河北师大点集拓扑第三章教案

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1、第三章 子空间， （有限）积空间，商空间 一、教学目的与要求 本章介绍构造拓扑空间的三种常用方法及它们的性质。要求掌握的概念有： （集族的）限制、拓扑子空间、嵌入、积拓扑、积空间、投射、商拓扑、商映射、商空间、开（闭）映射。在本章学生还应该掌握：拓扑子空间的性质、拓扑积空间的拓扑基和子基的性质、积拓扑的性质、商拓扑、商映射、开（闭）映射的性质、投射的性质。 二、教学重点与难点 教学重点：是拓扑子空间、积拓扑、积空间、投射、商拓扑、商映射、商空间及主要性质。 教学难点：商拓扑、商映射等。 三、课时安排与教学方法 教学内容 （计划实际）课时数课程类型教学方法 3.1 子空间 2/2 理论/讲授 3

2、.2(有限)积空间 2/2 理论/讲授 3.3 商空间、习题课 4/4 理论/讲授、讨论 四、教学过程 3.1 子空间3.1 子空间讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集， 按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发 考虑一个度量空间和它的一个子集欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离 由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点， 因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分

3、自然的 我们把上述想法归纳成定义： 定义定义 3.1.1 设 （X， ） 是一个度量空间， Y 是 X 的一个子集.因此，YY 显XX然：:Y YYYR是 Y 的一个度量我们称 Y 的度量Y Y，是由 X 的度量 诱导出来的度量.度量空间（Y，）称为度量空间（X，）的一个度量子空间 注注 1:我们常说度量空间 Y 是度量空间 X 的一个度量子空间， 意思就是指 Y 是 X 的一个子集，并且 Y 的度量是由 X 的度量诱导出来的 注注 2：我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明例如我们经常讨论的：实数空间 R 中的各种区间（a，b），a，b，（a，b等；n1 维

4、欧氏空间1nR+中的 n 维单位球面: 1 12 121 1( ,)|1n nn ni iSxx xxRx+ + + =?n 维单位开、闭球体: 2 12 1( ,)|1n nn ni iDxx xxRx=? 2 12 1( ,)|1n nn ni iExx xxRx=? 以及 n 维单位开、闭方体(0和0等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相,1)n,1n应的度量诱导出来的拓扑） 定理定理 3.1.1 设 设Y是度量空间是度量空间X的一个度量子空间则的一个度量子空间则Y的子集的子集U是是Y中的一个开集当且中的一个开集当且仅当存在一个仅当存在一个X中的开集中的开集V使得使得UVY定义定义

5、 3.1.2 设A是一个集族，Y是一个集合集族AY|AA称为集族A在集合Y上的限制，记作A| Y 引理引理 3.1.2 设 设Y是拓扑空间（是拓扑空间（X，T，T)的一个子集则集族的一个子集则集族T| Y是是Y的一个拓扑的一个拓扑定义定义 3.1.3 设 Y 是拓扑空间（X，T）的一个子集Y 的拓扑T|称为（相对于 X 的 Y拓扑 T 而言的）相对拓扑；拓扑空间（Y，T|）称为拓扑空间的一个（拓扑）子空间 Y注：注： 我们常说拓扑空间 Y 是拓扑空间 X 的一个子空间， 意思就是指 Y 是 X 的一个子集，并且 Y 的拓扑就是对于 X 的拓扑而言的相对拓扑此外，我们也常将拓扑空间的子集认为是一

6、个子空间而不另行说明 问题问题 1：假设 Y 是度量空间 X 的一个子空间现在有两个途径得到 Y 的拓扑：一是通过 X 的度量诱导出 Y 的度量，然后考虑 Y 的这个度量诱导出来的拓扑；另一是先将 X 考虑成一个拓扑空间，然后考虑 Y 的拓扑为 X 的拓扑在 Y 上诱导出来的相对拓扑这两种途径得到的 Y 的两个拓扑是否一样？ 定理定理 3.1.3 设 设Y是度量空间是度量空间X的一个度量子空间则的一个度量子空间则X与与Y都考虑作为拓扑空间时都考虑作为拓扑空间时Y是是X的一个（拓扑）子空间的一个（拓扑）子空间定理定理 3.1.4 设 设 X，Y，Z 都是拓扑空间如果都是拓扑空间如果 Y 是是 X

7、 的一个子空间，的一个子空间，Z 是是 Y 的一个的一个子空间，则子空间，则 Z 是是 X 的一个子空间的一个子空间 定理定理 3.1.5 设 设Y是拓扑空间是拓扑空间X的一个子空间，的一个子空间，yY则则（l）分别记 T 和）分别记 T 和T为为 X 和和 Y 的拓扑，则的拓扑，则T=T| ； ?Y?（2）分别记）分别记F F 和 和F为为X和和Y的全体闭集构成的族，则的全体闭集构成的族，则F=F| ； ?Y?（3）分别记）分别记Uy和和U为点为点 y 在在 X 和和 Y 中的邻域系，则中的邻域系，则 y?|UUyy=?Y定理定理 3.1.6 设 设Y是拓扑空间是拓扑空间X的一个子空间，的一

8、个子空间，A是是Y的一个子集则的一个子集则（ （1）A 在在 y 中的导集是中的导集是 A 在在 X 中的导集与中的导集与 Y 的交；的交； （2）A 在在 Y 中的闭包是中的闭包是 A 在在 X 中的闭包与中的闭包与 Y 的交的交 定理定理 3.1.7 设 设Y是拓扑空间是拓扑空间X的一个子空间，的一个子空间，yY则则（1）如果）如果BB是拓扑空间是拓扑空间X的一个基，则的一个基，则B|是子空间是子空间Y的一个基；的一个基； Y（2）如果）如果Vy是点是点 y 在拓扑空间在拓扑空间 X 中的一个邻域基，则中的一个邻域基，则|VyY是点是点 y 在子空间在子空间 Y 中的一个中的一个邻域基邻域

9、基 “子空间”事实上是从大拓扑空间中“切割”出来的一部分这里有一个反问题：一个拓扑空间什么时候是另一个拓扑空间的子空间？换言之，一个拓扑空间在什么条件下能够“镶嵌”到另一个拓扑空间中去？当然假如我们拘泥于某些细节，例如涉及的拓扑空间是由什么样的点构成的，那么问题会变得十分乏味,然而我们在22 中便提到过，拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，也就是说我们不去着意区别同胚的两个拓扑空间在这种意义下，以上问题可以精确地陈述如下： 定义定义 3.1.4 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，f:XY映射 f 称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从 X 到它的象集 f(X)的一个同胚如果存在一个嵌入 f:

10、XY，我们说拓扑空间 X 可嵌入拓扑空间 Y 注：注：拓扑空间 X 可嵌入拓扑空间 Y 意思就是拓扑空间 X 与拓扑空间 Y 的某一个子空间同胚换言之，在不区别同胚的两个拓扑空间的意义下，X“就是”Y 的一个子空间 不能嵌入的一个简单例子不能嵌入的一个简单例子 （1）一个离散空间，如果它含有多于一个点，就决不可能嵌入到任何一个平庸空间中去； （2）一个平庸空间，如果它含有多于一个点，也决不可能嵌入到任何一个离散空间中去 作业：P作业：P99，1；2；4；5；6，7 3.2 （有限）积空间3.2 （有限）积空间 问题 1：问题 1：给定了两个拓扑空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡儿积如

11、何按某种自然的方式给定这个笛卡儿积一个拓扑使之成为拓扑空间？ 为此我们先对度量空间中的同类问题进行研究 首先回顾n维欧氏空间nR中的度量是如何通过实数空间中的度量来定义的： 如果12( ,)nxx xx=?，则12(,)n nyy yyR=?x与y的距离定义为 21( , )nii ix yx=y 定义 3.2.1 定义 3.2.1 设11(,)X，22(,),X?)(,nnX是 n1 个度量空间 令12nXXXX=?定义 ：XXR 使得对于任何， 12( ,)nxx xx=?，y12(,)ny yyX=? 21( , )( ,)niii ix yx=y 容易验证 是 X 的一个度量 （请自行

12、验证，注意验证中要用到 21 节附录中的 Schwarz引理）我们称 为笛卡儿积12nXXXX=?的积度量；称度量空间（X，）为 n 个度量空间11(,)X，22(,),X?)(,nnX的度量积空间 注：注：n 维欧氏空间nR就是 n 个实数空间 R 的度量积空间， 定理定理 3.2.1 设 设11(,)X，22(,),X?)(,nnX是是 n0 个度量空间，（个度量空间，（X，）是）是它们的积空间 又设和它们的积空间 又设和T分别是由度量分别是由度量Tii和和所诱导出来的所诱导出来的iX和和 X 的拓扑， 其中的拓扑， 其中 il，2，n则则 X 的子集族的子集族: 12|,1,BTniiU

13、UUUin=?2, ?是是 X 的拓扑 T 的一个基的拓扑 T 的一个基 在定理 3.2.1 的启示下，我们按以下方式引进有限个拓扑空间的积空间这一概念 定理 定理 3.2.2 设， 设，11(,)TX22(,), (,TX?)TnnX是是 n1 个拓扑空间则个拓扑空间则 X12nXXX=?有惟一的一个拓扑 T 以有惟一的一个拓扑 T 以 X 的子集族的子集族 B为它的一个基为它的一个基 12|,1,2, TniiUUUUin=?定义定义 3.2.2 设(,，11) TX22(,),TX?), (,TnnX是 n1 个拓扑空间则X12nXXX=?的以子集族 12|,1,2, BTniiUUUU

14、in=? 为它的一个基的那个惟一的拓扑 T 称为拓扑12,T T的积拓扑， ,T?n拓扑空间（X，T）称为拓扑空间11(,)TX，(,22),TX? (,)TnXn的（拓扑）积空间 问题问题 2： 设1X，2,X ?nX是 n1 个度量空间 则笛卡儿积X12nXXX=?可以有两种方式得到它的拓扑：一是先将 X 作成度量积空间，然后再由积度量诱导出 X 的拓扑；另一是先用每一个iX的度量诱导出iX的拓扑，然后再将 X 考虑作为诸拓扑空间iX的拓扑积空间请问这两种拓扑是否一致？ 定理定理 3.2.3 设 设12nXXXX=?是是 n1 个度量空间个度量空间1X，2,X ?nX的度量积的度量积空间则

15、将空间则将 X 和和iX都考虑作为拓扑空间时，都考虑作为拓扑空间时，X 是是1X，2,X ?nX的（拓扑）积空间的（拓扑）积空间 注：注： n 维欧氏空间nR便是 n 个实数空间 R 的（拓扑）积空间 定理定理3.2.4 设 设12nXXXX=?是是n1个拓扑空间个拓扑空间1X，2,X ?nX的积空间，的积空间，对于每一个对于每一个 i1，2，n，拓扑空间，拓扑空间iX有一个基有一个基Bi则则 X 的子集族的子集族 12,1,2,B=|BniiBBB Bi=?n 是拓扑空间是拓扑空间 X 的一个基的一个基 例例 3.2.1 由于实数空间 R 有一个基由所有的开区间构成，故应用定理 3.2.4 立即可见， n 维欧氏空间nR中的所有开方体1122(,) (,)(,)nna ba ba b?构成nR的一个基 特别地，欧氏平面2R有一个基由所有的开矩形1122(,) (,)a ba b构成 定理定理 3.2.5 设 设12nXXXX=?是是 n1 个拓扑空间个拓扑空间1X，2,X ?nX的积空的积空间令 T 为间令 T 为 X 的拓扑，为的拓扑，为Tii