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1、2.2.42.2.4波函数和量子态波函数和量子态 波函数的规一化波函数的规一化 ( ( r, tr, t) ) 2 2d d ：表示粒子在t t时刻，在d d 中出现的慨率； ( ( r, tr, t) ) 2 2： 概率密度；一般地， ，( r, t) c ( r, t) , （c为复常数） ( ( r, tr, t) ) = = ，( ( r, tr, t) ) / / c c ：规一化波函数规一化波函数 的不同表示方式称为量子态的不同表象表象。常用: 2 2波函数的完备性波函数的完备性 2.2.42.2.4波函数和量子态波函数和量子态 指粒子的波函数 ( ( r, tr, t) )一经确
2、定，其相应的物理量 q, p, q, p, E, L E, L，等的分布分布就完全确定；3 3量子态的表象量子态的表象 p(动量动量)表象，= = ( (r r); ); 在在 q表象下，写为：= = ( (p p); ); 在在 p表象下，写为：q(坐标坐标)表象，换言之，粒子的状态状态就完全确定。故：波函数态函数波函数态函数波函数表示的状态量子态波函数表示的状态量子态, 用狄拉克符号 表示。类似矢量 A A，可以在直角坐标系（x, y, z）,也可以在球坐标系（,r）, 柱坐标系（,r,z）表示一样，某一物理量具有确定数值（准确数值）的量子态，就是此物理量的本征态本征态； L(动量动量)表
3、象，= = ( (E E); ); 在在 E表象下，写为：= = ( (L L). ). 在在 L表象下，写为：E(坐标坐标)表象，4 4本征态，本征函数，本征值本征态，本征函数，本征值 例如例如：动量 p p 确定确定的量子态 是 p p 的本征态本征态；此本征态在此物理量的表象中的波函数，就是此物理 量的本征函数本征函数；此物理量的值就是此本征态的本征值本征值。是动量p p的本征函数本征函数；= = ( ( p p) ) 0p p就是此 的本征值本征值。举举 例例举例举例1 1：能量能量 E E 确定确定 的量子态 是 ? ? 的 ? ? ；= = ( ( ? ? ) ) 是 ? ? 的？
4、；E E 就是此 的？。= = ( ( p p) ) 0举例2 ：动量 p p 的本征函数本征函数：? ? ( ( p p，r r ), ),? ? ( ( p p，t t ) )? ? ( ( p p，E E ) )，? ? ( ( E E，t t ) )? ? ( ( E E，r r ), ),? ? ( ( E E，r r，p p， t t) ) ，如果： 1 1 是微观粒子的一个量子态量子态， 2 2 是此微观粒子的另一个量子态量子态；2.2.52.2.5 态叠加原理态叠加原理-量子力学基本原理之三量子力学基本原理之三则： c c 1 1 1 1 c c 2 2 2 2 也是此微观粒子
5、的量子态量子态 (c c 1 1, c c 2 2为常数) 。则： ( ( r r) = ) = c c1 1 1 1( ( r r1 1) ) c c2 2 2 2( ( r r2 2) )也是此微观粒子 的波函数波函数 。在坐标表象中： 如果： 1 1( ( r r1 1) )是微观粒子的一个波函数波函数， 2 2( ( r r2 2) )是此微观粒子的另一个波函数波函数；则： = 1 1 ( (r r1 1) ) + 2 2 ( (r r2 2) ) 也是电子在光屏0位的一个波函数。态叠加原理的举例说明：态叠加原理的举例说明：- 电子的双缝干涉实验 电子电子可能通过缝缝1 1到达光屏 的
6、0位。设通过缝1到达光屏0 位的电子波函数电子波函数是 1 1 ( (r r1 1) )； 电子电子也可能通过缝缝2 2到达光 屏的0位。设通过缝2到达光屏 0位的电子波函数电子波函数是 2 2 ( (r r2 2) )； 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 22 2 1 1 2 2 是电子出现在0点 的慨率密度慨率密度。交叉项交叉项的存在使大量电子在屏上出现有干涉条纹干涉条纹。 德拜（德拜（P. J. W. DebyeP. J. W. Debye，德国人，德国人，薛定谔的导师薛定谔的导师）的考虑）的考虑：电磁波 -满足Maxwell方程；平面光波-满足Helmhetz方程；.
7、2.32.3薛定谔方程薛定谔方程 （E. SchrdingerE. Schrdinger，奥地利人，奥地利人，19251925年度诺贝尔物理奖得主年度诺贝尔物理奖得主）“有了波，应该有一个波动方程有了波，应该有一个波动方程”, ,物质波满足什么样的波动方程？物质波满足什么样的波动方程？2.3.12.3.1 薛定谔方程薛定谔方程 -“量子力学中的牛顿定律” 1 1含时薛定谔方程含时薛定谔方程（量子力学基本原理之四）V(r, t)：粒子的势能；2 ：Laplace 算符(2-1)(2-1): ( r, t) 随时间演变的规律。 ( r, t) (r) f（t）(分离变量) （2-2）定态薛定谔方程
8、定态薛定谔方程如果: V(r, t) V(r) (不含时) (2- 1)左边：左边：, 除于 (r) f（t）得：右边：右边：, 除于 (r) f（t）得：“左边左边 右边右边” 要求 ：（t 的函数） （r 的函数） C （2-3） C （2-4） C 积分后得： （2-4）f（t）比较动量为 p 的粒子的波函数：知道：C E (粒子的能量)，所以： f（t）（2-5） C 整理后得： （2-6）定态薛定谔方程定态薛定谔方程 定态薛定谔方程的求解，是量子力学的主要工作之一。定态条件下，（2-7）(r,t)= (r)=(r)2.3.22.3.2 1D1D无限深势阱中的粒子无限深势阱中的粒子-定
9、态薛定谔方程的应用实例之一定态薛定谔方程的应用实例之一(1) E E？(2) ( (x x) ) ?I：= E (x)，II, III： (x) = 0 。 问题：问题：求解步骤求解步骤1 1：写出方程；：写出方程；WhyWhy？ （统计解释！） 求解步骤求解步骤2 2：写出边界条件：写出边界条件, , 求解方程；求解方程；（1） (x=0) = 0；（2） (x=L) = 0 WhyWhy？由 I ：= E (x)，得： ( E= ）其中： k2 解得： (x)A sin(kx +)A sin（）0 0（A 0，WhyWhy？）由边界条件： (0) = 0(0) = 0，得： (x)A sin(kx)由边界条件： ( (L L) = 0) = 0， 得：kLn (n = 1,2,3,，n 0，WhyWhy？) 归一化波函数 ：（2-8）（2-9）1, 3D无限深势阱中的粒子，E= ?, (x, y, z) = ?势阱中内：V(r)0 ； V(r) = V (x,y,z) = V (x) +V (y) +V (z) 势阱外： V(r) 提示：设， (x, y, z) (x) (y) (z) ，用分离变数法求解定态薛定谔方程。作业 P65: 2.1, 2.2, 2.3
