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1、第3章 离散傅里叶变换(DFT) 第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例 习题与上机题第3章 离散傅里叶变换(DFT) 傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要数学变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数学变换，即本章要讨论的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。DFT之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的
2、灵活性。更重要的是，DFT有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面取 代了传统的连续时间系统。所以说，DFT不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心 作用。本章主要讨论DFT的定义、物理意义、基本性质以及频域采样和DFT的应用举例等内容。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义3.1.1 DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为(3.
3、1.1)第3章 离散傅里叶变换(DFT) X(k)的离散傅里叶逆变换 (Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT) 为 式中， ，N称为DFT变换区间长度，NM。通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用DFTx(n)N和IDFTX(k)N分别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。下面证明IDFTX(k)的唯一性。(3.1.2)第3章 离散傅里叶变换(DFT) 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式，有由于 第3章 离散傅里叶变换(DFT) 所以，在变换区间上满足下式： IDFTX(k) N=x(n) 0nN
4、1由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。解 设变换区间N=4，则第3章 离散傅里叶变换(DFT) 设变换区间N=8，则由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。对DFT与Z变换和傅里叶变换的关系及DFT的物理意义进行讨论后，上述问题就会得到解释。 第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系设序列x(n)的长度为M，其Z变换和N(NM)点DFT分别为比较上面二式可得关系式(3.1.3)或 第3章 离散傅里叶变换(DFT) (3.1.3)式表明序
5、列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。(3.1.4)式则说明X(k)为x(n)的傅里叶变换(3.1.4)第3章 离散傅里叶变换(DFT) X(ej)在区间0, 2上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ej)在区间0, 2上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。上例中， x(n)=R4(n)，DFT变换区间长度N分别取8、16时，X(ej)和X(k)的幅频特性曲线图如图3.1.1所示。由此容易得到x(n)=R4(n)的4点DFT为X(k)=DFTx(n)4=4(k)，这一特殊的结果在下面将得到进一步
6、解释。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 图3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系 第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1.3 DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 的周期性，使(3.1.1)和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有所以(3.1.1)式中，X（k)满足：实际上，任何周期为N的周期序列 都可以看做长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 x(n)的一个周期，即第3章 离散傅里叶变换(DFT) (3.1.5)(3.1.6)上述关系如图3.1.2（a）和（b）所示。一般称周
7、期序列 中从n=0到N1的第一个周期为 的主值区间，而主值区间上的序列称为 的主值序列。因此x(n)与 的上述关系可叙述为： 是x(n)的周期延拓序列，x(n)是 的主值序列。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 为了以后叙述简洁，当N大于等于序列x(n)的长度时，将(3.1.5)式用如下形式表示： (3.1.7)式中x(n) N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，(n)N表示模N对n求余，即如果n=MN+n1 0n1N1, M为整数则 (n)N=n1例如， , 则有所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列
8、第3章 离散傅里叶变换(DFT) 应当说明，若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当NM时，无时域混叠失真，x32(n)=IDFTX32(k)=x(n)。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 图3.3.1 频域采样定理验证第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.4 DFT的应用举例3.4.1 用DFT计算线性卷积用DFT计算循环卷积很简单。设h(n)和x(n)的长度分别为N和M, 其L点循环卷积为且L 第3章 离散傅里叶变换(DFT) 则由DFT的时域循环卷积定理有由此可见，循环卷积既可以在时域直接计算，也可以 按照图3.4.1所示的计算框图在频域计算。由于DFT有快速算法，当L很大时，在频域计算
9、循环卷积的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 图3.4.1 用DFT计算循环卷积的原理框图第3章 离散傅里叶变换(DFT) 在实际应用中，为了分析时域离散线性时不变系统或者对序列进行滤波处理等，需要计算两个序列的线性卷积。与计算循环卷积一样，为了提高运算速度，也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。而DFT只能直接用来计算循环卷积，因此，下面先导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件，最后得出用图3.4.1线性卷积的条件。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。它们的线性卷积
10、和循环卷积分别表示如下： 其中 所以(3.4.1)(3.4.2)L 第3章 离散傅里叶变换(DFT) 对照(3.4.1)式可以看出，上式中即(3.4.3)第3章 离散傅里叶变换(DFT) (3.4.3)式说明，yc(n)等于yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。我们知道， yl(n)长度为NM1，因此只有当循环卷积长度LNM1时，yl(n)以L为周期进行周期延拓时才无时域混叠现象。此时取其主值序列显然满足yc(n)=yl(n)。由此证明了循环卷积等于线性卷积的条件是LNM1。图3.4.2中画出了h(n)、x(n)、h(n)*x(n)以及L分别取6、8、10时h(n) L x(n)的波形
11、。由于h(n)长度N=4，x(n)长度M=5，NM1=8，因此只有L8时，h(n) L x(n)波形才与h(n)*x(n)相同。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 图3.4.2 线性卷积与循环卷积波形图第3章 离散傅里叶变换(DFT) 综上所述，取LNM1，则可按照如图3.4.1所示的计算框图用DFT(FFT)计算线性卷积。其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)来实现，故常称其为快速卷积。实际上，经常遇到两个序列的长度相差很大的情况 ，例如MN。若仍选取LNM1，以L为循环卷积区间，并用上述快速卷积法计算线性卷积，则要求对短序列补很多零点，而且长序列必须全部输入后才能进行快速计算。因此要求
12、存储容量大，运算时间长，并使处理延时很大，不能实现实时处理。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 况且在某些应用场合，序列长度不定或者认为是无限长，如电话系统中的语音信号和地震检测信号等。显然，在要求实时处理时，直接套用上述方法是不行的。解决这个问题的方法是将长序列分段计算，这种分段处理方法有重叠相加法和重叠保留法两种。下面只介绍重 叠相加法，重叠保留法作为本章习题题21，留给读者讨论。设序列h(n)长度为N，x(n)为无限长序列。将x(n)等长分段，每段长度取M，则第3章 离散傅里叶变换(DFT) （3.4.4a）于是，h(n)与x(n)的线性卷积可表示为（3.4.4b）式中（3.4.4c）第3
13、章 离散傅里叶变换(DFT) (3.4.4b)式说明，计算h(n)与x(n)的线性卷积时，可先计算分段线性卷积yk(n)=h(n)*xk(n)，然后把分段卷积结果叠加起来即可，如图3.4.3所示。每一分段卷积yk(n)的长度为NM1，因此相邻分段卷积yk(n)与yk1(n)有N1个点重叠，必须把重叠部分的yk(n)与yk1(n)相加，才能得到正确的卷积序列y(n)。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 显然, 可用图3.4.1所示的快速卷积法计算分段卷积yk(n)， 其中L=NM1。由图3.4.3可以看出，当第二个分段卷积y1(n)计算完后，叠加重叠点便可得输出序列y(n)的前2M个值；同样道理，
14、分段卷积yi(n)计算完后，就可得到y(n)第i段的M个序列值。因此，这种方法不要求大的存储容量，且运算量和延时也大大减少，最大 延时TDmax=2MTs+To，Ts是系统采样间隔，To是计算1个分段卷积所需时间，一般要求To1时，向内盘旋, 如图3.4.9所示。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 图3.4.9 ChirpZ变换分析频点分布第3章 离散傅里叶变换(DFT) 将zk代入Z变换公式得到:利用下面的关系式： 得到：第3章 离散傅里叶变换(DFT) 令 (3.4.23)(3.4.24)则 (3.4.25)第3章 离散傅里叶变换(DFT) (3.4.25)式说明，长度为N的序列x(n)的M
15、点Chirp-Z变换可通过预乘得到y(n)，再计算y(n)与h(n)的卷积v(k)，最后乘以 这三个步骤得到。计算方框图如图3.4.10所示。图中， h(n)= , 看成一个数字网络的单位脉冲响应，输出v(n)=y(n)*h(n)|n=k=V(k)。当W0=1时， ，是一个频率随时间线性增长的复指数序列。在雷达系统中，这样的信号称作 线性调频信号，并用专用词汇Chirp表示，因此对上述变换起名为线性调频Z变换，简称Chirp-Z变换(CZT)。 第3章 离散傅里叶变换(DFT) 图3.4.10 ChirpZ变换的计算框图第3章 离散傅里叶变换(DFT) 下面介绍用DFT(FFT)计算ChirpZ变换的原理和实现步骤。首先要确定线性卷积的区间。由于序列 x(n)的长度为N(即0nN1)，因此y(n)的长度也是N，如图3.4.11(a)所示。然而 是无限长序列，v(n)=y(n)*h(n)必然是无限长序列。而谱分析点数为M，即我们只对0kM1区间上的卷积结果感兴趣，因此只要计算出V(k)=v(n)在区间0 M1上的M
