金融工程学 重点理论整理

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1、教学内容教学内容重点重点 1. 状态价格定价技术 2. 无套利定价技术 什么是无套利定价原理什么是无套利定价原理 金融市场上实施套利行为变得非常的方便和快速。这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，投资者就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中。因此，无套利均衡被用于对金融产品进行定价。金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在无风险套利机会，这就是无风险套利定价原理或者简称为无套利定价原理无套利定价原理。 无套利定价原理的特征无套利定价原理的特征 其一，无套利定价原理首先要求套利活动在无风险的状态下进行。当然，在实际的交易活动中，纯粹零风

2、险的套利活动比较罕见。因此实际的交易者在套利时往往不要求零风险，所以实际的套利活动有相当大一部分是风险套利。 其二，无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。 复制技术的要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头（空头）与被复制组合的空头（多头）互相之间应该完全实现头寸对冲。由此得出的推论是，如果有两个金融工具的现金流相同，但其贴现率不一样，它们的市场价格必定不同。这时通过对价格高者做空头、对价格低者做多头，就能够实现套利的目标。套利活动推动市场走向均衡，并使两者的收益率相等。因此，在金融市场上，获取相同资产的资金成本一定相等。产

3、生完全相同现金流的两项资产被认为完全相同，因而它们之间可以互相复制。而可以互相复制的资产在市场上交易时必定有相同的价格，否则就会发生套利活动。 其三，无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合，即开始时套利者不需要任何资金的投入，在投资期间也没有任何的维持成本。 在没有卖空限制的情况下，套利者的零投资组合不管未来发生什么情况，该组合的净现金流都大于零。我们把这样的组合叫做“无风险套利组合”。从理论上说，当金融市场出现无风险套利机会时，每一个交易者都可以构筑无穷大的无风险套利组合来赚取无穷大的利润。这种巨大的套利头寸成为推动市场价格变化的力量，迅速消除套利机会。所以，理论上只需要少数套利者（甚至

4、一位套利者），就可以使金融市场上失衡的资产价格迅速回归均衡状态。 无套利机会存在的等价条件无套利机会存在的等价条件 （1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（payoff）相同，但它们的成本却不同；在这里，可以简单把损益理解成是现金流。如果现金流是确定的，则相同的损益指相同的现金流。如果现金流是不确定的，即未来存在多种可能性（或者说存在多种状态），则相同的损益指在相同状态下现金流是一样的。 （2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的损益。 （3）一个组合其构建的成本为零，但在

5、所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。 无套利机会的等价性推论无套利机会的等价性推论 （1）同损益同价格：如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格。 （2）静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证券的 “复制组合”（replicating portfolio）。 （3）动态组合复制定价：如果一个自融资（self-financing）交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。这称为动态套期保值策略（dynamic

6、 hedging strategy）。 3. MM 定理 4. 两基金分离定理和 CAPM 模型 CAPM 模型的提出模型的提出 马科维茨(Markowitz，1952)的分散投资与效率组合投资理论第一次以严谨的数理工具为手段向人们展示了一个风险厌恶的投资者在众多风险资产中如何构建最优资产组合的方法。应该说，这一理论带有很强的规范(normative)意味，告诉了投资者应该如何进行投资选择。 作为基于风险资产期望收益均衡基础上的预测模型之一，CAPM 阐述了在投资者都采用马科维茨的理论进行投资管理的条件下市场均衡状态的形成，把资产的预期收益与预期风险之间的理论关系用一个简单的线性关系表达出来了

7、，即认为一个资产的预期收益率与衡量该资产风险的一个尺度 值之间存在正相关关系。应该说，作为一种阐述风险资产均衡价格决定的理论，单一指数模型，或以之为基础的 CAPM 不仅大大简化了投资组合选择的运算过程，使马科维茨的投资组合选择理论朝现实世界的应用迈进了一大步，而且也使得证券理论从以往的定性分析转入定量分析，从规范性转入实证性，进而对证券投资的理论研究和实际操作，甚至整个金融理论与实践的发展都产生了巨大影响，成为现代金融学的理论基础。 当然，近几十年，作为资本市场均衡理论模型关注的焦点，CAPM 的形式有了很大的发展，如套利定价模型、跨时资本资产定价模型、消费资本资产定价模型等，目前已经形成了

8、一个较为系统的资本市场均衡理论体系。 资本资产定价模型资本资产定价模型公式公式 夏普发现单个股票或者股票组合的预期回报率(Expected Return)的公式如下： 其中，rf(Risk free rate),是无风险回报率，纯粹的货币时间价值； a是证券的 Beta 系数， 是市场期望回报率 (Expected Market Return)， 是股票市场溢价 (Equity Market Premium). CAPM 公式中的右边第一个是无风险收益率， 比较典型的无风险回报率是 10 年期的美国政府债券。 如果股票投资者需要承受额外的风险，那么他将需要在无风险回报率的基础上多获得相应的溢价

9、。那么，股票市场溢价（equity market premium）就等于市场期望回报率减去无风险回报率。证券风险溢价就是股票市场溢价和一个 系数的乘积。 资本资产定价模型的假设资本资产定价模型的假设 CAPM 是建立在马科威茨模型基础上的，马科威茨模型的假设自然包含在其中： 1、投资者希望财富越多愈好，效用是财富的函数，财富又是投资收益率的函数，因此可以认为效用为收益率的函数。 2、投资者能事先知道投资收益率的概率分布为正态分布。 3、投资风险用投资收益率的方差或标准差标识。 4、影响投资决策的主要因素为期望收益率和风险两项。 5、投资者都遵守主宰原则(Dominance rule)，即同一风

10、险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益率水平下，选择风险较低的证券。 CAPM 的附加假设条件： 6、可以在无风险折现率 R 的水平下无限制地借入或贷出资金。 7、所有投资者对证券收益率概率分布的看法一致，因此市场上的效率边界只有一条。 8、所有投资者具有相同的投资期限，而且只有一期。 9、所有的证券投资可以无限制的细分，在任何一个投资组合里可以含有非整数股份。 10、买卖证券时没有税负及交易成本。 11、所有投资者可以及时免费获得充分的市场信息。 12、不存在通货膨胀，且折现率不变。 13、投资者具有相同预期，即他们对预期收益率、标准差和证券之间的协方差具有相同的预期值。 上述假设表明：第

11、一，投资者是理性的，而且严格按照马科威茨模型的规则进行多样化的投资，并将从有效边界的某处选择投资组合；第二，资本市场是完全有效的市场，没有任何磨擦阻碍投资。 资本资产定价模型的优缺点资本资产定价模型的优缺点 优点优点 CAPM 最大的优点在于简单、明确。它把任何一种风险证券的价格都划分为三个因素：无风险收益率、风险的价格和风险的计算单位，并把这三个因素有机结合在一起。 CAPM 的另一优点在于它的实用性。它使投资者可以根据绝对风险而不是总风险来对各种竞争报价的金融资产作出评价和选择。这种方法已经被金融市场上的投资者广为采纳，用来解决投资决策中的一般性问题。 局限性局限性 当然，CAPM 也不是

12、尽善尽美的，它本身存在着一定的局限性。表现在： 首先，CAPM 的假设前提是难以实现的。比如，在本节开头，我们将 CAPM 的假设归纳为六个方面。假设之一是市场处于完善的竞争状态。但是，实际操作中完全竞争的市场是很难实现的，“做市”时有发生。假设之二是投资者的投资期限相同且不考虑投资计划期之后的情况。但是，市场上的投资者数目众多，他们的资产持有期间不可能完全相同，而且现在进行长期投资的投资者越来越多，所以假设二也就变得不那么现实了。假设之三是投资者可以不受限制地以固定的无风险利率借贷，这一点也是很难办到的。假设之四是市场无摩擦。但实际上，市场存在交易成本、税收和信息不对称等等问题。假设之五、六

13、是理性人假设和一致预期假设。显然，这两个假设也只是一种理想状态。 其次，CAPM 中的 值难以确定。某些证券由于缺乏历史数据，其 值不易估计。此外，由于经济的不断发展变化，各种证券的 值也会产生相应的变化， 因此， 依靠历史数据估算出的 值对未来的指导作用也要打折扣。 总之， 由于 CAPM的上述局限性，金融市场学家仍在不断探求比 CAPM 更为准确的资本市场理论。目前，已经出现了另外一些颇具特色的资本市场理论（如套利定价模型），但尚无一种理论可与 CAPM 相匹敌。 Beta 系数系数 按照 CAPM 的规定，Beta 系数是用以度量一项资产系统风险的指针，是用来衡量一种证券或一个投资组合相

14、对总体市场的波动性（volatility）的一种风险评估工具。也就是说，如果一个股票的价格和市场的价格波动性是一致的，那么这个股票的 Beta 值就是 1。如果一个股票的 Beta 是 1.5，就意味着当市场上升 10%时，该股票价格则上升 15%；而市场下降 10%时，股票的价格亦会下降 15%。 Beta 是通过统计分析同一时期市场每天的收益情况以及单个股票每天的价格收益来计算出的。 1972 年，经济学家费歇尔 布莱克 (Fischer Black)、迈伦 斯科尔斯(Myron Scholes)等在他们发表的论文资本资产定价模型：实例研究中，通过研究 1931 年到 1965 年纽约证券

15、交易所股票价格的变动，证实了股票投资组合的收益率和它们的 Beta 间存在着线形关系。 当 Beta 值处于较高位置时，投资者便会因为股份的风险高，而会相应提升股票的预期回报率。举个例子，如果一个股票的 Beta 值是 2.0，无风险回报率是 3%，市场回报率(Market Return)是 7%，那么市场溢价(Equity Market Premium) 就是 4%（7%-3%），股票风险溢价(Risk Premium)为 8% （2X4%，用 Beta 值乘市场溢价），那么股票的预期回报率则为 11%（8%+3%， 即股票的风险溢价加上无风险回报率）。 以上的例子说明，一个风险投资者需要得

16、到的溢价可以通过 CAPM 计算出来。换句话说,我们可通过 CAPM 来知道当前股票的价格是否与其回报相吻合。 资本资产定价模型之性质资本资产定价模型之性质 1.任何风险性资产的预期报酬率=无风险利率+资产风险溢酬。 2.资产风险溢酬=风险的价格风险的数量 3.风险的价格 = E(Rm) Rf(SML 的斜率)。 4.风险的数量 = 5.证券市场线(SML)的斜率等于市场风险贴水，当投资人的风险规避程度愈高，则 SML 的斜率愈大，证券的风险溢酬就愈大，证券的要求报酬率也愈高。 6.当证券的系统性风险(用 来衡量)相同，则两者之要求报酬率亦相同，证券之单一价格法则。 编辑 CAPM 的意义的意义 CAPM 给出了一个非常简单的结论：只有一种原因会使投资者得到更高回报，那就是投资高风险的股票。不容怀疑，这个模型在现代金融理论里占据着主导地位，但是这个模型真的实用么？ 在 CAPM 里， 最难以计算的就是 Beta 的值。 当法玛 （Eugene Fama）和肯尼斯 弗兰奇(Kenneth French) 研究 1963年到 19