《一类非线性退化抛物方程的自由边界问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一类非线性退化抛物方程的自由边界问题（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、摘要在这篇文章中我们利用打靶法 ( S h o o t i n g M e t h o d ) 研究如下形式的自 由边界问题:。 : =( t k ( u ) ju s ln - 。 二 ) 二 ，i n D训 二 e , a ) 是0 ， 十 0 0 ) / ( 0 , + 0 0 ) x 0 ， 十 0 0 ) 上的 连 续函数， 对 每一 个 固定的3 和a ,g ( + , N , a ) 关于M递增;当M和。 固定时，g ( M , 0 , a ) 关 于0 严格递减;当M和0 固定时，g ( M , 0 , a ) 关于a 严格递减这类自由 边界问题起源于多孔介质的渗流问题， 近年
2、来国内外许多数 学工作者对这一类的非线性抛物方程间 题做了大量的研究. 参见3 5 6 1 0 , ! 川 8 9 1 . 我们所研究的这一这类自 由边值问 题， 与一般的非线性边值问 题 不同， 其未知函数是 u , m ) ， 而且自由 边值条件是非线性的. 我们还注意到 这是一类具有退缩性的非线性抛物方程， 退缩性的抛物方程不能采用常 规的非退缩性抛物方程的解法， 要根据不同的方程采用不同的方法， 要 示具体的方程而定. 而且自 由边值问题比 初边值问 题复杂， 以上这些都 是解决这类问题的难点所在 但是由于常微分方程我们已经有了一套完 整的 理论， 诸如解的存在性， 唯一性及解的稳定性
3、和对参数的连续性. 因此我们可利用常微分方程的结论来解决.要运用打靶法，我们需要了解一些概念: 界问题，还需要如下的假设:H 1 : k ( u ) 0 , k ( u ) 是连续函数，u E 0 , + 0 0 )从 : .NO , a。 .H 3 :f ( s , U , ( s ) ) 0 连续， 对于几乎所有的s E ( 0 , B ) , f ( s , w ) 作为。的 函 数 与 于(0 , + 0 0 ) 上 连 续 且非 增.f ( s , w ) 对。 满足 局 部L ip s h it x 条件 . 即对 每个有限 子区间5 , N ，a N 0 都存在一个( 0 , 1
4、 ) 的L e b e s g *可 积的正值函数L ( s ) ，使得二 : ，二 : 任 a , N J ,I f ( s , w 1 ) 一 .f ( s , w z ) 1 S L ( s ) lw ， 一。 2 1)O执g ( n -1 . a , a ) 。 且是0 ， 十 DO ) 、 ( 0 ， 十 0 0 ) x 0 , + 0 0 ) 上的 连续函 数， 对每 一个固定的Q 和a ,g ( M , 0 , a ) 关于M递增; 当M和。 固定时，g ( M , ,Q , a ) 关于R 严格递减;当M和0 固定时，g ( M , 0 , a ) 关于a 严格递减.为 证主
5、要定 理我们 做变换( =于 ， 这样 就把 原来的 非线 性抛物方程自 由边界问题转化成了常微分方程的自由边界问题.! k ( u ) IU , IN - l u , = 一 。 , 。 = ; 。 =0 9 ( M , k ( u ) Iu IN - w , a ) I( = e u = G 。 。 = 二=B再令 因此:w ( u ( V =k ( u ) Iu IN - u ，。 ( 。 ) =二 ， ( u W) u V) , s =u ( # ) 乏 = 。 一 ( s ) =z ( s ) ， 这样方程( 2 ) 变成:- z ( s ) ( k( s ) ) I/N叨I s )
6、 a ) =z ( 0 ) , w ( B ) 二0对于方程( 3 ) 我们先考虑更一般些的方程:w ( s ) =- z ( s ) z ( s ) =f ( s , w ( s ) ) 9 ( M， 二 ( 0 ) , a ) =z ( 0 ) , - ( B ) =0。 0 , B )显 然 两 点 边 值 间 题 (3) 是 () 的 一 个 特 殊 形 式 ，此 时 : f (s, w (s) = (黯 )1/N 定理: 在假设H i , H a , H 3 下，自由 边值的退化非线性抛物方程( 1 . 1 ) 有 唯一解 ( m 。 ) , u ( x , t ) ) = W, u
7、 ( O ) , C = x 八 ， 且。 ( ( ) 是如下自由 边值常微分 方程: ! 人 ( 。 ) lu I IN - I u】 = 一 。 ( 。 ( 二 。 。 =0 9 ( M , k ( u ) It j - l u , a ) jc = c o =c o 。 ! = 。=B 的唯 一 解 u ( # ) 在( C O ， 十 00 ) 单调递增. 为了明 确解对M和a 的相关 性， 令6= G ( M , a ) , u ( 0=u ( ; M , a ) , ( = x / t ， 则E O ( M , a ) 和一 、 ( f ; M , a ) 依M递增依a 递减.对于
8、方程( 4 ) 我们利用解的积分表达式将其表示出来. 通过研究这个常 微分方程来解决自 由 边值问 题( 1 ) . 主要技术手段是利用打靶法( S h o o t i n g A l e t h o d ) ， 在适当的条件下证明了两点边值间题 ( 3 ) 解的存在性和唯一 性. 方程 ( - ) 我们可用不动点定理在假设条件H i , H 2 ,H 3 ,H a 下，证明其 解 (一 (s), z(s) 的 存 在 性 且 是 唯 一 的 当 ， (s, w (s)卜 (黯)1/N ， 方 程 (3) 的 唯一解( u r( s ; Bb l , a ) , z ( s ; A l , a
9、 ) ) 对 s 和M 严格递增对 。递减.因此 s =u ( ; A 1 , a ) 反f数 石 =z ( s ; A 1 , a ) ) 是方程( 2 ) 的解， 则方程( 1 ) 的唯一解伸 ( t ) , u ( x , t ) ) =( fi t ; u ( 0 ) , = x l t ， 其中。 ( ) 是( 2 ) 的解.u ( 0在( S 0 , + 0 o ) 单调递增. 为了明确解对 .4 1 和a 的相关性，令G= W m , a ) ,u ( O=u ( f ; A 4 . a ) , ( =x / t 则 o ( A 1 , a ) 和 u ( ; A l , a )
10、 依A 1 递增对a 递减.上述定理， 无论在方程的维数及方程的结构， 边值的非线性程度都比 文 1 ) 2 ) 复杂与困难.而我们的结果部分地改善了前人的工作!Ab s t r a c tI n t h i s p a p e r w e s t u d y t h e f o l l o w i n g f r e e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s 饰 m e a n s o f S h o o t i n g Me t h o du i =( t “ k ( u ) lu . l“ - 。 二 ) 二 ，i n D u ps = m
11、( t) =0 g ( n ,f , t N k ( u ) lu = I“u r , a ) l二 一 ， (: ) = 0 1 ( t ) 。 二 。 =BD= ( x , t ) , x q5 ( t ) , t 0 , 0 ( t ) i s a n u n k o m w n f u n c t i o n a n d i s a p a r t o f t h es o l u t io n . Wh e r e g ( M; Q , n ) is c o n t i n o u s f o r 0 , + o o ) x ( 0 , + o o ) x 0 , + o o ) ,
12、 g ( M, B , a ) i n c r e a s e s f o r M w h e n 3 a n d a a r e fi x e d ; g ( M 尽 ， a ) d e s c e n d s f o r 口w h e n M a n d a a r e fi x e d ; g ( _1 I . B . 。 ) d e s c e n d s f o r 。w h e n M a n d 3 a r e fi x e d .T h e s e f r e e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s h a v e o r i g
13、 i n a t e d f r o m t h e p e r m e a t i n g fl o w p r o b l e m s o f m o r e v i s c o u s m a t e r i a l . T h e a n t h e r s s t u d i e d t h e p r o b l e m s o f g a s fl u i d . F o r d e t a i ls s e e 7 8 9 .F i r s t. t h e f r e e b o u n a r y v a l u e p r o b l e m s t h a t w e
14、h a v e s t u d - i e d a r e d i ff e r e n t f r o m t h e n o r m a l n o n l i n e a r v a l u e p r o b l e m s i n w h i c h t h e i n k n o w n f u n c t i o n i s ( u , o ) a n d t h e f r e e b o u n d a r y v a l u e i s n o n l i n e a r ; T h e s e c o n d i s t h a t t h e s e n o n l i
15、 n e a r p a r a b o l i c e q u a t i o n s a r e d e g e n e r a t e o n e s w h i c h c a n t u s e t h e m e t h o d s o f n o r m a l g e n e r a t e p a r a b o l i c e q u a t i o n s . W e s h o u l d a p p l y d i ff e r e n t m e t h o d s a c c o r d i n g t o t h e d i ff e r e n t . e q
16、 u a t i o n s . T h e l a s t i s t h a t t h e f r e e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s a r e m o r e c o m p l i c a t e t h a n t h e i n i t i a l - b o u n d a r y v a l u e p a o b l e m s . A l l t h o s e t h a t w e h a v e d i s c u s s e d a r e t h e r e a l d i f fi c u l t y f o r s o l v i n g t h e n o n l i n e a r p a r a b o l i c e
