虚拟变量

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1、第七章 虚拟变量回归 第一节 虚拟变量的性质 一、基本概念由于定性变量通常表示的是某种特征的有和无，所 以量化方法可采用取值为1或0。这种变量称作虚拟变 量（dummy variable）。虚拟变量也称：哑元变量 、定性变量等等。通常用字母D或DUM加以表示（英 文中虚拟或者哑元Dummy的缩写）。用1表示具有某一“品质”或属性，用0表示不具有该 “品质”或属性。虚拟变量使得我们可以将那些无法定量化的变量引 入回归模型中。虚拟变量应用于模型中，对其回归系数的估计与检 验方法和定量变量相同。虚拟变量表示两分性质，即“是”或“否”，“男”或“女” 等。o例1：你在研究学历和收入之间的关系，在你的样

2、 本中，既有女性又有男性，你打算研究在此关系 中，性别是否会导致差别。o例2：你在研究某省家庭收入和支出的关系，采集 的样本中既包括农村家庭，又包括城镇家庭，你 打算研究二者的差别。o例3：你在研究通货膨胀的决定因素，在你的观测 期中，有些年份政府实行了一项收入政策。你想 检验该政策是否对通货膨胀产生影响。o 上述各例都可以用两种方法来解决，一 种解决方法是分别进行两类情况的回归，然 后看参数是否不同。另一种方法是用全部观 测值作单一回归，将定性因素的影响用虚拟 变量引入模型。二、虚拟变量设置规则虚拟变量的设置规则涉及三个方面:1.“0”和“1”选取原则虚拟变量取“1”或“0”的原则，应从分析

3、问题的目的出发予以界 定。从理论上讲，虚拟变量取“0”值通常代表比较的基础类型；而 虚拟变量取“1”值通常代表被比较的类型。 “0”代表基期（比较的基础，参照物）；“1”代表报告期（被 比较的效应）。例如，比较收入时考察性别的作用。当研究男性收入是否高于 女性时，是将女性作为比较的基础（参照物），故有男性为 “1”，女性为“0”。2.属性（状态、水平）因素与设置虚拟变量数量的关系定性因素的属性既可能为两种状态，也可能为多种 状态。例如，性别（男、女两种）、季节（4种状态 ），地理位置（东、中、西部），行业归属，所有制 ，收入的分组等。o虚拟变量数量的设置规则o1.若定性因素具有 m（m2） 个

4、相互排 斥属性(或几个水平)，当回归模型有截距项 时，只能引入m个虚拟变量；o2.当回归模型无截距项时，则可引入m个虚 拟变量；否则，就会陷入“虚拟变量陷阱”。 例 (虚拟变量陷阱) 研究居民住房消费支出 和居民可 支配收入xi 之间的数量关系。 回归模型的设定为：现在要考虑城镇居民和农村居 民之间的差异，如何办？ 为了对 “城镇居民”、“农村居民”进 行区分，分析各自在住房消费 支出 上的差异，设 为城 镇; 为农村。 ,则模型为 (模型有截距，“居民属性”定性变量 只有两个相互排斥的属性状态 （ m=2），故只设定一个虚拟 变量。)若对两个相互排斥的 “居民属性” ，引入m=2个虚拟变量，

5、则 有则模型（1）为 o则对任一家庭都有： D1+D2=1 o即产生完全共线，陷入了“虚拟变量陷阱”。“虚拟变量 陷阱”的实质是：完全多重共线性。第二节 虚拟解释变量的回归在计量经济学中，通常引入虚拟变量的方式分为加法 方式和乘法方式两种：实质:加法方式引入虚拟变量改变的是截距；乘法方 式引入虚拟变量改变的是斜率。o一、加法类型o（1）一个两种属性定性解释变量而无定量变量的情形例：按性别划分的教授薪金(2)包含一个定量变量，一个定性变量模型设有模型，yt = 0 + 1 xt + 2D + ut ,其中yt，xt为定量变量；D为定性变量。当D = 0 或1时，上述模型可表达为，0 + 1xt

6、+ ut , (D = 0) yt = (0 + 2) + 1xt + ut , (D = 1) D = 1或0表示某种特征的有无。反映在数学上是截 距不同的两个函数。若2显著不为零，说明截距不同 ；若2为零，说明这种分类无显著性差异。注意：关于定性变量中的哪个类别取0，哪个类别取1，是任意 的，不影响检验结果。但解释模型时一定注意1，0是 怎样分配的。 定性变量中取值为0所对应的类别称作基础类别（base category）。 （3）一个定性解释变量（两种以上属性）和一个 定量解释变量的情形（4）两个定性解释变量（均为两种属性）和一个 定量解释变量的情形例：研究大学教师的年薪是否受到性别、学

7、历的影响。性别和学历是 两个不同的标准。按性别标准教师可以分成男、女两类，应该引入一个 虚拟变量；按学历标准大学教师可以分为大学本科学历、硕士学历、博 士学历三类，应该引入两个虚拟变量，共引入三个虚拟变量。令Y代表年薪， X代表教龄，建立模型：可以看出基准类是本科女教师，B0为刚参加工作的本 科女教师的工资；B1为参加工作时间对工资的影响； B2是性别差异系数;B3和B4为学历差异系数，B3是硕 士学历与本科学历的收入差异，B4是博士学历与本科学 历的收入差异；通过上述分析，我们可以确定Bi的符号 。在这个问题中，一共有六个类别，但是我们只引入 了三个虚拟变量，而不是五个。 在就多个标准引入虚

8、拟变量时，应该注意每一标准 下引入虚拟变量个数应该是这一标准下类别数目减一 ，所以我们在本例中只引入三个虚拟变量而不是五个 。如果引入五个虚拟变量就会陷入虚拟变量陷阱。运用OLS得到回归结果，再用t检验讨论因素 是否 对模型有影响。加法方式引入虚拟变量的主要作用为： 1.在有定量 解释变量的情形下，主要改变方程截距； 2.在没有定 量解释变量的情形下，主要用于方 差分析。二、乘法类型基本思想：以乘法方式引入虚拟变量时，是在所设 立的模型中，将虚拟解释变量与其它解释变量的乘积 ，作为新的解释变量出现在模型中，以达到其调整设 定模型斜率系数的目的。或者将模型斜率系数表示为 虚拟变量的函数，以达到相

9、同的目的。乘法引入方式:（1）截距不变；（2）截距和斜率均发生变化；分析手段：仍然是条件期望。以上只考虑定性变量影响截距，未考虑影响斜率， 即回归系数的变化。当需要考虑时，可建立如下模型 ：yt = 0 + 1 xt + 2 D + 3 xt D + ut ,其中xt为定量变量；D为定性变量。当D = 0 或1时 ，上述模型可表达为，(0 + 2 ) + (1 + 3)xt + ut , (D = 1) yt = 0 + 1 xt + ut , (D = 0) 通过检验 3是否为零，可判断模型斜率是否发生变化。情形1（不同类别数据的截距和斜率不同） 情形2（不同类别数据的截距和斜率不同）例:用

10、虚拟变量区别不同历史时期（file:dummy2） 中国进出口贸易总额数据（1950-1984）见下表。试检验改革前后 该时间序列的斜率是否发生变化。定义虚拟变量D如下0 （1950 - 1977）D = 1 （1978 - 1984）以时间time为解释变量，进出口贸易总额用trade表示，估计结果如 下： trade = 0.37 + 0.066 time - 33.96D + 1.20 time D(1.86) (5.53) (-10.98) (12.42)0.37 + 0.066 time (D = 0, 1950 - 1977)= - 33.59 + 1.27 time (D = 1

11、, 1978 - 1984) 上式说明，改革前后无论截距和斜率都发生了变化。进出口贸易总 额的年平均增长量扩大了18倍。三、虚拟解释变量综合应用 （1）结构变化分析 结构变化的实质是检验所设定的模型在样本期内是否为同 一模型。显然，平行回归、共点回归、不同的回归三 个模型均不是同一模型。平行回归模型的假定是斜率保持不变（加法类型，包括 方差分析）；共点回归模型的假定是截距保持不变（乘法类型，又被 称为协方差分析）；不同的回归的模型的假定是截距、斜率均为变动的（加 法、乘法类型的组合）。 例：比较改革开放前、后我国居民（平均）“储蓄收入”总量关系是否发生了变化？模型的设定形式为 ： 回归方程：显

12、然，只要 、 不同时为零，上述模型就能刻画改革开放前后 我国居民储蓄收入模型结构是否发生变化。（2）交互效应分析交互作用 一个解释变量的边际效应有时可能要依赖于另一个 解释变量。为此，Klein和Morgen(1951)提出了有关 收入和财产在决定消费模式上相互作用的假设。他们 认为消费的边际倾向不仅依赖于收入，而且也依赖于 财产的多少 较富有的人可能会有不同的消费倾向 。由于YZ捕获了收入和财产之间的相互作用而被称为交互作用 项。 显然，刻画交互作用的方法，在变量为数量(定量)变量时， 是以乘法方式引入虚拟变量的。例: 是否发展油菜籽生产与是否发展养蜂生产的差异对农副产品总 收益的影响研究。

13、模型设定为:（1）式中, 以加法形式引入虚拟变量暗含何假设? （1）式以加法形式引入，暗含的假设为：菜籽生产和 养蜂生产是分别独立地影响农副品生产总收益。但 是，在发展油菜籽生产时，同时也发展养蜂生产， 所取得的农副产品生产总收益，可能会高于不发展 养蜂生产的情况。即在是否发展油菜籽生产与养蜂 生产的虚拟变量 和 间，很可能存在着一定的交 互作用，且这种交互影响对被解释变量农副产品生 产收益会有影响。问题：如何刻画同时发展油菜籽生产和养蜂生产的交 互作用？基本思想:在模型中引入相关的两个变量的乘积。区别之处在于，上页定义中的交互效应是针对数量变 量，而现在是定性变量，又应当如何处理?（3）分段回归分析 作用: 提高模型的描述精度。 虚拟变量也可以用来代表数量因素的不同阶段。分段线性 回归就是类似情形中常见的一种。 一个例子: 研究不同时段我国居民的消费行为。实际数据 表明，1979年以前，我国居民的消费支出 呈缓慢上 升的趋势；从1979年开始，居民消费支出为快速上升 趋势。 如何刻画我国居民在不同时段的消费行为？ 基本思路：采用乘法方式引入虚拟变量的手段。显然， 1979年是一个转折点，可考虑在这个转折点作为虚拟 变量设定的依据。若设X* 1979，当 tX* 时可引 入虚拟变量。（为什么选择1979作为转折点？） 依据上述思路，有如下描述我国居民在不同时段消费行为 模型：