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1、1. 曾 P.399 练习2曾练习P.194证明，其中， 是与对易的任何两()()()ABA BiAB=+rrrrrrrrr个矢量算符。ArBrr证明：将左端展开成、的分量式，ArBrr()()() ()xxyyzzxxyyzzABAAABBB=+rrrr()()222 xxxyyyzzzxyxyyxyxA BA BA BA BA B =+()()yzyzzyzyzxzxxzxzA BA BA BA B +利用：2221xyz=xyzyxyzxzyzxyxziii = = = 即得：()()()()zxyyxxyzyzABA BiA BA BiA BA B=+rrrrrr()yzxxziA B
2、A B+()()()()zxyzxyA BiA BiA BiA BA BiA B=+=+rrrrrrrrrrrrr证毕。2. 曾 p.401-练习7令()1 2xyi=在表象中pauli01 00+=00 10=证明:,0,xyi +=0xyi += =解:在表象中,z01 10x=0 0yi i=+且1 0 = 1 0 = 01101001x = 01011010x = 0100 001yiiiii = 001 0100yiiiii = = 0 1 100 0 0+ = 01010010 + = 0010 1001 = 0000101 = 3.曾 p402-练习12,AA=设则为 或常数矩阵
3、A0证:由题意可知,AA=且可以表示成:A0123xyzAC ICCC=+以分别左乘右乘上式,得到x0123xxzyACCiCiC=+0123xxzyACCiCiC=+ 根据题设条件，式、应相等,所以2332zyyzCCCC=因为互相独立,因此必有y z、30C =20,C =类似的,以分别左乘右乘上式,得到y10,C =30C =因此1230CCC=0AC I=当为时, 为0C0A0当不为时, 为常数矩阵.0C0A4.曾 p.441-练习1在表象中求的本征态.zx解:在表象中,zx01 10=设的本征态为, 相应的本征值为即:xxaabb = a b = 0110aabb = 101ab =
4、 为保证不全为零,则必须满足:a、b101 =2101 = 当时代入方程式，可求得11011ab = ab=由归一化条件即1, +=()1aabb = 221ab+=由、可解得:1 2ab=1=x的本征态为11 12+ = 当时,带入方程式,可得:1= 1 1011ab+ = ab= 由、可解得:1 2ab= =所以的本征态为:x11 12=5.曾 p.442-练习2在表象中,求的本征态, 是方向的单位znr r()sincos ,sinsin ,cosnr(), 矢量.解:在表象中, 算符的矩阵表示为zpauli01,10x=0,0yii=10 01z=因此nxxyyzznnnn=+r rc
5、ossin sincoszxyxyziinninninne e =+=设的本征函数表为n12,c c=本征值,则本征方程为()0,z =12cossin0sincosiice ce 即=亦即()()1212cossin0sincos0iiCeCe CC+=+=存在非平庸解的条件为()12C C、即不全为0()()cossindet0sincosiniee=+容易解出,即的本征值为1= n对于本征值由式可得1,n=12cos11 cos2 sin1sin2xyiizxyzninCneeCninn +=+1.归一化本征函数用表示,通常取为(), ()/21 /2coscos22, sinsin22
6、iiieee = 或后者形式上更加对称,它和前者相差一个公共的相因子,并无实质差别./2ie如用的直角坐标分量来表示,可以取为( )()()1112 11 12 1z n xyzxyzznninnnin nn+=+ r或nr如二者等价如应取前者;如1,zn ().仅有相因子的差别()0,0,1 ,n =r()0,0, 1 ,n =r应取后者.对于本征值类似的可以求得1,n= 12sin11 cos2 sin1cos2xyiizxyzninCneeCninn = = = +归一化本征函数为()1sin2, cos2ie = 或( )()()1112 11 12 1z n xyzxyzznninn
7、nin nn+=+ r或/2/2sin2cos2iiee 或如取如取()0,0,1 ,n =r10;1 = ()0,0, 1 ,n =r110 = ( )a设电子处于自旋态求的可能测得值及相应的概率,6.曾 p.442-练习9()1/21 ,z=nn=r r是单位矢量.(),xyznn n n=r( )b对于的自旋态,求各分量的可能测得值及相应的概率,以及的1n= rr平均值.解:利用上题求得的的本征函数,容易求出n( )a自旋态中,1 210 = 1n=的概率为()22 11 21cos122zn =+1n= 的概率为()22 11 21122zsinn=( )b自旋态中,()11n =1z
8、=的概率为()211 2112zn=+1z= 的概率为()()1111122zznn+=()()111122zzzznnn=+=nxxyyzznnn考虑到=+rr各分量以及各分量在的构造中地位相称,所以利用式、,nrn作轮换,就可推出以下各点:x、 y、 z1x= 的概率为()112xnxxn=1y= 的概率为()112ynyyn=将式、合并写成矢量形式如下:自旋态中,()11n =n=rr类似的,容易求出自旋态中,()11n= n= rr()117.曾 P.447-25曾练习 P.229自旋为1/2的粒子，处于的共同本征态下，证明()22,zljjrr()() ()113 4 1j jl l
9、jj j+=+rr（取）1=h提示：也是的本征态，并利用lur r()()2 ,lll +=ur r urur ur rr ()()220lll+=ur rur rr?证明：利用公式()()2lll +=ur r urur ur rr上式在态下求平均值，由于也是的本征态，故得lur r?jljmjljmjljm()()jjjjljmlljmljmlljm =ur ur rur r ur()jjljmljml=urur r本征值 因此 ()ll=rurur r本征值11 22jll=+= +rrururur r本征值（1）（2）（3）（4）利用公式()220lll+ =ur rur r r可得2
10、234jll=+ +rrur r()23132422llll=+ += + +urrur rur rur r因此，式（4）两端各乘，即得3 2l +ur r本征值 ( )2223324jjljjl= +=+urrrur rrrr本征值本征值本征值亦即()() ()113 41j jl ljj j+=+rr在态下，上式即jljm0,xyjj=zjjm=0,x=0y=()() ()113 4 1zjjjl lmjj+=+（5）（6）（6）（7）（7a)(7b)以代入上式，可得1 2lj=()1,2 11 ,2jzjmjjlmjjl= += += 利用1 2lj=rrur易得在态下的平均值为lr j
11、ljm0,0,xyll= ()() ()113/41 221zjzjj jl llmmj j+=+（8）（9a）（9b）电子的磁矩（算符）可表为。电子磁矩的实验()22ls eelsm c=+= +u ru ru rrr8.曾 P.448-26曾练习 P.231观测值定义为| jjzjmjzljmljmljjljj=, 求。r解：如以Bohr磁子作为磁矩单位，则电子的磁矩算符可以 写成（以下取）2Beem c=h1=h()()122lsjsj= += += +u rrrrrrur利用上题结果，即得jzjjljmljmgm= 其中()() ()113 4121j jl lgj j+= +（1）（
12、2）（3） (Lande g 因子）通常以取最大值时的平均值作为磁矩观测值的定义，记作。对于电子，jm()jmj=zzljjljjgj= （4）即 () ()1,22122 ,jjjj + = +1 2jl= +1 2jl= （5）9.曾 P.449-30曾练习 P.243两个自旋为1/2的粒子组成的体系，置于均匀外磁场中，取磁场方向为 轴方向，则体系Hamilton量可表示成（忽略轨道运动）,2121rv+=cbaHzz 、 为常数， 中第一、第二项表示粒子内禀磁矩域外磁场的相互作用，abcH第三项表示两个粒子之间自旋自旋相互作用，求的本征值。H解：我们将在自旋空间中，用矩阵方法求解。基矢可以取为的共同()zz21,本征态： ( ) ( ),21( ) ( ),21( ) ( ),21( ) ( )21也可取为总自旋算符的共
