n n（F F）和和F Fn n同构同构 。同构的性质同构的性质 定理定理1.31.3:V V n n（F F）中向量中向量 1 1， 2 2， n n 线性相关线性相关它们的坐标它
10、们的坐标 X X1 1 , , X X2 2, , ,X ,Xn n 在在F Fn n中线性相关。中线性相关。 同构保持线性关系不变。同构保持线性关系不变。 应用应用：借助于空间借助于空间F Fn n中已经有的结论和方法研中已经有的结论和方法研 究一般线性空间的线性关系。究一般线性空间的线性关系。 例题例题2 2 设设R R2 2 2 2中向量组中向量组 A Ai i 1 讨论讨论 A Ai i 的线性相关性的线性相关性. . 2 2求向量组的秩和极大线性无关组求向量组的秩和极大线性无关组. . 3 3把其余的向量表示成极大线性无关组的把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合线性组合. .四
11、、基变换和坐标变换四、基变换和坐标变换 讨论：讨论： 不同的基之间的关系不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系 基变换公式基变换公式 设空间中有两组基：设空间中有两组基：过渡矩阵过渡矩阵C C的性质：的性质： C C为非奇异矩阵为非奇异矩阵 C C的第的第i i列是列是 i i在基在基 i i 下的坐标下的坐标则则过过 渡渡 矩矩 阵阵2 2 坐标变换公式坐标变换公式已知已知 空间中两组基：空间中两组基：满足满足: : ;: ; 讨论讨论X X和和Y Y的关系的关系X=CYX=CY123 例题例题4 4、 已知空间已知空间R R中两组基中两组基
12、（I I）EEij ij （IIII）；）； 1. 1. 求从基（求从基（I I）到基（到基（IIII）的过渡矩阵的过渡矩阵C C。 2. 2. 求向量求向量 在基（在基（IIII）的坐标的坐标Y Y。例题例题3 3、（P6P6例题例题1111）1.11.1 五、五、 子空间子空间 概述：概述：线性空间线性空间V Vn n（F F）中，向量集合中，向量集合V V可可 以有集合的运算和关系：以有集合的运算和关系： WWi i V V， W W1 1WW2 2， W W1 1WW2 2， 问题：问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为这些关系或运算的结果是否仍然为 线性空间线性空间 ？1 1、 子空间的概念子空间的概念 定义：定义： 设集合设集合WW V Vn n（F F），），WW ，如果如果 WW中的元素关于中的元素关于V Vn n（F F）中的线性运算为线中的线性运算为线 性空间，则称性空间，则称WW是是V Vn n（F F）的子空间的子空间。 判别方法：判别方法：定理定理1515 WW是子空间是子空间
