《一类分布之大分位数及尾端点的估计和双脚标随机序列密度函数的收敛》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一类分布之大分位数及尾端点的估计和双脚标随机序列密度函数的收敛（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、西南师范大学硕士学位论文一类分布之大分位数及尾端点的估计和双脚标随机序列密度函 数的收敛姓名：颜颖申请学位级别：硕士专业：概率论与数理统计指导教师：彭作祥2003.1.1一类分布之大分位数及尾端点的估计和 双脚标随机序列密度函数的收敛学科专业：概率论与数理统计研究方向：概率论 指导教师：彭作祥教授研究生：颜颖( 2 0 0 0 2 0 0 )中文摘要本文对极值理论的两个问题进行了探讨：。一、大分位数与尾端点的渐近性质 设 置) 是来自未知分布F ( z ) 的i i d 的随机序列记M 譬为x 的第个顺 序统计量，如果存在常数列 0 ，k ，使得规P 钍usa n X + 6 n ) = 日
2、)z R( o ，1 )对某非退化的分布函数H ( x ) 成立，那么H ( x ) 必为H ( x ) = 日j ) 圭e x p ( 一( 1 + 7 z ) 一i ) 1 + “ I x 07 R我们称马( z ) 为极值分布，7 为极值指数如果( o 1 ) 成立，则称分布函数F ( x ) 属于吸 引场日( z ) ，记为F D ( 日) ， 皿“一本文通过限制正规变化函数的收敛速度，给出了F ( z ) 的大分位数估计量；当7 0 ，b n ，s u c ht h a t。l _ i m o 。P 峨1 n n z + 6 n ) = H ( z )$ Rf o rs o m en
3、 o n - d e g e n e r a t e dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n 日( z ) ，t h e nH ( x ) m u s tb et h ef o l l o w i n gt y p e ：日( z ) = 日1 ( z ) 圭e x p ( 一( 1 + 7 x ) 一亍1 ) l + ，y z 0 ，y R皿( z ) i ss a i da se x e t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ，a n d7i se x e t r e m ev a l u ei n d
4、e x F ( x ) i ss a i di nt h ed o m a i no fa t r r a c t i o no fH T ( z ) ，d e n o t e da sF D ( 日) I nt h i sp a p e r ，t h el a r g eq u a n t i l eo fF ( x ) i se s t i m a t e db yc o n t r o l i n gt h ec o n v e r g e n c er a t eo fr e g u l a r l yv a r i n gf u n c t i o n ；A s1 0 ，b n ，使
5、得击P 哪! d n $ + 6 n ) = 日( 。)。R( 1 1 )对某非退化的分布函数日( 。) 成立，那么日( 。) 必为1 日( z ) = 日1 ( z ) 圭e x p ( 一( 1 + ，y 。) 一i ) 1 + 7 。 0 一y R我们称峨( z ) 为极值分布，7 为极值指数，如果( 1 1 ) 成立，则称分布函数F ( x ) 属于吸引场日( ) ，记为F D ( 日) 。对极值分布的吸引场中的分布的尾部估计( 大分位数的估计，尾端点的估计等) 是极值理论研究的重要课题之一，这方面的研究是以自然和人类社会中的极端现象作为背景的，如地震、洪水等自然灾害，大型设备的可靠性
6、以及某些经济现象等例如：在1 9 5 3 年的洪水后，荷兰政府对海堤的高度制定了如下标准：在一年的任何一个时间海平面超过海堤高度应为一小概率事件，其概率设定为1 1 0 0 0 0 ，这样就提出了一个问题：如何从过去海平面高度的观察值出发估计出海堤应达到的高度? 目的是既节约支出，又能防海水倒灌，这个问题就涉及到对未知分布的大分位数的估计设v ( o 0 ，b n R ，使得对某非退化的分布函数日( z ) ，有0 骢P 蛾u 6 n X + 6 n ) = 日( 叫z R( 2 1 )成立，那么H ( x ) 一定属于皿r ( z ) 类，其中皿( 。) = e x p ( 一( 14 -
7、7 z ) 一；) ，14 - ，y z 0 ，7 R 巩( 。) 称为极值分布，y 为极值指数，此时称F ( x ) 属于吸引场日( z ) ，记为F D ( 日) 对参数7 的估计已经有许多著者做过此方面的工作当7 0 时，H i l l ( 文献【l 】) 提出了一种有广泛应用价值的估计而对一般的，P i c k a n d s ( 文献【2 ) 提出了如下的估计“ I n2 壶l o g 未蔫暑嚣( 2 七)其中m = m ( n ) + ，m n _ 0 D e k k e r s 和D eH a a n ( 文献 6 】) 在假设F ( x ) 可导和其它一 些条件下，证明了具有渐
8、近正态性众所周知，正规变化函数的相关理论是研究和深刻理解极值问题的重要工具和方法，P a n ( 文献 8 ) 去掉了D e k k e r s 和D eH a a n ( 文献【6 ”所用的F ( x ) 可导这一较强的条件，仅 通过限制正规变化函数或”变化函数的收敛速度，在较为一般的条件下改进了D e k k e r s和D eH a a n ( 文献【6 】) 的结果设p ( O 0 时( 2 1 ) 成立，且存在正规变化函数P ( ) R “ ( o ) ( o 曼。 0 时f i m t - - , 。p ( 圳哿卅J 0 有洲I 黼叫 0 时 印) l 篙将鲁一- I - D (
9、)局部一致成立，其中U + ( t ) = tJ Py - 2 UC y ) d y 2 3 一类分布之大分位数的估计 假设P 。是一个非常小的概率，使得当n _ + o 。时，数，即。一。= u ( 去) 定理2 5 在引理2 3 的条件下，令h ( t ) = 2 t ( p C t ) ) 2 ，m 则当n _ 时P 。_ 0 唧。是P 。所对应的分位【n p 。】且n p n _ ，P 。h + 。( n ) _ 0 而杀马( 。，嘉)证明：令v ( t ) = v ( e ) ，V ( ) = U + ( e t ) ，矿( t ) = p ( e ) ，则( x 1 ，X 2 ，)
10、 = d ( y ( E 1 ) ，y ( 马) ，)并且( 州) _ ，y 啉帮卅2对z R 局部一致成立由于! 等铲- e 1 。对所有z R 局部一致成立，有，y ( E 。一。+ l ，n ) 一y ( 一l o g P n ) y + ( 一。+ l ，。) 一y + ( 一l o g P n )一f!：!垦二塑!二!墨二里!一v*(-logw)-v(-logv)，。V ( 1 0 9n m )V ( 1 0 9n m ) 塑号高产r=l ! 二! ! “其中，一! ：! 垦= 翌! ! 12 二! ! 墨= 里! ! 墨!、“一V ( 1 0 9 n m 、由引理2 3 ，有“y
11、+ ( 一l o g p 。) 一矿( 一l o g p 。) V ( 1 0 9n m ) V + ( j k 一。+ 1 ，。) 一V + ( 一l o g p n ) V ( 1 0 9 n m ) 低= 而( 矧_ 1 ) 荆 ：而( 矧_ 1 ) 雩若+ 1 0 7 9 矿n m ) = 而o p 而未而) 3 。8同样方法得并且因此由P a n ( 文献【8 】) ，有因此佩= 而D ( 赤) 马。、示6 n S l S等竽业牛三凳超氅马1(27)ly ( 酞一m + l ，n ) 一y + ( 一o g p n )一”7y ( j k 一。+ 1 。)y ( j k 一2 m +
12、 1 ，。)y + ( j k 一2 m + 1 。)p ( j 一。+ 1 。)( 2 8 )而东鲁等老纛皇 y V ( 蜀( E ，一n m - m + + l ，。l , ) n ) 一- y V ( 日( - 。一1 2 0 m g + p l n ) j一而器急等高鹄= 而塑号癔争型( 盥掣赤掣) 一 7 法咖。嗡群出d7 S 1 9 1定理得证定理2 6 假设7 0 时“m s “m - + p ( t )u ( o 。)u ( )u ( t x )u ( t )z 1 I 0 成立，则V 丽札X 。n 扎- m 。+ 一l , n 缸- - X 。p 而n 马( 叫硒1 ) 2
13、)其中m ，p 。和 ( t ) 与定理2 5 中相同，U ( t ) 与引理2 5 中相同证明：由U ( t ) ，V 4 ( t ) 的定义，我们有( V 4 ( t ) ) 7 = V + ( t ) 一v ( t ) ，因此，y ( 晶一m + l ，n ) 一y ( 一l o g p 。) y + ( 一m + 1 。) 一y + ( 一l o g p 。)= 【y + ( 日。一。+ l ，。) 一y ( E n - m + l ，。) 】 y + ( 一l o g P n ) 一v ( - l O g p n ) y + ( 日。一。+ 1 ，。) 一y + ( 一l o g p
14、 。) ) 一1( y + ( E ；一。+ 1 。) ) 一( y + ( 一l o g p 。) ) y + ( 最t r n + 1 。) 一V + ( 一l o g p 。) = t 书V 高( 1 0 9 铲一澍V ( 1 0 9 ，t 鹰警篱V ( 1 0 9”1。( +嚣) ) ( +景) ) 。，一l o g ! 挚( +蔫) ) 一 ：鱼其中由引理2 4 ，有因此矗=! ! ：! 墨= 竺! ! ! 121 ：一! ! ：! 二! ! g 旦! ! ! ( y + ( 1 0 9 n m ) ) ( V + ( 1 0 9 n m ) ) 应警丽(V“(109nm+t)出J
15、- 1 0 9 警( y + ( 1 0 9 n m ) ) 一而。= 唧( 1 ) 佩= 而 鹰警( 祭翥拶一，) c 嘉仙s 等) ) 马SP a n ( 文献【8 】) 得到故y ( 翰一m + 1 ，。) 一y ( 一l o g p 。)R ，y + ( 一。+ 1 。) 一y + ( 一l o g p 。) y ( z k r n + 1 ，n ) 一y ( 。E n 一2 m + 1 ，n )P ， V + ( E i 一。+ 1 。) 一V + ( E 。一2 。+ l ，。) 4V 俪。v 。一X 。n + - 1 m ，。+ 一l , n v - 。一J 2 ；P 赢n皇V , f ，鬲，。可V 瓦( E 二= n - m 五+ 了1 , n ) j - 砸V ( - l = o g p 而n )1 0结论得涯一x ，- m y V + ( * 最( E ：一n 。- m + l + ，。l , ) n ) 一- 矿V 。( * 骂( - ，一1 2 0 。g + p l n 。) i= 而c 鹰警嘴器拶酬鬻0 瓣吣。嘴拦秽出j 吖d 讵j 面82 4 一类分布之尾端点的估计下面我们考虑溺7 0 时“。雩茅畦了x # - 1( 2 1 1 )焉部一致戒藏文猷潮
