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1、19.69.6 抛物线抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.抛物线的方程、简单性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线2抛物线的标准方程与简单性质y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0) 标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x
2、轴y轴焦点坐标F(p 2，0)F(p 2，0)F(0，p 2)F(0，p 2)离心率e1准线方程xp 2xp 2yp 2yp 2范围x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R开口方向向右向左向上向下2知识拓展1抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0 ，也称为抛物(p 2，0)p 2线的焦半径2y2ax(a0)的焦点坐标为，准线方程为x .(a 4，0)a 43设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.p2 4(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)2p sin2(3
3、)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线(a 4，0)方程是x .( )a 4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( )(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2(p 2，0)，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.( )p2 4(5)若直线与抛物线只有
4、一个交点，则直线与抛物线一定相切( )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为 2a.( )题组二 教材改编2过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于( )A9 B8 C7 D6答案 B解析 抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，3|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.3已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_答案 y28x或x2y解析 设抛物线方程为y22px(p
5、0)或x22py(p0)将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.题组三 易错自纠4设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是 4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )A4 B6C8 D12答案 B解析 如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点，过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2.由于点P到y轴的距离为 4，则点P到准线l的距离|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6.故选 B.5已知抛物线C与双曲线x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )Ay22x By22x2Cy24x Dy24x2答案 D解析 由已知可知双
6、曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，22则 ，所以p2，所以抛物线方程为y24x.故选 D.p 22226设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_答案 1,1解析 Q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.4题型一题型一 抛物线的定义及应用抛物线的定义及应用典例 设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_答案 4解析
7、 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为 4.引申探究1若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值解 由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，|PB|PF|BF|2，42225即|PB|PF|的最小值为 2.52若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值解 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)点P到y轴的
8、距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小值为3，|15|12122所以d1d2的最小值为 31.2思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关 “看到准线想焦点，看到焦点想准线” ，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径跟踪训练 设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1 的距离之和的最小值为_5答案 5解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知点P到直线x1 的距离等于点P到F的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点
9、A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.1120125题型二题型二 抛物线的标准方程和简单性质抛物线的标准方程和简单性质命题点 1 求抛物线的标准方程典例 (2017深圳模拟)如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为( )Ay2x By29x3 2Cy2x Dy23x9 2答案 D解析 分别过点A，B作AA1l，BB1l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|2|BF|，得|BC|2|BB1|，所以BCB130.又
10、|AA1|AF|3，6所以|AC|2|AA1|6，所以|CF|AC|AF|633，所以F为线段AC的中点故点F到准线的距离为p |AA1| ，1 23 2故抛物线的方程为y23x.命题点 2 抛物线的简单性质典例 已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；p2 4(2)为定值；1 |AF|1 |BF|(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为.(p 2，0)由题意可设直线方程为xmy ，代入y22px，p 2得y22p，即y22pmyp20.(*)(myp 2)
11、因为在抛物线内部，(p 2，0)所以直线与抛物线必有两交点则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以y y4p2x1x2，2 12 22 1 2 2所以x1x2.y2 1y2 2 4p2p4 4p2p2 4(2)1 |AF|1 |BF|1x1p21x2p2.x1x2px1x2p2x1x2p2 4因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，p2 4得 (定值)1 |AF|1 |BF|AB| p2 4p2|AB|pp242 p7(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，则|M
12、N| (|AC|BD|)1 2 (|AF|BF|) |AB|.1 21 2所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此跟踪训练 (1)(2017广西三市调研)若抛物线y22px(p0)上的点A(x0，)到其焦点的2距离是A到y轴距离的 3 倍，则p等于( )A. B11 2C. D23 2答案 D解析 由题意得 3x0x0
13、，即x0 ，p 2p 4即A，代入抛物线方程，得2，(p 4， 2)p2 2p0，p2.故选 D.(2)(2017郑州二模)过点P(2,0)的直线与抛物线C：y24x相交于A，B两点，且|PA| |AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为( )1 2A. B.5 37 5C. D29 7答案 A解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x2 的垂线，垂足分别为点8D，E.|PA| |AB|，1 2Error!又Error!得x1 ，2 3则点A到抛物线C的焦点的距离为 1 .2 35 3题型三题型三 直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的综合问题命题点 1 直线与抛物线的交点
14、问题典例 已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k_.MAMB答案 2解析 抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20，则抛物线C与直线必有两个交点设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，x1x24.8 k2所以y1y2k(x1x2)4k ，8 ky1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)MAMB(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.命题点 2 与抛物线弦的中点有关的问题典例 (2016全国)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程(1)证明 由题意知，F，设l1：ya，l2：yb，则ab0，(1 2，0)且A，B，P，Q，(a2 2，a)(b2 2，b)(1 2，a)(1 2，b)R.(1 2，ab 2)9记过A，B两点的直
