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1、第 1 页 共 12 页ab 2一、用函数的单调性求代数函数的最值（1）对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如 xm，n,则 f（m），与 f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值。（2）求二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在m,n上的最值时，先判定对称轴 x= - 是否属于m,n，若 x=- m,n,则 f(m) , f(n) ,f(- 中较大者是最大值，较小者是最小值，若- m,n，则 f(m)与 f(n)中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数 f(x)2ax2+bx+c 的定义域为R，当 a0 时，有最小值 ymn= ,岂 a0f(x)
2、在1，+上是增函数f(x)在区间1，+上的最小值是f(x)min=f(1)=二、有关三角函数最值的求法（1）用三角函数的有界性求最值由于正弦函数，余弦函数均是有界函数，即： -1sinx1 -1cosx1,故在求三角函数有关的函数的最值时，可考虑把它转化为同一三角函数，然后运用三角函数的有界性求其最值。例 4，已知 R0 b0 (a-b)20 0sin2x1当 sinx=1,即 x= + (kz)时 ymax=2b2a 当 sinx=0,即 x= (kz)时，ymin= +ab(2)利用三角函数的单调性如果 f(x)在,上是增函数，则 f(x)在，上有 f(x)max=f(),f(x)min=
3、f(x),如果 f(x)在,上是减函数，则 f(x)在,上有最大值 f(x)，最小值 f().例 6，在 0x 的条件下，求 y=cos2x-4sinxcosx-3sin2x 的最大值和最小值。解：用二倍角公式及变形公式有：y= -2sinx-3=2(cos2x-sinx)-1=2(cos2xcos -sin2xsin )-12=2cos(2x+ )-120x 2x+ 由余弦函数的单调性知：cos(2x+ )在0， 上是减函数，故岂x=0 时有最大值 ，当 x= 时有最小值-1。cos(2x+ )在 ， 上是增函数，故当 x= 时，有最小值-1,2k 22k222cos1x 22cos1x4
4、442 4 4 454 832283483 2832 22第 4 页 共 12 页当 x= 时有最大值- 。综上 当 x=0 时 ,ymax=2 -1=12当 x= 时 ,ymin=2x(-1)-1=2-122（3）用换元法求三角函数的最值利用变量代换，我们可以把三角函数的最值问题转化为代数函数最值问题求解，例 7，求 f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x 的最大值和最小值。解：f(x)=sin4x+2sincosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x =(sin4x+2sin2xcos2x+cos4x)-sin
5、2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2+2sinxcosx=1+2sinxcosx-sin2xcos2x令 t=sinxcosx=sin2x 则-t21 21 21f(t)=1+2t-t2=-(t-t)2+2 (-t)21 21当 t=,即 x=k+(kz)时,f(x)max=f(t)max= 21 4 47当 t=- ,即 x= k+(kz)时,f(x)min=-2143 41f(x)max= f(x)min=-47 41三、用均值定理求最值1、均值定理的构成的注意事项二元均值不等式：（a0,b0,当且仅当 a=b 时取
6、等号）2ba ab三元均值不等式：（a0,b0，c0,当且仅当 a=b=c 时3cba 3abc2283第 5 页 共 12 页取等号） n 元均值不等式：(a10,a20an0，当且naaanL21 nnaaaL21仅当 a1=a2=an时取不等号)在运用均值不等式求最值时应注意以下三点：i函数解析式中各项均为正数。ii函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值。iii含变数的各项均相等时才能取得最值。2、均值定理在求函数最值中的应用例 8、解答下列各题（1）求函数 y=x2+(x0) 的最小值。44 x（2）求函数 y=2x2+(x0)的最小值。 x4（3）求函数 y=6x2-3x
7、3(00 时，则当2baab且仅当 a=b 时，a+b 有最小值，若 a+b 为常数 n0，则当且仅当 a=bm2时，有最大值，较解这些问题的关键是构造“定”或“定积”。2n解：（1）y=x2+=+=344 x22x 22x 44 x34 224223xxx当且仅当=，即 x=(x0)时，ymin=322x 44 x2(2)x0 2x20 0x2y=2x2+=2x2+=6x4 x2 x2322223xxx当且仅当 2x2=,即 x=1 时，ymin=6x2第 6 页 共 12 页(3)y=6x2-2x3=2x2(3-x)00 02xy=8(3-x)8=82x 2x33)3(22xxx当且仅当=
8、3-x,即 x=2 时，ymax=82x(4)00 1-x20 x(1-x2)0y2=x2(1-x2)2=2x2(1-x2)(1-x2) 21=33)1()1(2 21222 xxx274当且仅当 2x2=1-x2,即 x=时，y2有最大值。33 274当 x=时，ymax=33 932（5）y=xxxx cossin2sin81cos2122=cotx+4tanx00 tanx02y=cotx+4tanx=4xxcottan42当且仅当 4tanx=cotx 即 x=aintan时，ymin=4213、运用均值定理解应用题例 9：学校食堂定期从某粮店以每吨 2000 元价格购进大米，每次购进
9、大米需支付运输费 100 元，已知食堂每天需用大米 1 吨，贮存大米的费用为每吨每天 2 元，假如食堂每次都在用完大米的当天购买。（1）该食堂每隔多少天进一次大米才能使平均每天所支付的费用最少？第 7 页 共 12 页（2）粮食提出价格优惠条件：一次购买不少于 20 吨时，大米价格可享受九五折优惠，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由。解：（1）设每隔 x 天购进一次大米，因为每天用米一吨，故一次购米 x 吨，从而库存总费用为 2x+(x-1)+2+1=x(x+1)若设平均每天所支付的总费用为 y,则y1=x(x+1)+100+2000=x+20012+2001=2021x1 x100 xx1
10、00当且仅当 x= 即 x=10 时取等号。x100每隔 10 天购出一项，才能使每天所付费用最少。（2）设能接受优惠条件，则至少每隔 20 天购米一项，没每隔七天购米一次，平均每天费用为 y2 元，则y2=t(t+1)+100+200095%=t+1901t1 t100由于 t=10 不在函数定义域内，教不能使用均值定理。令 f(t)=t+1901 (t20) t100设 t1 ,t220 ,+)且 t1t2则 f(t2)-f(t1)=t2-t1+=(t2-t1)(1-)12100100 tt12100 tt=t2t120 t2t10 t2t1-1000 t2t10f(t2)-f(t1)0
11、即 f(t2)f(t1)f(t)在20，+上是增函数。当 x=20 时，y2取得最小值 1926 元而 19262021，故该食堂可接受优惠条件。四、运用线性规划求最值121212)100)( tttttt第 8 页 共 12 页运用线性规划求最值就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，从而求出最值，无论此类问题是以什么实际问题提出，其解题格式步骤基本不变：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数。（2）由二元一次不等式表示出平面区域（即可行域）（3）在可行域内求目标函数的最优解，从而求出最值（求是优解时，主要由图形得出，故应准确作图）例 10、 （2005 年福建）非负实数 x、y 满足则
12、x+3y 的03042yxyx最大值为_解：约束条件所围成的区域， 如图所示，将目标函数 z=x+3y 从左向右平移，最后经过的点是（0，3）x+3y 的最大值为 0+33=9例 11、 （2004 年江西）设实数 x,y 满足则的最大值是_.xy解：画出约速条件所围成的区域，如图所示，03204202xyxyx第 9 页 共 12 页令 =k，则 K 的最大值即为过原点且过可行域内的一点的直线xy中，斜率的最大值。由图形知，直线过点 A（1，）时 Kmax=23 23例 2，已知 试求（x+1）2+(y+1)2的最大值、最小值，及取得最大、最小值时 x、y 的值。解：作出不等式组所表示的平面
13、区域如右图所示，其区域的顶点 A（2，1），B（3，4），C（1，3）而（X+1）2+（y+1）2表示可行域内的动点 M（x , y）与定点 P（-1，-1）的距离的平方，过点 P 作 AC 的垂线，垂足不在可行域内，由图可知，只有当 x=2 ,y=1 时， （x+1）2+(y+1)2才取得最小值，最小值为 13，当x=3.y=4 时， （x+1）2+(y+1)2才取得最小值，最大值为 41。五、运用构造求最值构造法就是数学建模在解题中的应用，它要求具有相当的基本功，能根据不同的题型，构造成我们能够解决的数学模型，从而使问题得以解决。1、构造距离解题例 13、求函数 y=+522 xx的最小值
14、222 xx解：原函数可变形为：y=052053052yxyxyx第 10 页 共 12 页2222) 10() 1()20() 1(xx函数 y 的值可看作点 P（x ,o）到点 A（1，2）与点 B（-1，1）的距离之和，而点 P（x ,0）为 x 轴上的点。即在 x 轴上取点 P 使|PA|+|PB|为最小。如图，作点 B 关于 x 轴的对称点 B（-1，-1）连结 AB交 x 轴于点 P，则 PA+PB=ABymin=AB=13) 12() 11 (222、构造向量例 14、已知：a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=1其中 a、b、c、x、y、z 均为实数，求 ax+by+cz 的最大值与最小值。解：构造向量 a=(a、b、c)、b=（x、y、z）由题设引知：|a|2=1， |b|2=1设a ，b =2，则 o，且 又1cos-1ax+by+cz1即 ax+by+cz 的最大值为 1，最小值为-13、构建圆锥曲线例 15：已知 ABC 的周长 C=16cm BC=6cm求 ABC 面积的最大值解：BC 的长为定值，点 A 到点 B 与 C 的距离之和也为定值，故点A 在以 B、C 为焦点、焦距 2C=6cm，长轴长 2a=10cm 椭圆上，czbyaxbacosbaba第 11 页 共 12 页c=3，a=5，b=4由-byb
