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1、 非线性动力学综合实验非线性动力学综合实验 学号：学号：ZY1405219 姓名：姓名：马马 勇勇 2015 年年 6 月月 1 日日 非线性动力学综合实验 1 1 题目. 1 2 建立运动方程 . 1 2.1 在左侧凹槽中运动的方程 . 2 2.2 小球飞跃过程的方程 . 3 2.3 在右侧凹槽中的运动方程 . 4 2.4 小球的运动过程 . 5 3 数值仿真 . 5 4 结果讨论 . 5 4.1 小角度运动时的固有频率 . 5 4.2 数值结果 . 6 4.3 结果讨论 . 8 附录 . 9 非线性动力学综合实验 1 1 题目 直径 16mm 钢球可以在半径为 R 的双圆弧凹槽内纯滚动，两
2、个凹槽的中心距为 1.85R，凹槽以 x=Asint 规律沿水平方向晃动。 1、试写出小球的运动方程； 2、简单讨论怎样的晃动规律下小球可以在两个凹槽内运动。 R=100R=100图 1 模型图 2 建立运动方程 如图 2 所示，建立绝对坐标系xOy和相对坐标系x O y 。初始时刻，凹槽静止，其上表面中心位于绝对坐标原点处，此后凹槽沿着 x 方向以 x=Asint 的规律运动；相对坐标系x O y 与凹槽固连，原点O位于凹槽上表面中心位置。 R=100R=10012xyOxyO图 2 坐标系 凹槽以 x=Asint 的规律运动，则凹槽的加速度为：2sinxAt 。接下来，在相对坐标系中建立小
3、球的运动方程。 非线性动力学综合实验 2 2.1 在左侧凹槽中运动的方程 在相对坐标系x O y 中研究小球在左侧凹槽中滚动的运动方程，做如下假设：1）凹槽表面光滑，即不存在摩擦阻力，同时忽略其他阻力；2）小球的半径rR，即小球的运动可以看作是质点运动，可以忽略小球自身的转动；3）小球在凹槽中运动时，不会出现脱离凹槽的情况。则小球的受力分析如图 3 所示： R=1001mgTF1xyO图 3 小球在凹槽中运动的受力分析图 图中惯性力2sinFmAt ，以1为参数，在凹槽切线方向和法线方向建立运动方程： 1112 111cossin()sincos()Fmgm RrTmgmam Rr(1) 化简
4、式(1)中的切线方程得： 2111sincossinAtg RrRr 所以小球在左侧凹槽运动的方程为： 211110110sincossinA(21.182)0ttAtg RrRrRr (2) 其中，121.18是小球在左侧凹槽中运动的条件。 小球在左侧凹槽中运动时，相对坐标系x O y 下的坐标为： 非线性动力学综合实验 3 110.925sincosxRRyR (3) 在绝对坐标系xOy下的坐标为： sinxAtx yy (4) 2.2 小球飞跃过程的方程 当小球运动到两端或是中间位置时，小球会出现飞跃，离开凹槽做斜抛运动，以下在相对坐标系中分析小球飞跃过程的运动。 xyOxyO Fmg图
5、 4 小球在飞跃过程中的受力分析 2sinFxAtm yg (5) 对式(5)进行积分，得到运动轨迹为： 122 12sin1 2xAta taygtb tb (6) 其中1212,a ab b为积分常数，记1t为小球离开凹槽的时刻，则 111111111100.38cossint tt txyRuRvR (7) 带入式(6)可以得到积分常数，从而可以得到运动轨迹如下式： 非线性动力学综合实验 4 11111112 11111111sin(cos)sin(cos)1()()2 coscos()xAtuAttAtuAttxyg ttv ttyuAtuAtvg ttv (8) 小球落下的时候可能会
6、从两侧飞出凹槽， 也可能落在左侧凹槽或是右侧凹槽中， 可以利用以下条件进行判断（0y ） ： 2222192.5()(0.925)()(0.925)1.925xRryRrRxyRrRxxRr 从左侧飞出落在左凹槽落在右凹槽从右侧飞出(9) 2.3 在右侧凹槽中的运动方程 当2tt时，小球与凹槽发生碰撞，假设碰撞后，切向速度保持不变，法向速度减小为零。此后在右侧凹槽中做类似于左侧凹槽中的运动，其运动方程如下： 22221222 212 2 2sincossincossin( 1.1822)arctant tt tAtg RrRr uv Rr Rx y (10) 小球在右侧凹槽运动时，相对坐标x
7、O y 下的位移为： 220.925sincosxRRyR (11) 绝对坐标xOy下的位移为： sinxAtx yy (12) 非线性动力学综合实验 5 2.4 小球的运动过程 首先，在外部激励的作用下，小球在左侧凹槽中运动；当小球离开左侧凹槽时，利用小球飞跃过程方程计算小球的运动轨迹， 并利用下落条件判断下一步的运动左侧飞出、 右侧飞出、落回左侧凹槽、落到右侧凹槽；若是落入了左侧或是右侧凹槽中，则继续按照相应的运动方程计算轨迹，直到从左右两侧飞出或是时间终止。 3 数值仿真 利用 Matlab 编程仿真，流程图如图 5 所示，源程序见附录。 落在左侧凹槽落在右侧凹槽左 右 两 侧 飞 出
8、或 时 间 终止左侧凹槽中运动右侧凹槽中运动初始位置判断结束左侧凹槽中运动离开凹槽时 间 终 止时 间 终 止图 5 数值仿真流程图 左右两侧凹槽中运动时，其运动方程为二阶非线性微分方程，采用数值算法，取时间不长为0.001t ；飞跃过程可以求解出精确解，利用精确解结算运动轨迹。 4 结果讨论 4.1 小角度运动时的固有频率 当外部激励为零时，则小球在凹槽底部附近摆动的方程为： 非线性动力学综合实验 6 singg RrRr (13) 可以计算出其固有角频率： 10.3cg Rr(14) 4.2 数值结果 1rad/s 5 rad/s 10 rad/s xt0246810-100-98-96-
9、94-92-90xt0246810-120-110-100-90-80-70xt0246810-200-1000100200xtyx -200-1000100200-1000100200300yx-200-1000100200-1000100200300yx-200-1000100200-1000100200300yx 15 rad/s 20 rad/s 50 rad/s xt0246810-200-1000100200xt0246810-200-1000100200xt0246810-200-1000100200xtyx -200-1000100200-1000100200300yx-200
10、-1000100200-1000100200300yx-200-1000100200-1000100200300yx图 6 不同激励角速度下的运动情况 取29800/gmm s，0.01ts ，10endts，保持凹槽运动的振幅10Amm不非线性动力学综合实验 7 变，改变角速度，观察相对位移随x的变化以及小球的相对运动轨迹图，结果如图 6 所示 （长度单位为 mm， 时间单位为 s） 。 通过对比相对位移x的变化图 （纵坐标刻度不一致） ，可以看出共振现象：当外部激励频率为10/rad s时，小球的振幅最大，而且可以从左侧凹槽飞跃到右侧凹槽；当外部激励频率1,5/rad s时，振幅较小小球无
11、法飞跃到右侧凹槽；当外部激励较大时，15,20,50/rad s时，小球运动的振幅减小，无法飞跃到右侧凹槽。 保持角频率10/rad s不变，改变振幅 A，不改变其他参数，观察相对位移随x的变化以及小球的相对运动轨迹图，结果如图 7 所示： A 1mm 10 mm 20 mm xt0246810-200-1000100200xt0246810-200-1000100200xt0246810-200-1000100200xtyx -200-1000100200-1000100200300yx-200-1000100200-1000100200300yx-200-1000100200-1000100200300yx图 7 不同激励振幅下的运动情况 在共振频率附近，外部激励的振幅越大，小球振幅增长越快，即能量输入越快。当振幅1Amm时，10/rad s，增加仿真时间，取50endts，结果如图 8 所示，小球不能飞跃到右侧凹槽中。 01020304050-200-100010020
