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1、第三讲柯西不等式与 排序不等式一 二维形式的 柯西不等式若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.定理1（二维形式的柯西不等式）:你能证明吗 ？推论向量形式：设,是两个向量,则 当且仅当是零向量,或存在实数k, 使=k时,等号成立.定理2: （柯西不等式的向量形式）xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xy P1(x1,y1)P2(x2,y2)0根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:观察定理（二维形式的三角不等式）设 ，那么例题例1.已知a,b为实数,证明：(a4+b4) (a2+b2) (a3+b3)2例3.设a,bR+,
2、a+b=1,求证练习：作业第37页,第1,5,6题二 一般形式的 柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2二维形式的柯西不等式）:三维形式的柯西不等式） :n维形式的柯西不等式）:定理 设是实数，则当且仅当 (i=1,2,n) 或 存在一个 数k使得 (i=1,2,n) 时等号成立。以上不等式称为一般形式的柯西不等式。一般形式的三角不等式例1 已知都是实数，求证：例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：ab+bc+cd+da.例3 已知x+2y+3z=1,求 的最小值。例4：设a、b、c为正数且各不相等。 求证： 又a、b、c各不相等，故等号不能成立 原不等式成立。例5
3、若abc 求证： 例6：若求证：分析：左端变形只需证此式 即可三 排序不等式反序和乱序和顺序和例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,10)个人的水桶需要 ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？解：总时间(分）是10t1+9t2+2t9+t10 根据排序不等式，当t1t2t9t10时，总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是:10t1+9t2+2t9+t10例2 设a1,a2,an是n个互不相等的正整数，求证：证明：设b1,b2,bn是a1,a2,an的一个排列，且有 b1b2bn 因为b1,b2,bn是互不相等的正整数， 所以b11,b22,bnn.又因由排序不等式，得：练习练习练习练习
