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1、一。55年6月福建师 范大学 学报自 然科学版忿期各向同性谐振子的动力学对称性及其偶然简并曾民勇(物理系)摘要本文从经典分析入手,详细论述各向 同性谐振子 的动力学时称性及其偶然碗并.根据怅量理 论找到一个二 阶对称张量T及相应 的四极拒Q,然后引进一个包含轨 道角动量L在 内的新的角动量J,用 它们表征 谐振子的动力学对称性并求出谐振子 的能级及其简并度,这种方决与严格 求解捧定译方程 或群论方法 相 比,较为简便,且物理图像直夕地、明确.一、引言自然界中许多物理体系往往具有某种对称性,已可能导致体系 某些物理 量守恒,也可能导致体系物理量之问存在 某种关系.例如,在中心力场中运动的物 体,
2、由 于势场“(丫)与0、中无关,空 间各向同性,具有转功对称性,它导致物体角动 量L守恒,二0,它还 导致物体角动量艺的方向与动量下、坐标不的方向存在相 互垂直的关系,即乙.歹二。,范.不二。,由此可 以断 定物体的运动轨迹始终保持 在同一平面内,该平面的法线方向就是角动量乙的方向.在量子力学中,对称性的研究大大丰富 与加深对物理体系的认识,在不少J清况下甚至可以不必 通过严格求解薛定谬方程就可以t毖到某些 重要的结沦.仍以,1,心力场为例,场中运动粒子 的哈密顿量为:军2+“(丫)“命一 补2品扒“,(1)扮邹 一一一H式中P丫=一i ha+;一)由于体系具有转动对你性,故仁动、二o,仁:L
3、 ,“卜。,Z、广、产、一产、沪、办、z 垦H不 显含时间,因此H、“、“都是守亘量,礁们叹以卿H、“2与“:(或乡一或乙,)作为体系力学量 的完全集合.与此同时,由于L、岛、彼此不对易,我们可以由此得出,:粒 子的能级一般来说是简并的(角动量为零的态除外).在 给定忍的情浑下,简并度为了二2卜1.福建师 范 大学学 报自 然 科学版主户5 5年6月上述中心力场所具有的转动对称性属于几何对称性川,这 类对称性与休系在空 间或时间的平移、转动、反演等变换有关,它往往可以用某些物理量 的守.恒来表征.木文要讨论的是另一类对你性,它涉及以竹的具体形式,与物理体系 的动力学规律有关,故称为动力学对称性
4、,由这种对称性产生的能级简并也称为“偶 然简并”.一般情况下,这种对称性往往难于用某个物理量的守恒来表征,大多采用群论的方法来表示,较为抽象.本文讨论各向同性(下略)谐振子的动力学对称性及其偶然简并,试图不采用群论的方法,而是从经典谐振子的动力学方程入手,通过张量理论找到一个新的守恒t即二阶对称张量T或相应的四极矩O,用它们表征谐振子 的动力学对称性,然 后进行最子力学处理,能级及其简并度.图像直观、明确.引进一个包含角动 量L在内的 新的角动 量J,用 它直接求出谐振 子的七述方法与严格求解薛定愕方程或群论方法相比,较为简便,且物理二、经典谐振子的运动先讨论二维的情况,取谐振子运动所处的平面
5、为xoy平面,两二林y式中。2=k协一k x,一勺,牙=一。2戈,歹二一。知,x=a、cos(。r+0、)y=a,c os(。t+0,)其动力学方程 及其解为(2)(3)一,.由此可求得E= =命p,+p,+夸X:+,普“,+“二(4)L二L:k= =(xP,一yP:)充= =训吞元aa,sin(0、一e,)蓄显然,谐振子能量E和角动量L均与时间转动对称性所导致的必然结果.由(2)和(3 )式消去参最才可得_竺一一一+-一里-t无关,均为完恒量,这正是一 般中(5)心力场(6) a愁sin,(0、一e,)心sinZ(e:一o,)Zxyeo s(0、一0,)a:a,sinz(0、一0,)这就是谐
6、振子的运动轨迹方程二根据二次方程曲线的判据可以判 断:在。、子e,时,其轨迹为椭圆,力心就在椭圆的中心即坐标原点0上,在氏二e,时,其轨迹为过原点的 直 线,它相应于椭圆短轴为零的特殊情况.若 将坐标轴转动丫角,并满足:一。.,_Za:a,c os(0、一0,)O石一 O二就可使x轴与椭圆长轴相重合,如图( 1 )所示.前面已经指出过,在一般中心力场“() Y中,根据其转动对称性可以断定粒子的运动始终 保持奋同一平两内,但是我们不能由此断定其运动执图( 1 )二维经典谐振子的运动软迹.力心在坐标原点0上.2明各向同性i皆振 子的动力学对称性及 其偶然简汁迹是何种曲线,是否闭合;而在。(丫,一鲁
7、YZ这种 特殊的中心力场中,粒子即谐振 子,的运动轨迹 是闭合 的椭圆曲线,因此我们可以说这条曲线充分反映了谐振子场 的特性及其特有的运动规律.根据(2)、( 3)和(6 )式,我们可以用积分常数亦即初始条件a、,0、,丙,0,确定这 条 曲线.通常还有另一种方法,即 根据体系的对称性用 某些力学量 的守恒量加以确定.由( 4)、( 5)和( 7)式可以看 到,仅用能量E和角动量L这两个守!亘量还不足于完全确定这条曲线,必须进一 步考虑 方向角丫以确定椭圆长 轴的取 向,但Y或g ty Z都不能作为力学量 的守恒量,因此 必须寻找第三个守恒量,它将充分反映谐振子特有的 动力学规律,可用来表征谐
8、 振子 的动力学对称性.我们知道,能量E这个守恒量 是个标量 即零阶张量,角动蓟这个守恒量是个矢量即一阶张 量,从广义 上说,第三个守恒量将是一个二阶张量.由图(l )也可 清楚地看到,由于力心 是在椭圆的中心 即坐标原点。上,沿长轴的两个方向O尸与OP 是对 称的,同样地 沿 短轴的两个方向00与OQ 也是对称的,因此要用一个二阶对称张量来表征.根据张量理论“),任一非零二阶对称张量都唯一地对应了由下面方程所确定 的二阶 曲面(在二 维情况下是二次方程曲线):艺T.,Xx,=士1,(艺,j=x,夕,z),(s)忿,产右边 的 符号与行列 式d et!T,1的符号一 致.为此我们利 用( 4
9、)、( 5)式把(6 )式改写为吵.。二、2+一些。:,2一业Za、。,c o s(o、一oy)却= =1.(9)L乙L乏L里比较上面 两 式可得 式、二一 些。二,T;,二些。:,斌,=T;,=一卫仁。、。,。 :(。、一氏).L三L里L套L毖 这 些分量均为无量 纲 的量,可 乘于丽进行量纲变换,并利用( 2 )、( 5 )式写为、 、./、., 扩少T、二Ty,忿省一卜一 未= y z“一味。含充,月 十命冷全一= x z“-含“、“05”、一0(1 0)(11)T、y=Ty、=统一表 述形式为二一(护+ y P知! (12),、 、.廿月/,苦XJ百X丸9T,一E“Z一(一命pp,+,
10、夕二x,y).(1 3)显然,充T,均 与时 间t无关,因 此 这个二阶对称 张量T是个守 恒量,且爪,二乙:二一丁Qa,轴的取I句,(0、一0,(试一心)g ty Z,因 此T可取代方向角丫用于确定椭圆长kJ邓一一一这说明T正 是我们所要 寻找 的第三个守恒量,可用来表征 谐振 子的 动力学对不尔性.值得指出,山( l)、(5)和(10)(12 )式可以导出这 三个守恒量E、L和T之 问有 如下关系福建师 范 大 学学报自 然科学版1985年GJ告(:一。门+【T二+誉L二【合T二 +T二,=合E (14)此式对后面进行量子力学处理很有意义.把上述分析推广到三维的情况,从力学方程的解消去参量
11、t可导出椭球面方程,(a二+a士)x,+(a三+a资)yZ+(a卜a二):,一Za.a,eo s(o、一0,)x夕一Za,a孟c os(8,一G:)yz一Za:axeos(0:一8、)x z=a士a二sinZ(0、一e,)+a二a毖sin,(0,一0:)+a三a笠sin,(0:一0).(一5)力心就在椭球面中心 即坐标原点O上.此时谐振 子 运动所处的平而 不再是x oy平面,而是通过力心并与角动量L相垂 直 的平而,即义L、+yL,+zL:=0.(16)谐振子的运动轨迹 就是(16 )式平面与(15 )式椭球面相 交而成的 闭合曲线,仍是一条椭圆曲线,可用E、L和T这三个守恒量 表述:(p卜
12、P二+p,)+粤xZ+,2+:2=夸“卜“二+。:(17)L二L、东+L,夕+L:k=了“ka,a:sin(0,一0:)+Q、a,Sin(0、一0,)k+a:a、5in(0:一0、(18)一。/1,“二乙”,一一2“t 扩无_+丁xx(i,了=x,y,z).(19). ,、.J夕在三维 的情况下,我们可以建立张量 与球谐函数之 间的对应关系),_。,1,。*、.无_。,。、 J,y+乙上翅y一J离 、万一厂一!2一:么气U尸一甲P少+下二丫一12一土2气口丫一甲丫少一气乙 U少 乙协一T :T,、少一P:丫2,*:(o,中。之件YZ,;(0,小丫(21),.,。1。,才 十”一乙“丽犷一了”,
13、。二、k。,。* 叹U尸,甲尸少+二二丫YZ,。气Ur一甲r少 乙(22)由此可得到一个与二阶对称张量T相应的四极矩O,其分量为帅。,而rIn,、,。、,k.,、,。、飞,一_。一,二。、V脚 一d二呢 万一12,”、UP,平P户宁勺只丫一JZ,仍、u丫,甲丫户r,、川一Us头1,“I。气J产 I舀七乙协石J也可以把它作为第三个力学量守恒量,用来表征谐振 子的 动力学对称性.三、量子力学谐振子的动力学对称性及其偶然简并先讨论二维 的情况,谐 振子 的哈密顿量为厂、 H二二(P 2林-)十粤(二2十,)=/、 H、(2 4)按前面所述,谐 振子体系的守恒量除了H、/ 征谐振 子的 动力 学 对称
14、性.T的各个分量为之外,还有二阶对称张量广、 T,它表尸及一L2期各向同性浩振子的劝力学对称性及谈偶然简井.口八、T/ 、 =H6i一(f,了二x,y).(25)、 矛了XX耘一2十几(凡显然【六,们二。.由此式和(14)式可 以看到,去(乳一乞)和告乳都具有角动量的量纲,它们与12L沼之间满足角动量的对易关系式,即六(乳一凡),告乳l二i h(告动,l会 1xy告司=呵一六 价一凡)!1介l/会会L言“:,一元气x T一T,广、因此可以引进一个新的角动量J)=h(去乳,).肠1一2八J ,勺. .rL-+t下=!去 (乳一凡)了+ 合凡1了+()蓄,26,P.4 8 5.4 美李政道,物 理
15、学中的数学方法,江 苏科学技术出版社,19 8。年,P.ZI,P.5J.P,El liott,Proe.Roy.Soe.(Lo ndon),A245(1958),P.13 3.OntheDyn amieSymmetryandAe eidentalDegeneraeyofIsotr opieHa rmonieOseillatorZengMin一yong(Dea Prr川e玲tofPhysies)AbstraetInthisPaPe r,tobeginw iththeela s sie alanalysis,thedynam iesym metrya eeide ntal dege ne raey
16、ofis otroPieharmo nieoseillato ra r ed ise us s edindetail.Ac e o rdingtothetens o rtheory,wefindas e e o nd degr e etensorTa ndtheeo rr esPo nd ingqu adr upoleQatfirsr,a ndthenintrodu eeanewangularmome ntumJ,in eludingtheo rbitalangularmomentumL.WeexPr e ssthedynamiesym metryofisotroPicharmonieoseil latorbymean softhem,ThePr o
