《2011学而思第七讲 数的整除的综合运用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011学而思第七讲 数的整除的综合运用（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学理科到学而思 第七讲 数的整除的综合运用 第七讲 数的整除的综合运用 一、 数的整除的特征： 1、 看末位 2、5 只需看末一位能否被 2 或 5 整除 2、5 只需看末一位能否被 2 或 5 整除 2 510 = 4、25 只需看末两位能否被 4 或 25 整除 4、25 只需看末两位能否被 4 或 25 整除 4 25100= 8、125 只需看末三位能否被 8 或 125 整除 8、125 只需看末三位能否被 8 或 125 整除 8 1251000= 以四位数以四位数abcd为例，四位数为例，四位数abcd=1000=1000a a+100+100b b+10+10c c+ +d d
2、。10、100、1000 都是 2 或 5 的倍数，只需。10、100、1000 都是 2 或 5 的倍数，只需d d也是 2 或 5 的倍数即可。 也是 2 或 5 的倍数即可。 2、 看各位数字和 3、9 只需看各位数字的加和是否为只需看各位数字的加和是否为 3 或或 9 的倍数的倍数 3、 分段系列 7、11、13 从右往左三位一格、三位一格，奇位和与偶位和以大减小，差能被从右往左三位一格、三位一格，奇位和与偶位和以大减小，差能被 7、11 或或 13 整除。整除。 11 从右往左一位一格、一位一格，奇位和与偶位和以大减小，差能被从右往左一位一格、一位一格，奇位和与偶位和以大减小，差能被
3、 11 整除整除 11、33、99 从右往左两位一格、两位一格，求加和，和能被从右往左两位一格、两位一格，求加和，和能被 11、33 或或 99 整除整除 4、 合数 判断一个数能否被某个合数整除， 一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积 的形式，并且这些数两两互质，再分别判断。判断一个数能否被某个合数整除， 一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积 的形式，并且这些数两两互质，再分别判断。 二、 数的整除的性质： （1）传递性：若，则；）传递性：若，则； |c b|b a|c a （2）可加性：若，则）可加性：若，则|c a|c b|cab（） 。 三、 试
4、除法 在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，另被除数为最大或者最小。在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，另被除数为最大或者最小。 当被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数。当被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数。 当被除数最小时，除以除数会得到一个余数，让除数把余数减去即为所缺少的数，再用被除数把 这些数加上即为所求的数。当被除数最小时，除以除数会得到一个余数，让除数把余数减去即为所缺少的数，再用被除数把 这些数加上即为所求的数。 四、 经典例题 例例 1、在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使、在方框中填上两个数字，可以相同也可以
5、不同，使 432是是 9 的倍数的倍数 （1）请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；）请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； （2）一共有多少种满足条件的填法？）一共有多少种满足条件的填法？ 【分析】【分析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4+3+2+是 9 的倍数，而 4+3+2=9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数 （1）依次填入 3、6，因为 433+2+6=18 是 9 的倍数，所以 43326 是 9 的倍数； - 1 - 第 9 级下超常超常 123学理科到学而思 第七讲 数的整除的综合运用 （2）经过分析容易得到两个方框内的数的和是
6、9 的倍数，如果和是 9,那么可以是（9,0） ； （8,1） ； （7,2） ； （6,3） ； （5,4） ； （4,5） ； （3,6） ； （2,7） ； （1,8） ； （0,9） ，共 10 种情况，还有（0,0）和（9,9） ， 所以一共有 12 种不同的填法。 例例 2、在小于的自然数中，能被、在小于的自然数中，能被11整除，并且数字和为整除，并且数字和为13的数，共有的数，共有 5000个。个。 【分析】 【分析】 （1）两位数字中能被11整除的数字是11、这些数字中显然没有这样的数. 2299（2）三位数，设这个三位数为abc，有13abc+=和11acb+=，显然有，12
7、ac+=1b =，所 以就有91，81，71，51，41，31这7个. 345616789（3） 四位数， 设这个四位数为abcd， 有13abcd+=和(ac+)()1 中， 若bd+1=12ac+= 13d+=， 则或有种组合，b和有种.因此有 4 种； 有和 (bd)()1=，bd1bd+= +3a = ac+4 12 ac+d2 12abc+ 1=+=，则只能1a =，0c =，b和d有 71 种组合. 综上所述，这样的数有个。 74718+=例例 3、 右图的方格表中已经填入了右图的方格表中已经填入了 9 个数，其余个数，其余 20 个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方 格
8、中的数。比如个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方 格中的数。比如 a=510=50，b=5012=600。那么。那么 c 方格内所填的自然数的末尾有方格内所填的自然数的末尾有_个连续的个连续的 0。 cba25201510516141210【分析】 【分析】 由于考虑的是 c 末尾有多少个连续的 0，则只需考虑有多个 5，有多少个 2 即可。 先考虑因数 5，其累积如下左图： 5110621755301495251649753222211000111202014121 0134825917216334711 27 60 41510242再考虑因数 2，其累积过程如上右图。 由于 5
9、多于 2，则 c 方格内所填的自然数有 102 个 0。 例例 4、(、(2008 年数学解题能力展示初赛试题)已知九位数既是的倍数，又是年数学解题能力展示初赛试题)已知九位数既是的倍数，又是11的倍数，那么，这个九位数是多少？的倍数，那么，这个九位数是多少？ 2007 122 9【分析】【分析】 (方法一方法一)设原数2007 12 2ab=， 9|2007 12 2ab4ab+=或者13ab+=， 11|2007 12 2ab20a+22+(071b+ +)0=或者 ()071b+ +(2202)a+11=2ab=或 者9ba=根 据 两 数 和 差 同 奇 偶 ， 得 ：或者4 2ab
10、ab+=3 1a b= =13 9ab ba+=2 11a b=不成立.所以，2007 12 2ab200731212=. (方法二)设原数=2007 12 2ab，该数既能被 9 整除，又能被 11 整除，则该数能被 99 整除。所以21270299ba+=，所以2785ba+= - 2 - 第 9 级下超常超常 123学理科到学而思 第七讲 数的整除的综合运用 所以。13ba=，2007 12 2ab200731212=例例 5、 对怎样的最小值对怎样的最小值 n，数，数12被被2221n? ? ? ? 个2999? ? ? 9个9整除？整除？ 【分析】 【分析】 设，根据 A、B 的特征
11、可对 A、B 进行分解： 122221nA =? ? ? ? 个2999B =? ? ? 9个9 因 为， 根 据 条 件 注 意 到，根据整除的性质，为使 A 被 B 整除，必须且只需算式? 11111011111 111nnnA+=+=?个1个1个11111=（，）1?9 111B =?9个1? 19 111|11 111n+?9个1个1?11?9个11 111 9 111n+? ?个19个1是一个整数，这就说明了两点： 算式?1 111 111n+ ? ?个19个1也是一个整数，所以? ?199 808011111111110011001111111nk+=? ? ? ?个1个1个1 个
12、个个1 9个19个1 算式?8080 10011001k? ? ?个个个1的数字之和应是 9 的倍数，这说明9k = 综上所述， 99180n = =例例 6、六位数、六位数 2008 能被能被 99 整除，整除，是是 . 【分析】 【分析】 法一：20，现在要实现 2008 能被 99 整除，则必须减去99，经试 算可得，此时为 71 990899212028=?28n =28n +法二：利用 99 的整除性，20+08=99，=99-20-8=71 例 7、 （2009 年迎春杯五年级初赛第 8 题） 将数字例 7、 （2009 年迎春杯五年级初赛第 8 题） 将数字 4、5、6、7、8、
13、9 各使用一次，组成一个被各使用一次，组成一个被 667 整除的整除的 6 位数，那么，这个位数，那么，这个 6 位数除以位数除以 667 的结果是的结果是 。 【分析】 【分析】 六位数的数字和是4+5+6+7+8+9=39,是3的倍数， 而667与3互质， 因此这个六位数能被6673=2001 整除，于是它的前三位组成的三位数是后三位组成的三位数的两倍。用 4，5，6，7，8，9 组成两 个三位数，一个是另一个的两倍，容易算出只能是 956 和 478。而 9564782001=478，所以商为 956478667=4783=1434。 例例 8、如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的
14、各位数字和的、如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的 25 倍那么，这个五位数的前两位 的最大值是倍那么，这个五位数的前两位 的最大值是 。 【分析】假设组成这个五位数的个数字分别为a、c、 ，可知其中不能有 0 5bde 由题知，由于25()abcdeabcde =+25|abcde 可知、中有两 个，不妨设，则 abcde55de=abcab=+10c+ 要求这个五位数的最大值，必须使其中最大的数尽可能大不妨设是其中最大的数 a 如果， 则919a =9bcbc=+， 即19bc+是 9 的倍数，bc+可以为 8 或 17 若， 则8bc+=3bc =； 若，则，这两种情况
15、下都没有满足条件的整数b、； 17bc+=4bc =c 如果， 则818a=8bcbc=+， 即18bc+是 8 的倍数，bc+可以为 6 或 14 若， 则6bc+=3bc=； 若，则，这两种情况下都没有满足条件的整数b、； 14bc+=4bc =c- 3 - 第 9 级下超常超常 123学理科到学而思 第七讲 数的整除的综合运用 如果，则 ，即7a =17bc+是 7 的倍数，bc+可以为 4 或 11 或 18若4bc+=， 则；若，则，若3=bc11bc+=4bc =18bc+=，则5bc =，易知只有前一种情况下有满足条件的 整数b、，此时b、分别为 1 和 3 cc717bcbc=+故此时组成五位数的个数字分别为，5，3，1，所以所求最大的五位数为。 57575531五、学案答案 【超常班学案【超常班学案 1】 4 个 【超常班学案【超常班学案 2】14 个 【超常班学案【超常班学案
