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1、 一、数形结合思想向量的加、减、数乘等线性运算有着丰富的几何背景，同时，向量的坐标表示又为向量运算的代数化提供了可能.因此，向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，自然处于中学数学知识的重要交汇点.显然，形成并自觉运用数形结合的思想方法是解决向量与其他问题的关键.【示例1】 已知向量a2b21，且ab 求(1)|ab|；(2)a与(ba)的夹角.解 法一：(数形结合法)作 以 为邻边作ABCD，如图所示.由a2b21及ab 得又BAD0，180，BAD120.所以四边形ABCD为边长为1且一个内角为120的菱形，易得(1)|ab|(2)a与(ba)的夹角为150.法二：(数量
2、积运算法)由于0180，150.所以a与(ba)的夹角为150.（2）设a与b（a-b）r的夹角为由于领悟 法一充分利用向量加法的平行四边形法则转化为平面几何求解是直观形象，法二利用向量的数量积运算及其变形公式更是简洁明快.二、等价转化的思想等价转化的实质是将难解的问题化为易解的问题，将复杂问题化为简单的问题来处理.在本章中，可利用向量的坐标运算法则，把向量的运算转化为实数的运算，即将向量的加、减、实数与向量的积和数量积的运算，转化为实数的加、减、乘的运算.把一些几何问题的证明转化为向量的代数运算，无不体现了等价转化思想.【示例2】 已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF
3、交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB.证明 如图建立直角坐标系xAy，其中A为原点，不妨设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0，1).(2，1)， 1(2)2(1)0，即BECF.(2)设P(x，y)，则-X=-2(y-1)，即x=2y-2同理由 得y2x4，代入x2y2.解得领悟 本题为平面几何问题，证明过程中以直角坐标系为平台，以向量为工具，较容易地完成了证明.显然，向量共线与向量垂直的坐标运算，运用得既巧妙而又必不可少，突出重点的同时更突破了难点.三、函数与方程的思想向量作为一种运算工具，与函数和方程是密切相关的.例如，向量a，b的坐标中含有
4、参数t时，计算ab时，即把ab视为关于t的函数；解决共线向量时，则常常借助ba来确定，求的方法即利用向量相等的充要条件列出方程(组)来求解.【示例3】 已知a是以点A(3，1)为起点，且与向量b(3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是 .解析 设向量a的终点坐标是(x，y)，则a(x3，y1)，由题意可知答案 或解得故 或填 或领悟 利用方程的思想解决问题时关键是寻找等量关系，建立方程.1.(2009辽宁高考)已知复数z12i，那么 ( )答案：D解析：由2.(2009北京高考)已知向量a、b不共线，ckab(kR)，d ab.如果cd，那么 ( )A.k1且c与d同向B.k1且c与d反
5、向C.k1且c与d同向D.k1且c与d反向解析：不妨设a(1,0)，b(0,1).依题意dab(1，1)，又ckab(k,1)，cd，12(1)k0，k1，又k1时，c(1,1)d，c与d反向.答案：D3.(2009湖北高考)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(mni)(nmi)为实数的概率为 ( )解析：(mni)(nmi)2mn(n2m2)i，它为实数的等价条件是m2n2，又m，n均为正整数，mn.故问题事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)六个，基本事件空间中含有36个基本事件，所以答案：C4.(2009全国卷)设非零向量
6、a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b ( )A.150 B.120C.60 D.30解析：abc，|c|2|ab|2a22abb2.又|a|b|c|，2abb2，即2|a|b|cosa，b|b|2.cosa，b a，b120.答案：B5.(2010杭州质检)设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向量积”：ab是一个向量，它的模|ab|a|b|sin，若a ( ，1)，b(1， )，则|ab| ( )A. B.2C.2 D.4答案：B解析：6.(2009福建高考)若 abi(i为虚数单位，a，bR)，则ab .答案：2即1iabi，a1，b1，ab2.解析：7.(2009湖南高考)如图，
7、两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 则x ，y .解析：设 则由题意：又BED60，显然 的夹角为45.由 得：1cos45(x1)12.x同理，在 两边与 取数量积可得y答案：8.(2010常州模拟)给出以下四个命题：对任意两个向量a，b都有|ab|a|b|；若a，b是两个不共线的向量，且a2b(1，2R)，则A、B、C共线121；若向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，则ab与ab的夹角为90；若向量a、b满足|a|3，|b|4，|ab| 则a，b的夹角为60.其中错误命题的序号是 .解析：命题左边|ab|a|b|cos(为a、b夹角)，当cos1时，|ab|a|b|故错误；
8、命题若A、B、C共线，若121，2 A、B、C共线，则正确.易知正确，命题|ab| 两边平方|ab|13，即a2b22ab13，2ab13|a|2|b|212，ab60，a与b夹角为钝角.答案: 9.(2009浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(1)求ABC的面积；(2)若c1，求a的值.解：(1)因为所以又由 得bccosA3，所以bc5.因此SABC bcsinA2.(2)由(1)知，bc5.又c1，所以b5，由余弦定理，得a2b2c22bccosA20，所以10.(2010淮安模拟)已知：A(5,0)，B(0,5)，C(cos，sin)，(0，).(1)若 ，求sin2；(2)若 求 的夹角.解：设 的夹角为
