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1、1利用导数求解恒成立问题适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）60知识点不等式的相关性质导数与函数单调性的关系函数的极值与最值教学目标1、理解不等式的相关性质2能在具体的不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究有关知识解决相应的问题. 教学重点能在具体的不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究有关知识解决相应的问题.教学难点问题的转化2教学过程1、课程导入不等式恒成立问题是数学试题中的重要题型，涉及数学中各部分知识，但主要是函数中的不等式恒成立问题和数列中的不等式恒成立问题，涉及题型一般有两类：一是已知不等式恒成立，求参数的取值范围，
2、解决这类问题的基本方法是相同的，首选方法是利用分离参数转化为求新函数、新数列的最值问题，如果不能分离参数或者分离参数比较复杂时，一般选择函数的方法，通常利用函数的最值解决；二是证明不等式恒成立，在函数中一般选择以算代证，即通过求函数的最值证明不等式3二、复习预习1不等式的相关性质2导数与函数单调性的关系,函数的极值与最值,3问题的转化4三、知识讲解考点 1 xD，f(x) g(x)的研究对于形如xD，f(x) g(x)的问题，可转化为xD， f(x)g(x) 0，再转化为或，最后转化为 at x at x或. minat x maxat x5考点 2 x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C的
3、研究对于形如x1，x2D，|f(x1) f(x2)|C的问题，因为|f(x1) f(x2)| f(x)maxf(x)min，所以原命题等价为f(x)maxf(x)minC.6考点 3 x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|的研究形如x1，x2D，|f(x1) f(x2)|a|x1x2|这样的问题，首先需要根据函数f(x)的单调性去掉|f(x1)f(x2)|a|x1x2|中的绝对值符号，再构造函数g(x)f(x) ax，从而将问题转化为新函数g(x)的单调性7考点 4 xD，f(x)g(x)的研究对于xD，f(x)g(x)的研究，先设h(x)f(x)g(x)，再等价为xD，h(x)
4、max0，其中若g(x)c，则等价为xD，f(x)maxc.8考点 5 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究对于x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，若函数f(x)的值域为C1，函数g(x)的值域为C2，则该问题等价为C1C2.9考点 6 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究对于x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，第一步先转化为x2D，f(x1)ming(x2)，再将该问题按照探究点一转化为f(x1)ming(x2)min.10四、例题精析【例题 1】已知函数，若对任意，都有恒成立，求a的取值范围 lnfxax 22g xxax aR 1,ex f xg x11【答案
5、】由，得，即 f xg x 0f xg x2ln2xx axx由于，且等号不能同时取得，所以， 1,exln1xx ln xxln0xx从而恒成立， 22 lnxxaxx2min2 lnxxaxx设求导，得 22=1elnxxt xxxx， 212ln= lnxxxtx xx 因为，从而，在上为增函数 1,ex10,ln1,2ln0xxxx 0tx t x 1,e所以，所以 min11t xt 1a 【解析】在处理f(x)c的恒成立问题时，如果函数f(x)含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f
6、(x)的最值12【例题 2】已知函数f(x)ax3bx23x(a，bR)，在点(1，f(1)处的切线方程为y20.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间2,2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|c，求实数c的最小值13【答案】(1)f(x)3ax22bx3，根据题意，得Error!即Error!解得Error!f(x)x33x.(2)令f(x)3x230，即 3x230，解得x1，x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)00f(x)2极大值极小值2f(1)2，f(1)2，当x2,2时，f(x)max2，f(x)min2.则对于区间2,2上任意两个自变量的
7、值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min4，所以c4，即c的最小值为 4.【解析】在处理这类问题时，因为x1，x2是两个不相关的变量，所以可以等价为函数f(x)在区间D上的函数差的最大值小于c，如果x1，x2是两个相关变量，则需要代入x1，x2之间的关系式转化为一元问题14【例题 3】已知函数f(x)x1alnx(aR)(1)求证：f(x)0 恒成立的充要条件是a1；(2)若a1 时，f (x)0，所以函数f(x)在(1，)上是增函数，当 00.axxax(i)当a0 时，f (x)0 恒成立，所以函数f(x)在(0，)上是增函数而f(1)0，所以当x(0,1)时
8、，f(x)0 时，因为当xa时，f (x)0，所以函数f(x)在(a，)上是增函数；当 011，这与a 矛盾32当 10，2323所以xa时，f(x)取最小值，23因此有f3，这与 ，这符合a3.2392综上所述，a的取值范围为a .92解法二：由已知得：ax，x310x210x2设g(x)x(1x2)，g(x)1，10x220x31x2，g(x) .92【解析】解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间1,2的关系；解法二是用的参数分离，由于ax2x310 中x21,4，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论【例题 5】设函数f(x)x3x2x4.131353(1)求f(
9、x)的单调区间；(2)设a1，函数g(x)x33a2x2a.若对于任意x10,1，总存在x00,1，使得f(x1)g(x0)成立，求a的取值范围22【答案】(1)f(x)x2x ，令f(x)0，即x2x 0，g(x2)单调递增又 g(3)=102，g(3)=30，故g(x2) max=102 . 对x13,3，x23,3，f(x1)g(x2)， f(x1)max g(x2)max，即 147c102，即c45 .【解析】对于xD，f(x)c，可以转化为f(x)minc；xD，cg(x)，可以转化为cg(x)min；xD，cg(x)，可以转化为cy|yg(x)，对于由这些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题，可以采取分步转化的方法来处理2对于含有参数的恒成立问题或存在性问题，常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题
