《流体力学 第四章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《流体力学 第四章（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 涡旋动力学基础第五章 涡旋动力学基础南京信息工程大学 陶丽?流体的涡旋运动大量存在于自然界中，如大气 中的气旋、反气旋、龙卷、台风等，大气中的 涡旋运动对天气系统的形成和发展有密切的关 系。?因此，针对流体的涡旋运动进行分析，介绍涡 旋运动的描述方法、认识涡旋运动的变化规律 及其物理原因是十分必要的。气旋 反气旋台风龙卷?日常生活中把绕某一中心旋转的流动（不一定 圆周运动）称作涡旋，即看流体质点运动迹线 来判断运动是否有旋。从流体力学的观点看， 这样的判断是不对的。例：均匀流，切变流，自由涡，受迫涡 在迹线为同心圆的恒定流动中,速度与半径成 反比的流动称作自由涡，速度与半径成正比的 流
2、动称作受迫涡?流体的涡旋运动有严格的定义： 流体速度的旋度不等于零，称为有旋运动，又 称作涡旋运动。?本节讨论的是涡旋运动的基本概念。0?1 环流定理环流定理?速度环流：在流场中任取封闭曲线k，如图所 示。速度沿该封闭曲线的线积分称为速度沿 封闭曲线 的环量，简称速度环量，用表 示，即V?ldlcos dlllVv =?式中在封闭曲线上的速度矢量； 速度与该点上切线之间的夹角。V?速度环量是个标量，但具有正负号。规定沿曲 线逆时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针 绕行的方向为负方向。?速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩 涡场。?其微分形式为：nV dlV dd =?nd d=?流体某点的
3、涡度矢在某单位面元法向的分量就 是单位面积速度环流的极限值。一一.亥姆霍兹（亥姆霍兹（Helmholtz）定理）定理?涡线:涡线为一条曲线，曲线上任意一点的切 线方向与该点的涡量方向重合，它是由同一时 刻不同流体质点所组成的。xyzdxdydz =V=?涡管：某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线 c(不是涡线)，通过曲线上每一点作涡线，这些 涡线形成封闭的管形曲面。?涡通量：在流场中某一曲面A,其面积分：称通过曲面A的涡通量。?涡管强度：对于流场中某时刻的涡管，取涡管 的一个横截面A，称过曲面A的涡通量为该瞬 时涡管强度AJdA=?亥姆霍兹第一定理：在同一瞬间涡管各截面上 的涡通量都相同?由该定
4、理得到：涡管（涡线）本身首尾相接， 形成一封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）两端 可以终止于所研究流体的边壁上（固体壁面或 自由面）。?亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）：正压性 的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远 保持为由相同流体质点组成的涡管。?亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）： 在有势的质量力作用下，正压理想流体中任何 涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。?在实际流体的流场中，开始并不存在旋涡， 只是流体绕过物体或流体流经特变的边界时才 产生旋涡。这表明，旋涡既能在流体中产生也 会在流体中消失。粘性是旋涡产生和消失的根 本原因。二、开尔文定理二、开尔文定理?理想（无粘）正压流体在
5、有势的质量力作用 下，速度环流不随时间变化，其证明如下： Vdludxvdywdz =+?()()()()ddudxvdywdzdtdt dddudxvdywdzdtdtdt dudvdwdxdydzdtdtdt=+=+?222()()()222dddudxvdywdzdtdtdtuvwddd+=+?等式右边第一项写成等式右边第二项，由 欧拉运动微分方程：111xyzdupfdtx dvpfdty dwpfdtz= = =那么得到111()()()1()()()xyzxyzpppfdxfdyfdzxyzpppf dxf dyf dzdxdydzxyzddP+=+= ?方程（1）可以写成22 (
6、)022dvvdddPdPdt= =?这是因为，V、P都是x, y, z和t的单值连 续函数，沿封闭周线的积分等于零。?得出结论：对于理想的正压流体，在有势的质 量力作用下，沿任何封闭的流体线的环量永远 不会改变。又由斯托克斯定理知，在流场中已 有的旋涡将永远不会消失，即理想流体中，旋 涡不生不灭。三、皮耶克尼斯环流定理三、皮耶克尼斯环流定理?设流体无粘非正压，但质量力为有势力，则：?上式中引入比容：11dpppdxdydzdtxyzdpdp=+= = ?1=?p=常数的面称为等压面，=常数的面为等容 面。对于正压流体，显然等压面和等 容面是重合的。但对于一般的非正压流体，等 压面和等容面将相
7、交，作一系列彼此相差一个 单位的等压面，同时作一系列彼此相差一个单 位的等容面，这样整个流体空间被隔成一系列 有两个相邻的等压面和两个相邻的等容面构成 管子，通常称为等压、等容管。( )pp=?现计算如图所示单位等压等容ABCD的周线L 的线积分，计算前规定从 的转动方向为环路积分正向dp ?p到P0P0+1V0+1v0BACD?因此环路线积分是：?在一般情况下，周线包围许多单位等压-等容 管时，将有：1dp= + ?1 1dp+= ?当积分环路正向时正的单位管 当积分环路负向时负的单位管121212dpNNNlNlNN= ? ：周线 所包围正单位管的数目：周线 所包围负单位管的数目这样：d
8、dt皮耶克尼斯定理皮耶克尼斯定理：无粘流体若质量力为有势 力，则沿任何封闭流线L的速度环量对时间的 导数等于穿过周线L的正的与负的等压-等容管 数目之差()()1111dp dlpdldtppdpd= = = += ?皮耶克尼斯定理的应用：海陆风、信风、山谷风的简单解释海风（陆风）山谷风海洋陆地白天（夜间）四 环流的起源四 环流的起源?对于粘性可压缩流体，NS运动方程为：?对粘性扩散项进行处理（矢量运算法则），将 其表示为：?将其代入运动方程，整理后可得到：()21 3dVFpVVdt= + + ?2()()VVVD= =?14 3dVFpDdt= +?对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变
9、 化的方程：14 3dVFpDdt= +?14 3ddVdldtdtF dlp dldlD dl= +? 14()3F dlp dldlD d= +? ?1F dlp dldl= ?梯度取旋度为零速度环流的变化，主要由于以下3项所引起：? ?非有势力的作用非有势力的作用；?压力-密度项（流体的斜压性所引起的）；? ?粘性涡度扩散粘性涡度扩散（与涡度的空间不均匀分布有关）（1）（2）（3）1ddVdlF dlp dldldtdt= ?2 涡度方程涡度方程影响涡度的个别变化的因素有：1.流体的非正压性（力管项）2.流体质点体积收缩或膨胀（散度项）3.速度沿涡线变化（扭曲项）4.粘性（粘性扩散项，使得涡旋可能产生、发 展、扩散、衰减）2 21()()dpVVdt= + ?第五章 小结第五章 小结?开尔文定理 皮耶克尼斯定理及其应用?涡度变化的原因
