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1、第 1页（共 24页）高三数学第二轮专题复习系列高三数学第二轮专题复习系列(7)-(7)- 直线与圆的方程直线与圆的方程一、大纲解读一、大纲解读 解析几何的主要内容是高二中的直线与方程， 圆与方程， 圆锥曲线与方程考查的重点：直线的倾斜角与斜率、点到直线的距离、两条直线平行与垂直关系的判定、直线和圆的方 程、直线与圆、圆与圆的位置关系；圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质、直线 与圆锥曲线的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线的简单应用等，其中以直线与圆锥曲线的位置关系最为重要。 二、高考预测二、高考预测 解析几何是高中数学的重要内容之一，各地区在这一部分的出题情况较为相似，一般两道小题一道大题
2、，分值约占 15%，即 22 分左右.具体分配为：直线和圆以及圆锥曲线的 基础知识两个容易或中档小题，机动灵活，考查双基；解答题难度设置在中等或以上，一 般都有较高的区分度， 主要考查解析几何的本质 “几何图形代数化与代数结果几何化”以及分析问题解决问题的能力. 三、三、 重点剖析重点剖析 1.1.直线的基本问题直线的基本问题： 直线的方程几种形式直线的方程几种形式、 直线的斜率直线的斜率、 两条直线平行与垂直的条件两条直线平行与垂直的条件、 、 两直线交点、点到直线的距离。两直线交点、点到直线的距离。例例1 1已知2 1:220lxm ym+=与2:36lyx= +，若两直线平行，则m的值为
3、 _解析：解析：2226 3136mmm=点评：点评：解决两直线平行问题时要记住看看是不是重合 易错指导易错指导： 不知道两直线平行的条件、 不注意检验两直线是否重合是本题容易出错的地方。例例 2 2 （08 年高考广东卷文 6 理 11） 经过圆2220xxy+=的圆心C， 且与直线0xy+= 垂直的直线方程是解析：解析：圆心坐标是()1,0，所求直线的斜率是1，故所求的直线方程是1yx=+，即10xy+ =。 点评点评：本题考查解析几何初步的基本知识，涉及到求一般方程下的圆心坐标，两直线垂直 的条件，直线的点斜式方程，题目简单，但交汇性很强，非常符合在知识网络的交汇处设 计试题的命题原则，
4、一个小题就把解析几何初步中直线和圆的基本知识考查的淋漓尽致。 易错指导易错指导：基础知识不牢固，如把圆心坐标求错，不知道两直线垂直的条件，或是运算变 形不细心，都可能导致得出错误的结果。 2.2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系. .例例 3 3 （08 高考山东卷理 11）已知圆的方程为22680xyxy+=设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A10 6B20 6C30 6D40 6解析：解析：圆心坐标是()3,4，半径是5，圆心到点()3,5的距离为1，根据题意最短弦BD和最长
5、弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为222 514 6=，所以四边形ABCD的面积为1110 4 620 622ACBD=。点评点评：本题考查圆、平面图形的面积等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力。解题 的关键有二，一是通过推理知道两条弦互相垂直并且有一条为圆的直径，二是能根据根据 面积分割的道理，推出这个四边形的面积就是两条对角线之积的一半。本题是一道以分析 问题解决问题的能力立意设计的试题。第 2页（共 24页）易错指导：易错指导：逻辑思维能力欠缺，不能找到解题的关键点，或是运算能力欠缺，运算失误， 是本题不能解答或解答错误的主要原因。 3.3.圆锥曲线的基本问题圆锥曲线的基本问题
6、： 椭圆椭圆、 双曲线双曲线、抛物线的标准方程及其性质抛物线的标准方程及其性质，求简单的曲线方程求简单的曲线方程. . 例例 4 4（08 年高考海南宁夏卷理 11）已知点 P 在抛物线 y2= 4x 上，那么点 P 到点 Q（2， 1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（）A. （41，1）B. （41，1）C. （1，2）D. （1，2）解析：解析：定点()2, 1Q在抛物线内部，由抛物线的定义，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q和抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线1y= 和抛物线24yx=的交点，解得这
7、个点的坐标是1, 14。点评点评：本题考查抛物线的定义和数形结合解决问题的思想方法。类似的题目在过去的高考 中比较常见。 易错指导易错指导：不能通过草图和简单的计算确定点Q和抛物线的位置关系，不能将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离，是解错本题或不能解答本题的原因。例例 5 5（08 年高考山东卷文 13）已知圆22:6480C xyxy+=以圆C与坐标轴的交 点 分别 作为 双曲 线的 一个 焦点 和顶 点， 则适 合上 述条 件的 双曲 线的 标准 方程 为解析：解析：22 1412xy=圆C和x轴的交点是() ()2,0 , 4,0，和y轴没有交点。故只能是点()2,0为双曲线
8、的一个顶点，即2a=；点()4,0为双曲线的一个焦点，即4c=。22212bca=，所以所求双曲线的标准方程为22 1412xy=。点评点评：本题考查圆和双曲线的基础知识，考查数形结合的数学思想。解题的关键是确定所 求双曲线的焦点和顶点坐标。 易错指导：易错指导：数形结合的思想意识薄弱，求错圆与坐标轴的交点坐标，用错双曲线中, ,a b c 的关系等，是不同出错的主要问题。 4.4.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 例例 6 6（08 年高考山东卷文 11）若圆C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线430xy= 和x轴相切，则该圆的标准方程是（）A2 27(3)13xy+=B
9、22(2)(1)1xy+=C22(1)(3)1xy+=D2 23(1)12xy+=解析解析： 设圆心坐标为(),a b， 则1b=且4315ab=.又0b， 故1b=， 由435a=得1 2a= （圆心在第一象限、 舍去） 或2a=， 故所求圆的标准方程是()()22211xy+=。点评点评：本题考查直线和圆的有关基础知识，考查坐标法的思想，考查运算能力。解题的关 键是圆心坐标。 易错指导易错指导：不能把直线与圆相切的几何条件通过坐标的思想转化为代数条件，或是运算求 解失误等。例例 7 7 （2008 年海南宁夏卷理 14）过双曲线22 1916xy=的右顶点为 A，右焦点为 F。过点 F第
10、3页（共 24页）平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_解析解析：双曲线右顶点()3,0A，右焦点()5,0F，双曲线一条渐近线的斜率是4 3，直线FB的方程是()453yx=， 与双曲线方程联立解得点B的纵坐标为32 15， 故AFB 的面积为1132322221515BAF y= =。点评：点评：本题考查双曲线的基础知识和运算能力。 易错指导易错指导：过右焦点F和渐近线平行的直线和双曲线只有一个交点，如果写错渐近线的方 程，就会解出两个交点，不但增加了运算量，还使结果错误。例例 8 8 （08 年高考江苏 12） 在平面直角坐标系中，椭圆)0( 12222 =
11、+baby ax的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆做圆M，若过点P 0 ,2ca，所作圆M的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为解析解析：过点 0 ,2ca作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形OAPB是一个正方形， 即圆心O到点P 0 ,2ca的距离等于圆的半径的2倍，即2 2aac=，故2 2cea=。点评点评：本题把椭圆方程、圆和圆的切线结合起来，考查椭圆的简单几何性质，体现了“在 知识的网络交汇处设计试题”的原则，较全面地考查了解析几何的基本知识。解题的突破 口是将圆的两条切线互相垂直转化为一个数量上的关系。 易错指导易错指导：陷入圆的两条切线互相垂直，不能通过数形结合的方法找到解
12、题途径等，是考 生解错本题的主要原因。例例 9 9（08 年高考广东卷理 18 文 20）设0b，椭圆方程为222212xy bb+=，抛物线方程为28()xyb=如图 4 所示，过点(02)Fb+，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得 ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出 这些点的坐标） 解析解析： （1）由28()xyb=得21 8yxb=+，AyxOBGFF1第 4页（共 24页）
13、当2yb=+得4x= ，G 点的坐标为(4,2)b+，14yx=，4|1xy=，过点 G 的切线方程为(2)4ybx+=即2yxb=+，令0y=得2xb=，1F点的坐标为(2,0)b，由椭圆方程得1F点的坐标为( ,0)b， 2bb =即1b=，即椭圆和抛物线的方程分别为2 212xy+=和28(1)xy=；（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的Rt ABP只有 一个，同理以PBA为直角的Rt ABP只有一个。若以APB为直角，设P点坐标为21( ,1)8xx+，A、B两点的坐标分别为(2,0)和( 2,0)，222421152(1)108644PA PBxxxx=+=
14、+ = i。关于2x的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的Rt ABP有两个， 因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。 点评点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法、抛物线的切线方程的求法、存在性问题的解决 方法、分析问题解决问题的能力，是一道几乎网罗了平面解析几何的所有知识点并且和导 数的应用交汇在一起的综合性试题，是一道“在知识网络的交汇处”设计的典型试题。 易错指导易错指导：本题把抛物线和椭圆结合在一起，题目的条件里还有两条直线，考生在心理上 畏惧，可能出现的问题是思维混乱，理不清题目中错综复杂的关系，找不到正确的解题思路；在解决第二问时缺乏分类讨论的思想意识产生漏解
15、等 四四 扫雷先锋扫雷先锋 易错点一、考虑不全面易错点一、考虑不全面例例 1 1 过（0，2）作直线l，使l与抛物线xy42=仅有一个公共点，这样的直线l有几条？错解：设直线l的方程为 ykx2，与xy42=联立，整理得. 0842=+yky因为l与抛物线仅有一个公共点，所以03216=k，解得.21=k此时l的方程为. 221+=xy所以这样的直线l有一条。剖析剖析： （1）问题之一，错解忽视了对斜率不存在这一情况的考虑，事实上，直线方程为 x0 时，是符合条件的。 （2）问题之二，得到方程. 0842=+yky后，方程不一定是一元二次方程。如果不是一元二次方程，当然就没有什么判别式了，故需按 k0 及0k两 种情况考虑。正解：正解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ykx2，与xy42=联立，整理得. 0842=+yky（1）k0 时，方程. 0842=+yky只有一个解 y2，故l为直线 y2 时与抛物线只有一个公共点，满足条件；第 5页（共 24页）（2）0k时， 因为l与抛物线仅有一个公共点， 所以03216=k， 解得解得.21=k此时l的方程为. 221+=xy当直线l的斜率不存在时，直线 x0 与抛物线只有一个公共点，满足条件。综上，符合条件的直线有三条：x0，y2，. 221+=
