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1、上页下页铃结束返回首页一、常见数集二、映射 三、函数映射与函数1上页下页铃结束返回首页v几个数集所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集.所有实数构成的集合记为R, 称为实数集.所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理数集.一、常见数集2上页下页铃结束返回首页(a, b)x|af(x2), 则称 f(x) 在 I 上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 15上页下页铃结束返回首页设函数 f(x) 的定义域 D 关于原点对称,如果在 D 上有 f(x)f(x), 则称 f(x) 为偶函数.如果在 D 上有 f(x)f(x), 则称 f(x
2、) 为奇函数.(3)函数的奇偶性奇偶函数举例yx2, ycos x, f(x)+f(x) 都是偶函数.yx3, ysin x, f(x)f(x) 都是奇函数.注: 常量函数为偶函数.奇偶函数的运算性质将偶函数对应于正数, 奇函数对应于负数.16上页下页铃结束返回首页奇函数的图形对称于原点偶函数的图形对称于 y 轴奇偶函数的图形特点设函数 f(x) 的定义域 D 关于原点对称,如果在 D 上有 f(x)f(x), 则称 f(x) 为偶函数.如果在 D 上有 f(x)f(x), 则称 f(x) 为奇函数.(3)函数的奇偶性17上页下页铃结束返回首页例6 判断解 的奇偶性.为奇函数18上页下页铃结束
3、返回首页(4)函数的周期性设函数 f(x) 的定义域为 D. 如果存在一个不为零的 数 l, 使得对于任一 xD 有 (xl)D, 且 f(x+l)f(x), 则称 f(x) 为周期函数, l 称为 f(x) 的周期.周期函数的图形特点19上页下页铃结束返回首页3.反函数与复合函数 v反函数设函数 f : Df(D) 是单射, 则它存在逆映射f 1: f(D)D, 称此映射 f 1 为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD 的反函数记成 yf 1(x), xf(D). 例如, 函数 yx3, xR 是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为 函数 yx3, xR 的反函数是提问:
4、下列结论是否正确？20上页下页铃结束返回首页函数 yf(x) 和 yf 1(x) 的 图形关于直线 yx 是对称的. 3.反函数与复合函数 v反函数设函数 f : Df(D) 是单射, 则它存在逆映射f 1: f(D)D, 称此映射 f 1 为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD 的反函数记成 yf 1(x), xf(D). 提示: 21上页下页铃结束返回首页例7 解 则有 所求反函数为 其定义域为(1,1), 即为所求值域. 22上页下页铃结束返回首页例8 解 于是 所求定义域为 所求定义域也可表示为 23上页下页铃结束返回首页函数 yf g(x) 称为由函数 yf(u) 和函
5、数 ug(x) 构成 的复合函数, 变量 u 称为中间变量. v复合函数 注: 1. g 与 f 能构成复合函数的条件是: RgDf F. 否则, 不能构成复合函数. 2. g(x)Df 的解集为 f g(x) 的自然定义域.3. 函数 y f g(x)也记为 y f g (x).例9 解 24上页下页铃结束返回首页解例10 分解下列复合函数:(1)(2)(3)25上页下页铃结束返回首页例11解一 令 得 解二 26上页下页铃结束返回首页解例12 27上页下页铃结束返回首页解例13 分析 :28上页下页铃结束返回首页v基本初等函数幂函数: yx (R 是常数); 指数函数: ya x(a0 且
6、 a1); 对数函数: yloga x (a0 且 a1), 特别当 ae 时, 记为 yln x;三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 4.初等函数 反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . 29上页下页铃结束返回首页4.初等函数 v初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成的函数, 称为初等函数. 都是初等函数.例如, 函数提问: y | x | 是初等函数吗?提示:提问: 幂指函数 yxsin x 是初等函数吗?30上页
7、下页铃结束返回首页解思考题 已知求 (1) (2) 由(1)和(2)得 31上页下页铃结束返回首页作 业习题1.1 (P17):22.(3) 24. 25. 30. 31.32上页下页铃结束返回首页反三角函数反正弦函数-11yarcsin x反函数称为反正弦函数的主值, 记为 正弦函数 ysin x 在 上的为 .yarcsin x, 其定义域为1, 1, 值域33上页下页铃结束返回首页1-1yarccos x反余弦函数余弦函数ycos x 在0, p上的反为0, p.yarccos x, 其定义域为1, 1, 值域函数称为反余弦函数的主值, 记为反三角函数34上页下页铃结束返回首页反正切函数yarctan x反函数称为反正切函数的主值,记值域为 .正切函数ytan x在 上的为 yarctan x, 其定义域为(, +), 反三角函数35上页下页铃结束返回首页余切函数ycot x 在 (0, p )上的 反函数称为反余切函数的主值, 记 为yarccot x, 其定义域为(, +), 值域为(0, p).反余切函数yarccot x反三角函数36上页下页铃结束返回首页反三角函数值的确定求arcsin x的方法是： 37上页下页铃结束返回首页求arccos x的方法是： 在0, p内确定一点a，则arccos xa。使cos ax，反三角函数值的确定38
