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1、 3 第1章 振动的基本理论 周期运动的最简单形式是简谐振动。这种振动的表示方法及特点是描述其它振动形式的基础。 一般的周期振动可以借助傅里叶级数表示成一系列简谐振动的叠加，该过程称为谐波分析。非周期 振动则需要通过傅里叶积分作谐波分析。 1.1 振动激励函数 在振动理论中，首先遇到的是振动中的激励函数，由于振动激励函数种类繁多，下面只就常见的几种振动激励函数进行简单介绍。 1.1.1 连续函数与离散函数 在连续时间范围内（t 有定义的函数称为连续时间函数连续时间函数，简称连续函数连续函数。 仅在一些离散的瞬间有定义的函数称为离散时间函数离散时间函数，简称离散函数离散函数。这里“离散”是指函数
2、 的定义域时间（或其它量）是离散的，它只取某些固定的值。 1.1.2 周期函数 周期函数是定义在（，）区间，每隔一定时间 T（或整数 N） ，按相同规律重复变化的函 数。连续周期函数可表示为 f ( t ) = f ( t + m T ), m = 0, 1, 2, (1-1) 离散周期函数可表示为 f ( k ) = f ( k + m T ), m = 0, 1, 2, (1-2) k 为离散值。 1.1.3 实函数与复函数 物理可实现的函数常常是时间 t（或 k）的函数（或序列） ，其在各时刻的函数（或序列）值为 实数，称为实函数实函数。 函数（或序列）值为复数的函数称为复函数复函数。最
3、常用的是复指数函数。连续时间的复指数函数 可表示为 sttfe)(=，t (1-3) 式中复变量j+=s，是 s 的实部， 记作 Res, 是 s 的虚部， 记作 Ims。 根据欧拉公式，上式可展开为 )sin(je)cos(ee)()j(tttfttt+=+可见，一个复指数函数可分解为实、虚两部分，即 ttftcose)(Re= PDF created with pdfFactory Pro trial version 4 ttftsine)(Im= 两者均为实函数。 1.1.4 冲激函数与阶跃函数 1. 冲激函数 冲激函数也称单位脉冲(unit impulse)函数，用(t)表示，它具有以
4、下性质 = =1d)(;0,0, 0 )(tttt t但有时当大于任何给定值(1- 4) 并且 =txxtd)()( 单位脉冲是一种极限脉冲，其物理意义可用图 1- 1 来解释。该图说明，若将(t)看成是力函数，则(t) 是图(a)所示冲量为 1 的矩形脉冲在脉宽0 时的冲击力的极限情况（图(b)） 。(t)具有力的量纲。 图 1- 1 单位脉冲的物理解释 图 1- 2 延时单位脉冲函数 工程应用中还定义了一种延时单位脉冲 (t - t)，其定义为 = =1d)(;, 0 )(ttttttt tt但有时当大于任何指定值时当(1- 5) 延时单位脉冲函数如图 1- 2 所示。单位脉冲函数又称 D
5、irac delta 函数或简称 Dirac 函数。Dirac 函数 有以下特性： （1）ppttpttp,d)(d)(=为常数时； （2）它的傅里叶变换：1d)(de )(de )()(0jj=tttttttFt；这一特性表明，单位脉冲激振力提供白谱； （3）Re1)(st Re)(sst 例 1-4 求复指数函数（式中 s0为复常数） )(e)(0ttfts= 的象函数。 解：由式(1- 33)可得 L ReRe,1dedee)( e 0 0)(_0_0000ssssttttsssttsts=即 ReRe,1)( e0 00sssstts def def PDF created with
6、pdfFactory Pro trial version 14 若 s0为实数，令)0(0=s，得实指数函数的拉普拉斯变换为 Re,1)( esstt+Re,1)( esstt若 s0为虚数，令js=0，得虚指数函数的象函数为 0Re,j1)( ejsstt 0Re,j1)( ej+sstt 若令 s0 = 0，得单位阶跃函数的象函数为 0Re,1)( sst 由以上讨论可见，与傅里叶变换相比，拉普拉斯变换对时间函数 f(t)的限制要宽松的多，象函数F(s)是复变函数，它存在于收敛域的半平面内，而傅里叶变换 F(j)仅是 F(s)收敛域中虚轴(sj)上的函数。因此就能用复变函数的理论研究线性系
7、统的各种问题，从而扩大了人们的“视野”，使过去不易解决或不能解决的问题得到较满意的结果，但是，拉普拉斯变换也有不足之处，单边拉普拉斯变换只适用于研究因果信号，而双边变换常需将双边信号分解为因果与反因果信号，并分别进行运算，而且它们的物理含义常常很不明显，譬如角频率有明确的物理含义，而复频率 s 就没有明显的意义。 1.5.2 拉普拉斯逆变换 如果象函数 F(s)是 s 的有理分式，它可写为 011 1011 1)(asasasbsbsbsbsFn nnm mm m += LL(1- 36) 式中各系数 ai (i0, 1, , n)， bj (j0, 1, , m)均为实数， 为简便且不失一般
8、性， 设 an = 1。 若 m n， 可用多项式除法将象函数 F(s)分解为有理多项式 P (s)与有理真分式之和，即 )()()()(sAsBsPsF+= (1- 37) 式中 B(s)的幂次小于 A(s)的幂次。例如： 6116332261161531258)(23223224+=+=ssssssssssssssF 由于 L11 = (t)，L1 s = (t), ，故上面多项式 P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数组成，容易求得。 PDF created with pdfFactory Pro trial version 15 习 题 1- 1 一个物体放在水平台面上，当台面
9、沿铅垂方向作频率为 5 Hz 的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制? 1- 2 有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为51=xcm 及102=xcm时的速度分别为=1v20 cm/s 及82=vcm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。 1- 3 一个机器内某零件的振动规律为ttxcos3 . 0sin5 . 0+=，x 的单位是 cm，10=1/s 。这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。 1- 4 某仪器的振动规律为tatax3sin3sin+=。此振动是否为简谐振动?试用 x- t 坐标画出运动图。 1- 5
10、已知以复数表示的两个简谐振动分别为te5i3和+25i5te，试求它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。 1- 6 将题 1- 6 图的三角波展为傅里叶级数。 1- 7 将题 1- 7 图的锯齿波展为傅氏级数，并画出频谱图。 1- 8 将题 1- 8 图的三角波展为复数傅氏级数，并画出频谱图。 1- 9 求题 1- 9 图的矩形脉冲的频谱函数及画频谱图形。 1- 10 求题 1- 10 图的半正弦波的频谱函数并画频谱图形。 1-11 求在 t = 0时接入的周期性单位冲激序列)(0nTtn=的象函数。 ( )tF( )tF( )tFPDF created with pdfFactory Pro trial version 16 1-12 已知因果函数 f (t)的象函数 1)(2+=sssF 求 etf(3t-2)的象函数。 1-13 已知 L (t)s1，利用阶跃函数的积分求 tn(t)的象函数。 1-14 求10233)(2+=ssssF的原函数 f (t)。 1-15 求222)(2+=ssssF的原函数 f (t)。 1-16 求象函数22 1)2(1)(+=sssF的原函数。 PDF created with pdfFactory Pro trial version
