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1、O nt h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o nz 2 + p 2 尼= 秒nb yZ h o n g w e iS h a n gD i r e c t e db yP r o f e s s o rH o u r o n gQ i nM a t h e m a t i c sD e p a r t m e n tN a n j i n gU n i v e r s i t yM a y2 0 11S u b m i t t e di np a r t i a l f u l f i l m e n to f t h er e q u i r e m
2、e n t s如rt h ed e g r e eo f m a s t e ri nA p p l i e dM a t h e m a t i c s目录中文摘要i i英文摘要i i i第一章引论11 1问题的引入11 2 结果2第二章预备知识42 1 二元二次型42 2L u c a s 序列62 3 方程z 2 一D y 2 = M 11第三章结论的证明1 4第四章结论2 9参考文献3 1致谢3 4附录3 5毕业论文题目：苤垂叠璺壅堡兰! 型竺三型：麈屡熬堂专业2 Q Q 墨级硕士生姓名：堂皇堡指导教师( 姓名、职称) ：盎壁苤塾撞摘要设y ( x ) 是整系数上m ( 2 ) 次不可
3、约多项式，n 是大于等于2 的整数。根据S i e g e l 等人的一些工作，如果( m ，n ) ( 2 ，2 ) ，我们知道丢番图方程f ( x ) = Y ”，z ，可都是整数，只有有限个整数解。而现在研究的最多是上述方程的一种特殊情形，即a x 2 + b x + C = d y ”，茁，可，n 都是整数且茁，Y ，T t 3 ，其中n ，b ，C ，d 都是给定的整数。如果a = d = 1 ，不定方程化简为z 2 + C = Y ”，z ，可，礼都是整数且z ，可，T t 之3如果C 0 的情形。对于论文题目里给出的丢番图方程，若X ，Y ，n ，k 是有理整数，z 0 ，Y 1
4、 ，扎 3 ，k 0 ，( X ，Y ) = 1 ，且佗和P 均为素数。若C 取为素数幂次，此类不定方程正是方程X 2 + C = Y n 的一种特例。在前面的限制下，本文讨论了1 0 1 P 0 I nt h i st h e s i s ，w ea s s u m e1 0 1 P 0 ，Y 1 ，仡3p r i m e ，k 0a n d( z ，Y ) = 1 U n d e rt h ep r e v i o u sa s s u m p t i o n s ，w eg i v ec o m p l e t es o l u t i o n so fm o s te q u a t
5、i o n si nt h ef o r m ( 1 ) ，a sPr u n so v e ra l lp r i m e sb e t w e e n1 0 0t o1 0 0 0 N o t et h a tt h ee q u a t i o n ( 1 ) i sas p e c i a lc a s eo ft h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o nX 2 + C = Y ”，w h e r eCi sp r i m ep o w e r K e y w o r d s ：E x p o n e n t i a ld i o p h a n
6、t i n ee q u a t i o n s ；L u c a sn u m b e r s ；P r i m i t i v ed i v i s o r s ；B i n a r yq u a d r a t i cf o r m 1 1 1第一章引论第一章引论1 1 问题的引入不定方程就是指未知数的个数多于方程的个数的方程( 或方程组) 。数论中的不定方程，通常对解的范围有一定的限制，比如解限制在有理数、有理整数等范围内。此类带限制的不定方程在公元三世纪初古希腊数学家丢番图就研究过，后人以示区别，就称数论中的不定方程为丢番图方程( D i o p h a n t i n ee q u
7、 a t i o n s ) 现今丢番图方程已成为数论的一个分支。关于指数丢番图方程z 2 + C = Y ”，X 1 ，y 1 ，n 3( 1 1 )的文献，非常丰富。其中最早的应该是F e r m a t 的一个断言，他指出当C = 2 ，n ：3 时方程仅有解( z ，Y ) = ( 5 ，3 ) ，后来E u l e r 发表了一个此断言的证明 1 9 1 8 5 0 年 VA L e b e s g u e 【3 6 】正式考虑了方程( 1 1 ) ，证明当C = 1 时，方程无解。C = 3 ，5时N a g e l l 【3 2 】证明了方程也没有解，但他没有完成C = 2 的证
8、明。L j u n g g r e n 3 7 推广F e r m a t 的结果，证明C = 2 时方程无解除非z = 5 后来N a g e l l 3 l 】指出C = 4 时仅有解( z ，Y ) = ( 2 ，2 ) ，( 1 1 ，5 ) 1 9 6 5 年C h a oK o 1 8 】证明了上述方程在C = - 1 下只有解( z ，Y ) = ( 3 ，2 ) 可以看出，方程( 1 1 ) 是丢番图方程n 可2 + 叻+ c = d x n 的特列，其中a 0 ，b 2 4 a c 0 ，d 0 由 3 3 5 】可知，当n 3 时方程a 可2 + 叻+ c = d x n只
9、有有限个整数解。因此，对任给的C ，题目中的方程只有有限个解，并且理论上是可计算的，即可以明确算出一个界K ( C ) ，所有解X 的值都小于K 。但对于 实际上的操作，意义不是很大，因为K 的值非常巨大。C o h n 总结前人的工作，于9 3 年在文章 1 6 】中取得了许多进展。他给出了1 到1 0 0 内7 7 个正整数C 对应的方程( 1 1 ) 的所有的解，剩下2 3 个没有完成。后来，M i g n o t t e 和d eW e g e r 2 4 证明了C = 7 4 和C = 8 6 的情形。B e n n e t t 和S k i n n e r 2 1 使用G a l
10、o i s 表示论和模形式处理了C = 5 5 和C = 9 5 经过更进一步努力，B u g e a u d 、M i g n o t t e 和S i k s e k 3 9 给出了剩下1 9 个的所有的解。S = 【p ，m _ 是8 个不同素数组成的集合，S 表示取自集合S 中的一些素数作乘积而成的非零整数集，令P = m a x p 1 ) P s ) ，Q = 兀羔。P t 近来，激 起多数人兴趣的并非是C 为已给定的常数，而是C S 的情形，比如在特定条第一章引论件下A r i f 和M u r i e f a h 2 6 解决了z 2 + 2 2 = Y ”L e 2 3 】证
11、实了J H EC o h n 1 7 的一个猜想：当七 2 且z 为奇数时，方程X 2 + 2 “= 圹无解。对于方程z 2 + 3 ”= Y “，A r i f 和M u r i e f a h 2 9 】解决了仇为奇数的情形，L u c a【7 】解决了m 为偶数的情形，而L i q u n 3 3 】独自完全解决了此方程。对于方程X 2 + 5 m = Y ”，A r i f 和M u r i e f a h 3 0 】合力解决了m 为奇数的情形，M u r i e f a h 11 解决了m 为偶数的情形。有意思的是，L i q u n 3 4 】又独自完全解决了它。若q 为奇素数，g
12、 7 ( ( r o o d8 ) ) ，n 5 且与6 危互素( 允是二次域Q ( 同的类数) ，A r i f和M u r i e f a h 2 7 】给出了方程z 2 + q 2 k + 1 = Y ”的所有解。方程z 2 + 7 2 七= Y “由L u c a 和T o g b e 在 6 】中解决。在B 6 r c z e s 和P i n k 1 】的文章里，考论了方程( 1 1 ) 中C = p 2 0 的类型，其中2 p 1 0 0 的素数，( z ，Y ) = 1 且n 3 更为复杂的情形是考虑当C 中的素因子不止一个，例如方程( 1 1 ) 中，若再加上条件( z ，Y
13、 ) = 1 ，当C 形如2 0 3 6 ，5 口1 3 6 ，2 a 5 b 1 3 c ，2 0 1 1 5 ，2 0 3 b l l c 时，对应的文章 8 】， 1 0 ， 2 】， 1 2 ， 1 3 】中给出方程( 1 1 ) 的所有的解。同样附加( z ，Y ) = 1 ，L u c a 和T o g b e 【5 完成了当9 2 3 ，4 ，5 ，6 ，8 ) 时对丢番图方程( 1 1 ) 的求解。在 1 4 】中，给出了C = 2 n 3 口5 “ r 7 6 时方程( 1 1 ) 的所谓的非例外解( n o n e x c e p t i o n a ls o l u t
14、i o n s ) ，并且指出要找出所有的例外解( e x c e p t i o n a ls o l u t i o n s ) 是非常艰难的。1 2 结果对于方程( 1 1 ) ，让C = P 妣，P 是素数，则得到如下方程：z 2 + P 驰= Y ”z ，Y ，9 2 ，尼均为未知整数且满足条件：( 1 2 )z 1 ，y 1 ，n 3 且是素数，七0 ，( z ，Y ) = 1 ( 1 3 )当2 P 0 ，I 厂( z ，Y ) 是不定二次型。d = 0 时是半定二次型，但不是定二次型。d 0 时是正定二次型，否则为负定二次型。定义2 2 称有理整数环上2 阶矩阵群s L 。c
15、z ，= M = ( ：芝) Im 巧z ，i = 1 ，2 歹= ，2 且。e t c M ，= ，)为模群( m o d u l a rg r o u p ) 。二次型f ( x ，Y ) = a x 2 + b x y + c y 2 和g ( x ，Y ) = A x 2 +B x y + C y 2 等价，是指存在M = ( m t j ) 2 2 S L 2 ( Z ) ，使9 ( 。，Y ) = ( r o l l x +m 2 1 Y ，m 1 2 x + m 2 2 Y ) 二次型的等价的确是一种等价关系，易知相互等价的二次型有相同的判别式，但反之则不然。于是，所有判别式为d 的二次型按上述等价关系划分为不同的等价类。若二次型( x ，Y ) = a x 2 + b
