考研数学一模考试卷一

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1、 考研数学一模考试卷一考研数学一模考试卷一 一、填空题（本题共一、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） （1）设),)(2sin2cos(2121常数为+=ccxcxceyx为某二阶线性常系数齐次微分方程（二阶导数项系数为 1）的通解，则该方程为 。 （2） 设),(wu有一阶连续的偏导数，),(yxzz =是由0),(=bxayazcxcybz所确定的函数，021ab，则=+ yzbxza . (3)设1),(222+=zyxzyx,则=zdVcos 。 （4）设,cos11)(2oxxxf+=上的全体

2、原函数是 。 （5）设TTkaaEAa+=,)3, 0 , 1 (,其中 E 是 3 阶单位矩阵，0k，若 A 是正交矩阵，则=k 。 （6）已知随机变量 X 服从标准正态分布，在)(kxxX=条件下随机变量 Y 服从正态分布),1 ,(xN则 Y 的密度函数为 。 二、选择题（本题共二、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 。分，每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 。 （7）当0x时，下面几个无穷小中阶数最高的是

3、（A）1sin132+x （B）xxsintan （C）53254xxx+ （D）xex2cos22（8）设0，4区间上)(xfy =的导函数的图形 如右图，则)(xf （A）在（0，2）单调上升且为凸的，在（2，4） 单调下降且为凹的 （B）在（0，1） ， （3，4）单调下降，在（1，3）单调上升，在（0，2）是凹的，在（2，4） 是凸的。 （C）在（0，1） ， （3，4）单调下降，在（1，3）单调上升，在（0，2）是凸的，在（2，4） 是凹的。 （D）在（0，2）单调上升且是凹的，在（2，4）单调下降且是凸的。 （9）下列 4 个命题： 设)(,(00xfx是)(xfy =的拐点，则0

4、xx =不是)(xf的极值点。 设0xx =是)(xf的极小值点，)(xf在0xx =二阶可导，则0)(,)( =ooxfoxf 设),()(baxf在只有一个驻点0x,且0x是)(xf的极小值点， 则)(oxf是)(xf在),(ba的最小值。 若0)(DYDX，则 （A）X 与 X+Y 一定相关 （B）X 与 X+Y 一定不相关。 （C）X 与 XY 一定相关。 （D）X 与 XY 一定不相关。 （14）设总体 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布nnYYXXN,), 0(112?和分别是来自总体 X 和 Y 容量都为 n 的两个简单随机样本，样本均值和方差分别为22,;,YxSYSX，则

5、（A）), 0(2NYX （B）)22(222+nxSSYX（C）)22( 22 +nt SSYXYX（D）) 1, 1(22 nnFSSYX三、解答题三、解答题 （15）设+=tdttdtxfxxarccosarcsin)(22cos 0sin 0（）求)(xf )20( x （）求)(xf )20( x （16）设)(),(22yxrruyxu+=，当0r时有连续的二阶偏导数且满足 )()(122 2222yu xu ryu xu +=+（*） 求函数),(yxu （17）设=+ +=012 !)!12(!)!2()(nnxnnxy （）求证：)(xy满足方程 ) 1( , 1)1 (2b

6、afafbfaf， 求证：对任意给定的),(+k，存在),(ba使得)()(kff= （19）求曲线积分+=LxydzzxdyyzdxJ,3其中 L 是曲线 =+=+013422zyyyx，且顺着x轴的正向看是沿逆时针方向。 （20） （本题满分 9 分） 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2，621=是 A 的二重特征值，若Toaa), 1 (1=，,) 1 , 1 , 2(2Ta =Ta) 1, 1 , 0(3=都是矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量。 （1）求a的值。 （2）求 A 的另一特征值和对应的特征向量 （3）若fT,) 1, 2 , 2(=求nA （21）本题满分 9 分 已

7、知n维向量21,aa线性无关，21,线性无关，且ia与j相互正交)2 , 1, 2 , 1(=ji 证明： （1）2 212211)()(aaaaaaTTT （2）2121,aa线性无关 （22） （本题满分 9 分） 将一枚硬币重复掷 3 次，以 X，Y 分别表示 3 次投掷中正面、反面出现的总次数，记 试求时当时当 =YXYXz, 1, 1： X 与 Z 的联合分布 X 与 Z 的相关系数 （23） （本题满分 9 分） 工厂生产某种设备其使用寿命 X（单位：年）服从参数为41的指数分布，工厂规定：出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换，现今工厂售出 40 台该种设备。 试求一年内没有一台

8、设备需要调换的概率a。 如果每售出一台设备工厂可获得利润 100 元，调换一台设备，工厂亏损 200 元，试求售出 40 台该种设备厂方获利的期望值。 考研数学一模考试卷参考解答 考研数学一模考试卷参考解答 一、填空题一、填空题 （1） 【答案】052=+ yyy 【分析】由通解的形式可知该方程的特征方程的两个特征根1，i212=，从而得知特征方程为 21212 2)()( 1+=0522=+ 因此，所求微分方程为 052=+ yyy （2） 【答案】c 【分析 1】方程两边分别对yx,求偏导数得 0)()(321=+bxzacxzb 0)()(321=+ayzacyzb 第一式乘a加上第二式

9、乘 b 得 )()( 112yzbxzaayzbxzab+=cab)(21 因此，cyzbxza=+【分析 2】两边求全微分得 0)()()(321=+bdxadyadycdxcdybdz yzbxzadyacdxcbdzab+=)()()(312321 =cacbcbaab=+)()(13123 21（3） 【答案】) 1cos1(sin4 【分析】用先yx,后z的积分顺序，为 2221: )(),(zyxzDyx+,11z =11 )(102cos)1 (2coscoszDzdzzzdxdydzzdV =sin2sin1sin2sinsin21010210210+=zdzzzzzdzz =

10、) 1cos1(sin4)cos1cos(4)cos(41010=+=zdzzzd (4)【答案】cxF+)(,其中 +=xxxxxxF22)2tanarctan(2120202)2tanarctan(21)( 【分析】+=+=+xxddxxx xdx2222tan2tan1cos1cos1cos1=+= +Cx xxd )2tanarctan(21)2tan(12tan212令 +=xxxxxxF22)2tanarctan(2120,202)2tanarctan(21)( 则)(xf的全体原函数是 CxF+)( ), 0(x 【评注评注】xxf2cos11)(+=在o，连续， 它一定存在原函

11、数， 因为)2tanarctan(x在2=x无定义，所以我们用不定积分法只是分别求得)2,ox与,2(上的原函数，我们只要在2=x处将它们连续地拼接起来就得到)(xf在o,上的原函数。 （5） 【答案】-5 【分析】A 是正交矩阵EAAAATT= 由于)()(TTTTTTkaaEkaaEKaaEkaaEAA+=+= =TTTaaaaKkaaE22+ 而 aaT=(1 0 -3)10301= 因此，0102)102(22=+=+=kkEaakkEAATT【评注】本题考查矩阵的运算，正交矩阵的概念等，注意区别aaT与Taa，前者是一个数，后者是 3 阶矩阵 （6） 【答案】. 2 4121)(yY

12、eyf=【 分 析 】 由 题 设 知X的 密 度 函 数2221)(xxexf=， Y的 条 件 密 度 函 数)(xyfXY=2)(2121xye，所以（X，Y）的联合密度函数 )22(21)(21222221 21)()(),(yxyxxyxXYXeexyfxfyxf+=， =)2(21212 221yxyxe+ 由此可知（X，Y）服从二维正态分布2 4121)(),2 , 0(),21; 2 . 0 ; 1 . 0( yYeyfNYN=二、选择题 二、选择题 （7） 【答案】D 【分析】 25322231 232454 ,31sin311)sin1 (1sin1xxxxxxxx+=+

13、(A),(C)均是 2 阶的。 )cos1 (tansintanxxxx= （B）是 3 阶的 用泰勒公式 )(! 21122totte+= )0( t )(! 41 ! 211cos442tottt+= )0( t 未确定（D）的阶。 由)()2(2121422222xoxxex+=)(0)2(! 41)2(2112cos442xxx+= )(034)(0)322(2cos444422xxxxxex+=+=（D）是 4 阶的。 因此应选（D） （8） 【答案】B 【分析】当) 1 ,(ox或)4 , 3(x时 )(0)(xfxf在（0，1） ， （3，4）单调下降，当)3 , 1 (x时)(

14、0)(xfxf?在（1，3）单调上升。又)(xf在（0，2）单调上升)(xf在（0，2）是凹的， )(xf在（2，4）单调下降)(xf在（2，4）是凸的。因此，应选（B） （9） 【答案】B 【分析】要逐一分析它们是否正确 命题是错的。函数图形如图所示 则)(,(0oxfx是)(xfy=的拐点 且oxx =是)(xf的极小值点。 命题是错的，在极小值点oxx =处可 以有0)(0= xf 如ooxxxxxf=,)()(4是)(xf的极小值点。 0)(12)(2= =oxxooxxxf 命题是错的，若加条件：)(xf是（ba,）连续，则该命题正确；若)(xf不连续，则命题不正确， 如图所示，)(xf在 （ba,） 有唯一驻点ox， 是)(xf的极小值点， 但)(oxf不是)(xf在),(ba的最小值。 命题是正确的，若)(bf是)(xf在,ba的最大值且)(bf存在，则 0)()(lim)( 0= bxbfxfbf bx于是当)(,