决胜中考——探索性数学问题

《决胜中考——探索性数学问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《决胜中考——探索性数学问题（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、DBCA初中数学开放性探究性试题及解题策略初中数学开放性探究性试题及解题策略瑞金市壬田初中瑞金市壬田初中 谢清灵谢清灵个人邮箱个人邮箱： QQ： 电话：电话：随着基础教育课程改革和素质教育的全面推进，近几年在初中数学教学中和各省、市的中 考题中，出现了一批符合学生年龄特点和认知水平、设计优美、个性独特的开放题。开放题打 破传统模式，构思新颖，使人耳目一新。数学开放题被认为是当前培养创新意识、创造能力的 最富有价值的数学问题，加大数学开放题在中考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的 重要体现，对发挥学生主体性方面确实具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料。一、数学开放题的概述一、数

2、学开放题的概述 1、关于数学开放题的几种论述： 所谓开放性试题：是指那些条件不完善，结论不明确、不惟一，解法无限制的一类试题。 它是相对于 传统型试题而言的。两者的主要区别在于：传统型试题的条件是完备的，结果是 确定的（唯一的）：而开放性试题则是，要么条件不完备，要么结论不确定、不惟一，需要解 题者自己去探索.主要有如下的论述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放 题；（2）开放题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题；（3）有多处正确答 案的问题是开放题。这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会，在解题过程中，学 生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，学生可以

3、把自己的知识、技能以各种方式结合， 去发现新的思想方法；（4）答案不唯一的问题是开放性的问题；（5）具有多种不同的解法， 或有多种可能的解答的问题，称之为开放题；（6）问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多 余，称之为开放题。正因如此，开放性试题有利于学生的创造性思维的培养，更有利于学生素 质的提高，之所以越来越受到命题者的青睐。 2、数学开放题的基本类型：大概包括以下几种： （1）条件开放型这类问题一般是由给定的结论，反思，探索应具备 的条件，而满足结论的条件并不唯一 例 1、如图，AB=DB，1=2，请你添加一个适当的条件，使ABCDBE，则需添加的条件是。（2）结论开放型 这类题目就是在

4、给定的条件下，探索响应的对象是否存在。它有结论存在和结论不存在两 种情况。其基本解题方法是：假设存在，演绎推理，得出结论，从而对是否存在做出准确的判 断。 例 2、如图，O 的直径 AB 为 6，P 为 AB 上一点，过点 P 作O 的弦 CD，连结 AC、BC， 设BCD=mACD，是否存在正实数 m，使弦 CD 最短？如果存在，请求出 m 的 值；如果不存在请说明理由。 简析：假设存在正实数 m，使弦 CD 最短，则有 CDAB 于 P，从而cosPOD=OP:OD， 因为，AB=6，所以 cosPOD=30。于是ACD=15，BCD=75，故 m=5。A DC EB 1 2（3）策略开放

5、性类型解题策略（或方法）有多种，可根据问题情景寻求解法的一类问题。例 3、计算：11111 26122030，学生可能出现以下几种方法。方法 1：直接通分，相加后再约分。方法 2：原式=1111115()6026122030606。方法 3：原式=11111111115(1)()()()()122334455666 .方法 1 是常规方法；方法 2 体现的是一种化归思想，但也不简单；方法 3 转化为一些互为 相反数的和来计算，显然新颖、简便。（4）、综合开放性类型（组合开放型）也叫条件、结论同时开放试题条件结论都不 全或未知，需根据问题情景补充条件和结论。（这类型的试题的开放度大，相应难度高，

6、突出 考查的是寻求过程的多样性，解题的核心是怎样通过题设条件去联想、类比、归纳和猜想结论， 追求的是解决实际问题的数学思想和方法的多样性）。此外，设计开放型、举例开放型、实践开放型、信息开放型（限于篇幅不举例子） 。还有综 合开放型情境开放型等。这些开放题的条件、问题变化不定，有的条件隐蔽多余，有的结 论多样，有的解法丰富等。 二、开放题具有不同于封闭题的显著特点二、开放题具有不同于封闭题的显著特点 （1）数学开放题内容具有新颖性，条件复杂、结论不定、解法灵活、无现成模式可套用。 题材广泛，贴近学生实际生活，不像封闭性题型那样简单，靠记忆、套模式来解题。 （2）数学开放题形式具有多样性、生动性

7、，有的追溯多种条件，有的追溯多种条件，有的 探求多种结论，有的寻找多种解法，有的由变求变，体现现代数学气息，不像封闭性题型形式 单一的呈现和呆板的叙述。 （3）数学开放题解决具有发散性，由于开放题的答案不唯一，解题时需要运用多种思维方 法，通过多角度的观察、想像、分析、综合、类比、归纳、概括等思维方法，同时探求多个解 决方向。 （4）数学开放题教育功能具有创新性，正是因为它的这种先进而高效的教育功能，适应了 当前各国人才竞争的要求。 三、开放探索性试题备考策略：三、开放探索性试题备考策略： （一）数与式的开放题（一）数与式的开放题 此类题常以找规律的阅读题形式出现，解题要求能善于观察分析，归纳

8、所提供的材料，猜 想其结论。 例题：观察下列等式：9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 这些等式反映出自然数间的某种规律，设 n 表示自然数，用关于 n 的等式表示出来：。 策略小结：此类策略小结：此类“猜想性猜想性”开放题要求能够从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归开放题要求能够从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归 纳、比较、概括、猜想、探索出一般规律，解题的关键在于正确的归纳和猜想。纳、比较、概括、猜想、探索出一般规律，解题的关键在于正确的归纳和猜想。xy1 3x O-1DOAF B COA DE B CF（二）方程开放题（二）方程开放题 此类问题主要以方程

9、知识为背景，探索方程有解的条件或某种条件解的情况，求字母参数 的值。 例题：是否存在 k，使关于 x 的方程 9x2-（4k-7）x-6k2=0 的两个实数根 x1、x2，满足|x1- x2|=10 如果存在，试求出所有满足条件的 k 的值；若不存在，说明理由。 策略小结：此类策略小结：此类“存在性存在性”开放题，其解题的一般思路是先假定满足条件的结果存在，再开放题，其解题的一般思路是先假定满足条件的结果存在，再 依据有关知识推理，要么得到下面结果，肯定存在性；要么导出矛盾，否定存在性。依据有关知识推理，要么得到下面结果，肯定存在性；要么导出矛盾，否定存在性。 （三）函数开放题（三）函数开放题

10、 此类题是以函数知识为背景，设置探索函数解析式中字母系数的值及关系，满足某条件的 点的存在性等。 例题：已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像如图所示，问由此图像中所 显示的抛物线的特征，可以得到二次函数的系数 a、b、c 的哪些关系和结论。分析：a0；1 23b a即 2a+3b=0；c= -1；策略小结：此类策略小结：此类“图像信息图像信息”开放题，只有认真观察图像上所给出的各个数据及位开放题，只有认真观察图像上所给出的各个数据及位 置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论，数形结合是解此置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论，数形结合是解此 类题的重要数学

11、思想方法。类题的重要数学思想方法。 （四）几何开放题（四）几何开放题 此类问题常以几何图形为背景，设置探索几何量间的关系或点、线位置关系 例题：如图 1，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，A 是弧 BD 的中点，过 A 点的切线与 CB 的延长线交于点 E。 （1）求证：ABDA=CDBE （2）若点 E 在 CB 延长线上运动，点 A 在弧 BD 上运动，使切线 EA 变为割线 EFA，其他条件 不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图 2 注明条件，不要求证明） 分析：此题第（2）小题是一道条件探索性问题。其解法是“执果索因” ，要得到ABDA=CDBE，即要得ABECDA，

12、已有条件ABE=CDA，还需增加条件： BAE=ACD，或 BF=AD，或 BF=DA，或 FABD，或BCF=ACD 等。 策略小结：此类探索性试题，解答一般方法是策略小结：此类探索性试题，解答一般方法是“执果索因执果索因” ，能画出图形要尽量画出图形，能画出图形要尽量画出图形， 再结合图形逆向推导探索出需要增加的条件，为探索结论，可以作辅助线，对于结论未定的问再结合图形逆向推导探索出需要增加的条件，为探索结论，可以作辅助线，对于结论未定的问 题，也可反面思考，寻求否定结论的反例，达到目的。题，也可反面思考，寻求否定结论的反例，达到目的。 （五）综合性开放题（五）综合性开放题 此类问题是以几

13、何、代数综合知识为背景，考查分析，推理能力，综合运用知识解题能力。例题：如图，在ABC 中，AB=BC=2，高 BE=3，在 BC 边的延长线上取一点 D，使 CD=3。 （1）现有一动点 P，由 A 沿 AB 移动，设 AP=t，SPCD=S，求 S 与 t 之间的关系式及自变量 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当 t=时，过点 C 作 CHPD 垂足为 H；求证：关于 x 的二次函数 y= - x+2-（10k）x+2k 的图像与 x 轴的两个交点关于原点对称； （3）在（1）的条件下，是否存在正实数 t，使 PD 边上的高 CH=CD，如果存在，请求出 t 的 值；如果不存在，请说

14、明理由。分析：（1） （2）略。 （4）假设存在实数根 t，使得 CH=CD，则CDH=30 可推得BPD=90，则 BP=BD=2.5AB，这与 P 在 AB 边上矛盾，故这样的 P 点不存在。 策略小结：此类综合性开放题，需要学生综合题设条件，通过观察，比较、联想、猜测、策略小结：此类综合性开放题，需要学生综合题设条件，通过观察，比较、联想、猜测、 推理、判断等探索活动逐步得到结论，有时需分析运动变化过程，寻找变化中的特殊位置，即推理、判断等探索活动逐步得到结论，有时需分析运动变化过程，寻找变化中的特殊位置，即“动动”中求中求“静静” 、 “一般一般”中见中见“特殊特殊” ，再探求特殊位置

15、下应满足的条件，利用分类讨论思想，再探求特殊位置下应满足的条件，利用分类讨论思想， 各个击破。各个击破。 常见的开放题举例：常见的开放题举例： 例 1：在多项式 4x2+1 中添加一个条件，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 （只写出一个即可） 。 分析：要使多项式 4x2+1 成为一个完全平方式，可添加一次项，也可添加二次项，还可 添加常数项。 解：（1）添加 4x 可得完全平方式（2x+1）2 （2）添加-4x 可得完全平方式（2x-1）2 （3）添加-1 可得完全平方式（2x）2 （4）添加-4x2可得完全平方式 12例 2：已知反比例函数2kyx，其图象在第一、第三象限内，则 k 的值可为（写出满足条件的一个 k 的值即可）分析：对于反比例函数kyx（k是常数，k0） 。当它的图象在第一、第三象限时有k0，所以本题中应该是k-20，即k2。 解：k-20 k2 即只要k的值大于 2 就可以满足题目要求。 例 3：已知：ABC 内接于O，过点 A 作直线 EF，如图，AB 为直径，要使得 EF 是O 的切线，还需添加的条件是：（只须写出三种情况） （1）（2）（3） 分析：根据题目所给条件，要使得 EF 是O 的切线，关键是找到 ABEF 的条件 即可解决问题。 解：（1）CAE=B