数学竞赛辅导资料(24)

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1、27. 连续正整数的性质 作者德化一中 颜墀策 甲 内容提要甲 内容提要 一.两个连续正整数的性质 1. 两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数. 2. 两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是 0，2，6. 3. 两个连续正整数的和是奇数，差是 1. 4. 大于 1 的奇数都能写成两个连续正整数的和. 例如： 312， 793940， 1115556. 二.连续正整数的个数 例如：不同的五位数共有几个？这是计算连续正整数从 10000 到 99999 的个数，它 是 9999910000190000（个）. 1. n位数的个数，一般可表示为 910n1 (n为正整数，1001). 例如一

2、位正整数从 1 到 9 共 9 个（9100） ， 二位数从 10 到 99 共 90 个 （9101） ， 三位数从 100 到 999 共 900 个（9102） ， 2. 连续正整数从 n 到 m 的个数是 mn+1. 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模 m 有同余数的连续数的个数的计算，举例如 下：从 13 到 49 的连续奇数的个数是21349119. 从 13 到 49 的连续偶数的个数是21448118. 从 13 到 49 能被 3 整除的正整数的个数是31548112. 从 13 到 49 的正整数中除以 3 余 1 的个数是31349113. 你能从中找到计算规律吗？ 三

3、.连续正整数的和 123n2)1 (nn+（n 是正整数）. 从 a 到 b 的连续正整数的和=2) 1)(+abba(a、b 为正整数). 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模 m 有同余数的和，举例如下： 1. 11131555（1155）223759. （从 11 到 55 有奇数21155123 个）. 812. 11141753（1153）215480. （从 11 到 53 正整数中除以 3 余 2 的数的个数共31153115.） 四.由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和 1. 123456789 各数位上的数字和是（09）（18）（45）9545. 2. 计算 1234

4、99100 各数位上的数字和可分组为： （0，99） ， （1，98） ， （2，97） （48，51） ， （49，50）共有 50 个 18，加上 100 中的 1. 各数位上的数字和是 18501901. 五.连续正整数的积 从 1 开始的 n 个正整数的积 123n 记作 n！ ，读作 n 的阶乘. 1. n 个连续正整数的积能被 n！整除. 如：111213 能被 123 整除；979899100 能被 4！整除； a（a+1）(a+2)(a+n) (a、n 是正整数)能被（n+1） ！整除. 2. n！含某质因数的个数.举例如下： 12310 的积中含质因数 2 的个数共 8 个.

5、 其中 2，4，6，8，10 都含质因数 2 暂各计 1 个，共 5 个； 其中 422 含两个质因数 2 增加了 1 个； 其中 823 含三个质因数 2 再增加 2 个. 123130 的积中含质因数 5 的个数的计算法： 其中 5，10，15，125，130 均含质因数 5 暂各计 1 个，共 26 个； 其中 25，50，75，100 均含 52有两个 5 各加 1 个， 共 4 个； 其中 12553含三个 5 再增加 2 个. 积中含质因数 5 的个数是 32. 乙 例题乙 例题 例 1.写出和等于 100 的连续正整数. 解：1002504255201010. 其中 2 个 50

6、 与 10 个 10 都不能写成连续正整数； 而 4 个 25 可写成：1213，1114，1015，916， 得第一组连续正整数 9，10，11，12，13，14，15，16； 5 个 20 可写成：20，1921，1822， 得第二组连续正整数 18，19，20，21，22. 例 2.一本书共 1990 页用 0 到 9 十个数码给每一页编号，共要多少个数码？ 解：页数编码中，一位数 1 到 9 共 9(个)； 两位数 1099，共 90 个，用数码 902180(个)； 三位数 100999，共 900 个，用数码 90032700(个)； 四位数 10001990，共 991 个，用数

7、码 99143964(个). 共用数码 9180270039646853(个). 82例 3.在用连续正整数从 1 到 100 这 100 个数字顺次连接成的正整数：123499100 中， 问：它是一个几位数？ 它的各位上的数字和是多少？ 如果从这个数中划去 100 个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前 十位数是多少？ 解：这个数的位数=91+902+3=192； 各位上的数字和=1850+1=901(见第四点)； 要划去 100 个数，从最高位开始并留下所有的 9，先划去：1 到 8，10 到 18， 19 中的 1，20 到 28，29 中的 2，50 到 56 这里共有 81

8、91919191498 个， 再划去 57，58 中的两个 5， 剩下的数的前十位是 9999978596. 例 4.有几个连续正整数的算术平方根的整数部分是 11？ 解：12111，14412. 算术平方根的整数部分等于 11 的正整数x是 112x122. 符合条件的连续正整数是 121，122，123，143.共 23 个. 例 5.已知：两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的 2 倍. 求：这两个连续正整数. 解：设这两个连续正整数为 x, x+1,相同数码的三位数为 100a+10a+a. 根据题意，得 x(x+1)=2(100a+10a+a) 即 x(x+1)=222a

9、.（1） 把 222 分解质因数得， x(x+1)=2337a.（2） 连续正整数的积的个位数只能是 0，2，6 且 0a9. 由（1）可知 a 可能是 1，3，5，6，8. 分别代入（2）只有 6 适合. x(x+1)=3637. 答：所求的连续正整数是 36 和 37. 丙 练习丙 练习 27 1. 除以 3 余 2 的两位数共有_个，三位数有_个，n 位数有_个. 2. 从 50 到 1000 的正整数中有奇数个，3 的倍数个. 3. 由连续正整数连写的正整数 1239991000 它是_位数，它的各位上的数字和是 _. 4. 把由 1 开始的正整数依次写下去，直写到第 198 位为止，

10、那么这个数的末三位数是_，这个数的各位上的数字和是.这个数除以 9 的余数是. 321L位198123(1989 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题) 5. 已知 a=, b=， 那么ab=_； 4 34 21L1199011111个4 34 21L9199099999个ab 的各位上的数字和是_.(可用经验归纳法) 6. 计算连续正整数的平方和的个位数： 83 12+22+32+92和的个位数是_； 12+22+32+192和的个位数是_； 12+22+32+292和的个位数是_； 12+22+32+392和的个位数是_； 12+22+32+1234567892和的个位数是. （199

11、0 全国初中数学联赛题）全国初中数学联赛题） 7. 所有和能等于 120 的连续正整数(仿例 1)共有_组，它们是：_； ；_. 8. 在连续正整数的积 1234100 中： 含质因数 5 的个数是，积的末尾连续的零共个. 9. 恰有 35 个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数是多少？ (1990 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题) 10. 把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有 人. (1998 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题) 11. 计算： 2+4+6+100= 1+4+7+10+100= 5+10+15+100= 12. 如果有 11 个正整数都是小于 20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？如果有 (n+1)个正整数，它们都小于 2n，那么必有两个是互质数，试说明理由. 13. 一串数 1，4，7，10，697，700 的规律是第一个数是 1，以后的每一个数等于它 前面的一个数加 3，直到 700 为止.将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数. 提 示：先求积中含质因数 5 的个数. (1988 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题) 84