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1、2 0 1 5年 2月 F e b ，2 01 5 计 算 数 学 M ATHEM ATI CA NUM ERI CA S I NI CA 第 3 7卷第 1期 Vo 1 3 7No 1 一类 He r mi t i a n鞍点矩阵的特征值估计木 1 ) 黄 娜 马昌凤 ) ( 福建师范大学数学与计算机科学学院， 福州3 5 0 1 1 7 ) 谢亚君 ( 福建江夏学院数理系， 福州 3 5 0 1 0 8 ) 摘 要 本文研究了一类大型稀疏 He r mi t i a n鞍点线性系统 A 三 () ( X ) = ( 9f - b 系数矩阵的特征值， 其中 BC 是 He r mi t i
2、a n正定阵矩阵， EC 是列降秩 本文分别给 出了该系数矩阵正特征值与负特征值界的一个估计式， 同时通过数值算例验证本文所给出的特征 值界的估计是合理且有效的 关键词： 鞍点问题； He r mi t i a n矩阵； 奇异； 特征值估计 MR ( 2 0 0 0 )主题分类： 6 5 F 1 0 ， 1 5 A 2 4 1 引 言 考虑大型稀疏 He r mi t i a n鞍点线性代数方程组： 兰( ) ( ) = ( ) 三 6， c ， 其中 B P是 H e r mi t i a n矩阵， EC p q 列降秩， AC ， 且 n=P+q ， =( ， Y ) C ， b =( f
3、 ， l9 ) C ， 及 X ，fC ， Y ， gc 。 形如 ( 1 1 )的线性代数方程组广泛应用于如混合有限元近似二阶椭 圆问题、计算流体力 学、最小二乘问题、地球物理数据的反演、半导体器件方程、弹性问题或斯托克斯方程等一 系列科学与工程计算领域中 对于求解线性方程组 ( 1 1 ) ， 现 已存在许多各种有效的迭代法， 譬 如： Uz a w a型迭代格式、投影迭代法、零空间迭代法、分裂法、类超松弛迭代法等等 为了能够快速有效地通过 K r y l o v子空间法求解 问题 ( 1 1 ) ， 往往需要借助预条件子将方 程 ( 1 1 ) 进行等价变换， 使得预处理之后的方程组的系
4、数矩阵的特征值有好的性质， 比如： 特征 值 比较聚集或者特征值的实部均是正数为了构造 出高质量的预条件子， 必须知道问题 ( 1 1 ) 系数矩阵 Ac 的特征值的界 卜引 近几年， 也有许多学者致力于方程 ( 1 1 ) 系数矩阵特 征值界的估计的研究 1 6 - 在文献 9 中， 白中治等人估计了当 B c p 是 H e r mi t i a n正 定， AC ” 是非奇异时， 矩阵 A的特征值 的界 在 2 0 1 3年， 白中治研究了当 B P是 2 0 1 4 年 4月 1 3日收到 )国家 自然科学基金 ( 1 1 0 7 1 0 4 1 ， 1 1 2 0 1 0 7 4 )
5、 资助项 目； 福建省 自然科学基金 ( 2 0 1 3 J 0 1 0 3 7 ) 资助项 目 ) 通讯作者： 马 昌凤， E ma i l ： ma c f f j n u e d u c n 1期 黄娜 等： He r mi t i a n鞍点矩阵的特征值估计 9 3 H e r m i t ia n 不定矩阵且 AC n X 非奇异时， 矩阵 的特征值的界 1 1 在文献中 1 1 ， 白中治 通过将矩阵 B 分成非奇异与奇异两类进行讨论当矩阵 B 奇异时， 白中治借助矩阵 目 的零 空间及相空间进行研究即， 令矩阵 6 与 的列向量分别构成矩阵 B零空间与相空间的一 组正交基， 令
6、U ： 6 0 1 ， 0 0 则 R B R b 0 U A U ： 1 0 0 E Rb E 6 由于 R , BR b是非奇异的， 从而可以利用 B是非奇异时所给 出的结论进行估计 但是， 矩阵 B 的零空间的一组基并不容易得到 受前述工作的启发， 本文给 出当矩阵 B是 He r mi t i a n正定阵且矩阵 E是列降秩时， 系数 矩阵的特征值界 的估计， 分别给出了该系数矩阵正特征值与负特征值界的一个估计式， 同时通 过数值算例验证本文所给出的特征值界的估计是合理且有效的 为方便起见， 本文用 日 0( H 0 )表示 日 是 He r mi t i a n正定阵 ( H e r
7、 mi t i a n半正定 阵) ， 用 H K ( H K) 表示 HK 0( H K 0 ) ， 以及 H 一 z C札，z#O Z 一 由 ( 2 2 ) 、( 2 3 ) 式得 ) m a x ( ma x ， F ) + 及 i ( ) ra i n 5 ， ，y ) 一、 Q 即s p ( ) m i n 5 ， 7 ) 一v ， m a x , ， F ) +垌 从而该定理结论得证 口 注 1 定理 1的结论与矩 阵 E 特征值 的下界无关 因此， 这个定理 同样适用于矩阵 EC p q 降秩的情况 另外， 如果已知矩阵 EC p q的最大奇异值 ， 那么有 【 2 = 2 事
8、实上， 矩阵 E的奇异值等于矩阵 E E 的特征值的开方 注 2 当矩阵 E=0时， 矩阵 A则退化为块对角阵 此时， 定理 1的结论退化为 s p ( A ) mi n 6 ， 7 ) ， m a x X ， F ) 上式非常准确地给出了矩阵 的特征值 的界由于矩阵的特征值为其元素的连续函数， 故可 以断言， 当 _I ll 1时， 定理 1 关于矩阵 的特征值的估计是比较精确的， 其中， lI 1l 表示某 一矩阵范数 基于定理 1 ， 本文给出问题 ( 1 1 ) 系数矩阵特征值界的估计 定理 2 设矩阵 BC p P 是 H e r m i t i a n正定阵， 且 s p ( B
9、) C ， EC p q 是列降秩， 且 P q ， s p ( E E) 0 ， Q ， 则 s ) m a x 一 ， 一 ( 1 + e ) ) ， + m in ， e 其中 e ： ( + ) 4 9 6 计 算 数 学 2 0 1 5住 证明因为 B是 H e r mi t i a n正定阵， 所以 A 0 由 定理 1知， s p ( A ) ra i n 5 ， ，y ) 一 ， m a x a ， I 1 +倜 = 一、 ， +、 另一方面， 令 P =( E 一 ； ) ， 通过简单运算可得 A=PWP ， 这里 =( 言 一 E 一 E ) 由于 A 是 H e r mi
10、 t i a n矩阵， 故 由引理 1 可 得 A m a x ( ) =n 1 a X Z ECn Z 0 = maX z EC ， z 0 = m aX z E C n， z O 一 ( 2 9 ) 一= 一 1 ) z E Cn ， z o z C n ， z O z 一 6 、 另外， 由定理条件 司知 B是 H e r mi t i a n正定阵， s p ( B) AJ且 s p ( E E) l 0 ， ， 因此有 (E B ) E B 一 1 = B - 1E E B 一 Q B 一 。 昙 ， 其中第一个不等式成立是因为E E 与 E E有相同的非零特征值， 从而也有 s p
11、 ( E E ) 0 ， Q 故矩阵 E B一 的最大奇异值不超过 由引理 2可得 c + ( + ) - i + O 结合 ( 2 ， 6 ) 、( 2 7 ) 、( 2 8 ) 、( 2 9 )式以及引理 1有 A a x ( ) A( 1 +) ， 及 n m i n ( A ) 一 ( 1 +e) 结合 ( 2 5 ) 可得结论 口 定理 3 设矩阵 BC p X 是 H e r m i t ia n正定阵， 且 s p ( B ) 5 ， 】 ， EC p q 是列降秩， P q ， 且 r a n k ( E ) =r ， s p ( E E ) 0 u ， Q 】 ， 则 s )
12、 m a x 一 ， 一 ( + e ) ) ， U 0 ) u + m in ， ) ， 其中 0为矩阵 A 的 qr重特征值， e 由式 ( 2 4 ) 定义， 一Q 叩 一 证明 通过简单计算， 显然有 ( 一 E ； ) ( E。 ) ( 一 E ) = ( 言 一 E 一 E ) ：= 由于 B是 He r mi t i a n正定阵， 故 B 存在且可逆 从而 r a n k ( E B 一 E ) =r a n k ( E B 一 B E ) =r a n k ( B 一 E ) =r a n k ( E ) =r 因此， 矩阵 有 P个正特征值， q r 个零特征值以及 r个负
13、特征值由于矩阵 与矩阵 A合 同， 故矩阵 A也有 P个正特征值， q r 个零特征值以及 r个负特征值 设矩阵 的特征值为 A 1 A 2 p + q 由上述分析可得 t 0 ， i= 1 ， 2 ， 一 ， P， 9 8 计算数 学 2 0 1 5年 由定理 2可知 =0 ， i= P+ 1 ， ， P+ q r ， 0 ， i =1 ， 2 ， ， r 由于 s p ( E E ) 0 U ， Q ， 故 u 盯 【 2 A p Wq - r +l ra i n ) l l=1 ra i n。ma x A x ， ( 2 1 3 ) o 0时， 文献 f1 5 中引理 21给出了矩阵 的
14、所有特征值：口 0( 重数为 q-r ) ， ( 重数为 p-r ) ， ( Q士 )， ：l ， ( 2 1 4 ) _三 =： 塞 ( 3 ， 最 小 正 特 征 值 不 小 于 ， 这 与 (2 1 4 ) 的 结 论 一 致 ， 而 且 说 明 霉 理 ( 3 正 特 的 估 计 是 相 对 比 较 精 确 的对 于 最 大 负 薅 准 磊 芬 i l 2 =0 5和 Q= 1 ， 通过绘制如下的误差函数 一 一 ， ( ， ) = 一互1 ( V w+a 2 ) 粤 堡 釜 由 图 1 看 l出 ， 最 大 误 差 不 超 过 0 0 3 5 由 图 2 可 看 出 ， 此 时 的 误 差 非 常 小 ， 最 大 误 差 不 超 过 6 1 0 。对于最大、最小特征值估计 的有效性 ，可见 1 1 0 0 计 算 数 学 2 0 1 5笠 图 1【 2 =0 5时的误差函数 ， ( ， )图像 图 2 Q=1时的误差函数 ， ( ， u )图像 3 一个算例 本节给出一个算例来验证所做的理论分析 例 1 考虑具有如下形式的奇异鞍点问题 ( 1 1 ) ： B =I T 、) 瓞 2 c22
