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1、华北电力大学机械工程学院测试技术第三节 非周期信号的频域描述非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信 号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段 是傅立叶变换。 公式: 或傅里叶变换（FT）傅里叶反变换(IFT)傅里叶变换与傅里叶反变换构成一对 傅里叶变换对x(t)FT IFTX(f)华北电力大学机械工程学院测试技术由傅里叶级数到傅里叶变换非周期信号按照定义不能按傅里叶级数分解成许多正(余)弦 谐波之和，但为了了解其频域描述， 可援引周期信号的方法加 以解决，即将一非周期信号仍当作周期信号处理， 认为其周期 趋于无穷大。设x(t)为周期信号在(-T/2, T/2
2、)区间内傅里叶展开式为 其中 将Cn代入，得 华北电力大学机械工程学院测试技术相邻谐波谱线间的频率增量改写上式式中，n取整数0，1， 2，因而各谐波频率 n0只能取离散值；若T，则0， 原来只能取离散值的谐波频率n0变为 可连续取值的连续变量。华北电力大学机械工程学院测试技术在数学上，T就意味着上式中 将=2f代入上式得 避免了在傅里叶变换中出现1/2的常数因子傅里叶变换华北电力大学机械工程学院测试技术傅里叶积分存在条件是： (1) x(t)在有限区间上满足狄里赫条件； (2) 积分 收敛，即x(t)在无限区间上绝对可积。 周期信号可以通过傅里叶级数分解成为无限多项谐波的代 数和。与此类似，非
3、周期信号则可通过傅里叶积分 “分解” 成 “无限多项谐波” 的积分和。从所起的作用看，傅里叶积分与傅里叶级数类似。 华北电力大学机械工程学院测试技术由于非周期信号的周期T，基频fdf，它包含了从零到无穷大的 所有频率分量，各频率分量的幅值为X(f)df，这是无穷小量，所以频 谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在0,fmax的 各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。X(f)为x(t)的频域描述,是复函数幅值谱相位谱华北电力大学机械工程学院测试技术例1 求矩形窗函数的频谱特点：1 非周期信号的频谱是连续谱2 幅值谱是单位频宽上的幅值 3 时域
4、有限，谱域无限4一般,随频率值增大,对应的幅值逐 渐降低(特殊情况下不成立)提示:由欧拉公式：华北电力大学机械工程学院测试技术波形sinc 函数华北电力大学机械工程学院测试技术三、 傅立叶变换的主要性质华北电力大学机械工程学院测试技术n如果则三、 傅立叶变换的主要性质a. 奇偶虚实性 b. 线性叠加性 c. 对称性 d. 时间尺度改变性 e. 时移性 f.时域卷积定理 时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数 频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于在频 域中频谱中相乘。 主要性质的证明P13-16 华北电力大学机械工程学院测试技术互易对偶性质(对称性) 华北电力大学机械工程学院测
5、试技术时间展缩性质 华北电力大学机械工程学院测试技术华北电力大学机械工程学院测试技术例子：求下图波形的频谱+X1(f )X2(f )用线性叠加定理简化线性叠加性华北电力大学机械工程学院测试技术例2单位脉冲函数(函数)1) 函数的定义 在数学上，如果函数s(t)仅在区间0, 上具有脉冲样图形(矩形脉冲、 三角形脉冲等)， 并且此图形与t轴围成的面积为1， 如图5.14(a)所示， 那么当脉冲宽度0时， 函数s(t)的极限称为函数。 根据此定义不难看出函数有如下特点： t=0 华北电力大学机械工程学院测试技术2) 函数的采样性质若x(t)为一时域连续信号，则乘积(t)x(t)仅在t=0处得到(t)
6、x(0)，其余均为零，于是 可见(t)与x(t)相乘后积分， 其作用就是取出了信号x(t)在t=0时刻的一个值， x(0)为一个采样点。 华北电力大学机械工程学院测试技术同样，对有延时的函数(t-t0)，其值仅在t=t0时刻才不为零， 于是 此时，得到了x(t)在t=t0时刻的一个采样点x(t0)。 在工程上，利用单位脉冲函数的概念， 可将采样过程看成是信号与单位脉冲函数的简单乘积。 华北电力大学机械工程学院测试技术3) 函数与其它函数的卷积同样: 卷积定义函数与其它函数的卷积重要结论： 任意函数和函数的卷积， 就是简单地将该函数 在自己的横轴上平移到函数所对应的位置华北电力大学机械工程学院测
7、试技术函数与函数的卷积华北电力大学机械工程学院测试技术4) 函数的频谱将函数进行傅里叶变换，即可得到其频谱函数： 由此可见，时域的脉冲信号具有无限宽广的频谱， 而且各频率上的信号强度都相等。 在信号的检测中， 一般爆发电火花地方(如雷电、 火花塞等)都会对测试系统引起严重干扰， 这是因为尖脉冲(类似函数， 能量均匀地分布在0的频带内)的高频部分以射频形式发射出来，对测试系统形成干扰的缘故。 凡是频谱为常数的信号俗称白噪声。 “白” 是由白色光引申而来， 意即白色的光谱频率丰富。 脉冲就是一种理想的白噪声。 华北电力大学机械工程学院测试技术根据傅里叶变换的对称性、时移性和频移性等，可得到 下列傅
8、里叶变换对： 时域 频域 华北电力大学机械工程学院测试技术例3正余弦由欧拉公式：由频移性傅里叶级数的复指数展开 和傅里叶变换 获得相同 的频谱华北电力大学机械工程学院测试技术例4指数衰减信号的频谱华北电力大学机械工程学院测试技术华北电力大学机械工程学院测试技术5 频谱分析的应用 频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析 中最常用的一种手段。案例：在齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分析 ，确定最大频率分量，然后根 据机床转速和传动链，找出故 障齿轮。案例：螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆 的固有频率和临界转速，确定 螺旋浆转速工作范围。华北电力大学机械工程学院测试技术谱阵分析
9、：设备启/停车变速过程分析 华北电力大学机械工程学院测试技术第四节 几种典型信号的频谱周期方波 正余弦 矩形窗 三角窗 单位脉冲 周期单位脉冲（采样函数）华北电力大学机械工程学院测试技术周期单位脉冲（采样函数）等间隔的周期性单位脉冲序列的周期为Ts， 如图5.16(a)所示。 它的数学表达式为 n=0, 1, 2 若用傅里叶级数表示，则 华北电力大学机械工程学院测试技术所以 （5.26） 两端取傅里叶变换，即得n(t)的频谱 华北电力大学机械工程学院测试技术频谱图可以看出， 时域中周期为Ts的脉冲序列在频域中仍是周期为1/ Ts的脉冲序列， 其幅值为时域中脉冲幅值的1/ Ts倍。 华北电力大学
10、机械工程学院测试技术用计算机进行信号分析时， 首先要将连续的模拟信号x(t)变为一连串离散的时间序列。 以数字量的形式存入一个个内存单元中， 然后进行各种计算。 为了实现这一过程， 可先用 n(t)与连续信号x(t)相乘。 根据函数的采样性质可知， 相乘后便得到一离散的时间序列。 由此看来， 周期性单位脉冲序列n(t)在数学上具有采样功能， 因此又称采样函数。 相应地，Ts称采样间隔， 也称采样周期，其倒数1/ Ts=fs称采样频率。 华北电力大学机械工程学院测试技术华北电力大学机械工程学院测试技术作业: 2-1 (用复指数函数形式) 2-2 (a0,t=0) 2-5 2-6 (注意:1/f0=T0)提示:FT的定义及性质
