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1、 1 第 5 章作业参考解答 本章主要公式 梁平面纯弯曲时曲率与弯矩和弯曲刚度的关系： zEIM=r1梁横截面上任一点处正应力的计算公式： zIMy=s 正应力有最大值： zIMymaxmax=s 令 maxyIWz z= ， zWM=maxs 矩形截面上的切应力计算公式： bISFzz* =St 等截面梁的正应力强度条件为： max maxss=zWM等截面梁的切应力强度条件为： maxmaxS maxtt=*bISFzz梁的挠曲线的近似微分方程： zEIxMw)(-= 梁的刚度条件为： maxww 2 5-5 求梁指定截面a-a 上指定点D 处的正应力，及梁的最大拉应力t maxs 和最大
2、压应力c maxs。 解：1.求弯矩 支座反力： kNFA310= a-a 截面弯矩 kNmM67. 62310= 最大弯矩：kNmM34.13340max= 2.求形心轴 ()()()()MPaMPaIMMPaIMcmIcmhDzcztz0754. 01091.125 . 720107 .362521067. 6289. 61009.17107 .362521034.131091.123075. 41091.12107 .362521034.131091.127 .362521 .888305.248586.26204500091.1220154156491.1215302030201219
3、1.123 .423 7 .5465154130202015411530202 83max2 83 2max max2 83 2max max42242322=-=-=-=-=+=-+= - =- - - -sssppppA B z h 3 5-6 (2)图示梁的横截面，其上受绕水平中性轴转动的弯矩。若横截面上的最大正应力为40MPa，试问：工字形截面腹板和翼缘上，各承受总弯矩的百分之几? 解：设工字形截面腹板上最大正应力 1，其承受的弯矩 /21 10225d1041666.7/ 2hxx xhss=翼缘上最大正应力 2，其承受的弯矩 /22 2/22400d5015151.5/ 2hhxx
4、 xhdssd+=+2111 10s s=Q，故腹板上承受总弯矩的百分比为 10000111041666.710015.88111041666.75015151.510sss= +即翼缘上承受总弯矩的百分比为0084.12 5-7 一矩形截面悬臂梁，具有如下三种截面形式：(a)整体；(b)两块上、下叠合；(c)两块并排。试分别计算梁的最大正应力，并画出正应力沿截面高度的分布规律。 解：(a) 固定端弯矩最大 最大正应力位于该截面 ()24332 14212zlqlyMyqlyIaaas = 2max33 4ql as= (b)根据变形协调， 上下梁分别承担分布荷载，其集度均为 q/2 2433
5、22 1 12ZqllyMyqlyIaa as = 正应力分布规律 tscs正应力分布规律 tscscsts正应力分布规律 tscs2s1sh/2 d 4 2max33 2ql as= (c) 两块并排时 两块梁上作用的分布荷载集度均为 q/2 243322 14212 2ZqllyMyqlyaIaas = （ ）2max33 4ql as= 5-11 一槽形截面悬臂梁，长 6m，受 q=5kN/m 的均布荷载作用，求距固定端为 0.5m 处的截面上，距梁顶面 100mm 处 b-b 线上的切应力及 a-a 线上的切应力。 解： 根据切应力公式bISFzzS* =t，需确定横截面剪力、面积矩、
6、形心惯性矩 （1）剪力kNFS5 .275 . 55= （2）形心位置、形心惯性矩，如图 2 60 140 120280 50 2576.82mm2 60 140280 50z+=+32327412 (60 14060 140 (70(76.8250) )12 1280 50280 50 (76.8250/ 2)9.9 10 mm12ZI =+-+-=（3）b-b 处切应力 MPammmmmmkN bISFzzS bb77. 16010109 . 9)18.6310060(5 .274873* =-t （4）a-a 处切应力 由于 a-a 位于对称轴 y 轴上，故0a at-= z z y 5
7、 5-13 图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用，其横截面尺寸为 b、h，长度为l。 （1）证明在距自由端为 x 处的横截面上的切向分布内力 dA 的合力等于该截面上的剪力；而法向分布内力 dA 的合力偶矩等于该截面上的弯矩。 (2)如沿梁的中性层截出梁的下半部， 如图所示。 问截开面上的切应力 沿梁长度的变化规律如何?该面上总的水平剪力 FQ有多大?它由什么力来平衡? 解： （1）取 x 截面左边部分，由其平衡 0iyF =，0 AdAqxt-=，QAdAqxFt= -=0iM =，02AxdA yqxs+=，22AqxdA yMs= -=（2）沿梁长度剪力是线性分布的
8、，该梁为等截面梁， 因此横截面中性轴上切应力沿梁长度也是线性分布， 由切应力互等，截开面上的切应力 沿梁长度是线性分布。 沿梁长度剪力方程Q( )Fxqx= -，横截面中性轴上切应力大小沿梁长度变化规律为 Q3( )3( )22Fxqxxbhbht=，宽度方向均匀分布，故总的水平剪力 hqlbdxbhqxbdxxFllS43 23)(200=t，它由固定端约束力平衡。 5-17 图示铸铁梁，若ts=30MPa,cs=60MPa,试校核此梁的强度。已知=zI764108-m4。 解：(1)计算支座反力，作弯矩图 5 . 20 . 4C D kN m6 (2)校核强度（该梁截面中性轴不对称，正负弯
9、矩最大截面均是可能危险截面） C 截面正弯矩最大 3 max tmaxt82.5 100.08828.80MPa764 10CZM y Iss-=c3 max cmax82.5 100.05217.02MPa764 10CZM y Iss-=D 截面负弯矩最大 3 max tmaxt84 100.05227.23MPa764 10DZM y Iss-=c3 max cmax84 100.08846.07MPa764 10DZM y Iss-=符合强度要求 5-19 一矩形截面简支梁，由圆柱形木料锯成。已知F=8kN,a=1.5m， =10MPa。试确定弯曲截面系数为最大时的矩形截面的高宽比h/
10、b，以及锯成此梁所需要木料的最d。 解： 3/ 03 0)(2222 612 61dbbddbdWbdbbhWzz=-=-=363 max102 . 11010/1012/-=sMWz33 102 . 139=dWzmmd266=5-21 截面为 10 号工字钢的 AB 梁， B 点由 d=20mm 的圆钢杆 BC 支承， 梁及杆的容许应力 =160MPa，试求容许均布荷载 q。 解：这是一个拉杆强度和梁的强度计算问题 （1）对于 BC 拉杆 所受轴力N31.59 24qqF= 由强度条件N max294 40.02Fq Assp=得22.34kN/mq （2）对于 AB 梁 其剪力弯矩图如图
11、 q 0.75qA B 0.28125q0.5q1.25qFS M A B 0.75m7 工字钢横截面中性轴对称, 危险截面为弯矩绝对值最大的截面 由强度条件 max max60.5 49 10ZMq Wss-=得15.68kN/mq 从而确定容许均布荷载15.68kN/mq 5-27 试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置，并画出切应力流的流向，设截面上剪力 FQ的方向竖直向下。 解： 5-23 求图所示梁的最大容许荷载 q。梁的容许正应力为 3.5MPa，容许切应力为 0.7MPa，胶结处的容许切应力为 0.35MPa。 解： （1）求内力 最大剪力为qqlFs3 . 05 . 0max=，
12、最大弯矩为qqlMz045. 02 81 max=。 （2）确定形心位置及计算惯性矩 yc A A y A z z y y z 8 mmyc5 .62752575255 .8775252/757525=+= 46423 12123 1211032. 3)25752525752575257525(mmmIz-=+= (3) 正应力强度条件 6 6max max105 . 31032. 30625. 0045. 0=-ssq IyMzcz解得：mkNq/13. 4。 (4) 最大切应力强度条件 6 369* maxmax max107 . 010251032. 3102/5 .625 .62253
13、 . 0=-q bISFzzst 解得： mkNq/97. 3。 (5) 粘结处应力强度条件 6 369* max max1035. 010251032. 3102525253 . 0=-q bISFzzst 解得： mkNq/2 . 6。 最后容许荷载为mkNq/97. 3。 5-28 求图中各截面梁在竖直向下荷载作用时的弯曲中心，并画出切应力流的流向。设各截面厚度均为 10mm。图中单位为 mm。 解：(1) 求角点应力At，Bt zSzSzzS AIF IF bISF6 39* 101250101010255010- - =t zSzSzzS BIF IF bISF6 39* 10325
14、0101010)255010504010(- - =+=t 1t1t2t2tAtAtBtF1 F1 F2 F2 F3 z y C H 9 (2) 求力 F2 zSzSBA IFIFlbF/109 . 0 /104010)32501250(10105 . 0)(6363 21 2-=+=+=tt(3) 求切应力1t及其合力 F1 zSzSzzS IFxIxxF bIxSFx62 39*1105 . 01010102/10)()(- - =t zSzSzSIFIFIFdxxbdxxF/102083. 0/103/505 /1010105 . 0)(612366500250011-=t(3) 求剪力合力作用线位置 F1、F2、F3向 H 点简化后的主矩为 zSHIFFFM/10106664. 0101001040263 23 1-=+=，逆时针转。 合力 FS作用线位置 e（在 H 点左侧为正） 。 mmmIFMezSH1 .2902909. 0106667. 310106664. 010)50401010010(210106664. 010106664. 0661223 12166=+=-
