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1、第五章第五章数值微积分数值微积分第一节第一节等距节点求积公式等距节点求积公式1.1基本求积公式基本求积公式本章研究核心课题：本章研究核心课题：给定一个已知给定一个已知 f(x)，求其在区间上的积分。求其在区间上的积分。方法：给出一组节点后，利用函数在这组节点的插值多项式近方法：给出一组节点后，利用函数在这组节点的插值多项式近似代替函数进行积分，从而求出积分的近似值。似代替函数进行积分，从而求出积分的近似值。 ( )baI ff x dx01200 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )nnbbbniiaaainbiiaiaxxxxbI ff x dxQ fL x dxl x f x dxl
2、 x dx f x 记：记：则得到插值型求积公式，通常称为牛顿柯特斯公式：则得到插值型求积公式，通常称为牛顿柯特斯公式：显然，公式的计算误差为：显然，公式的计算误差为：等距节点时，等距节点时，记，记，求积系数为：，求积系数为：011011()()()()( )()()()()bbiin iiaaiiiiiinxxxxxxxxAl x dxdxxxxxxxxx 0 ( )nii iI fQ fA f x(1) 011 ( )()()()(1)!b n n aR fI fQ ffxxxxxx dxn,()/(0,1,2, )ixaihhban in,0, xa thtn0( 1)(1)(1)(1)
3、()!()!n inihAt ttititn dti ni 为方便计算，引入为方便计算，引入此时，牛顿柯特斯公式变为：此时，牛顿柯特斯公式变为：这里，我们称这里，我们称为柯特斯系数，下面的表中给出了常用的为柯特斯系数，下面的表中给出了常用的 柯特斯系数。柯特斯系数。001( 1)(1)(1)(1)()()() !()!( 1)(1)(1)(1)()!()!n inn iin inhCAt ttititn dtbaba i nit ttititn dtn i ni 0 ()( )n n ii iI fQ fbaC f xn iC柯特斯系数表柯特斯系数表n系数系数11/21/221/62/31/6
4、31/83/83/81/847/9016/452/1516/457/90519 28825 9625 14425 14425 9619 288641 8409 359 28034 1059 2809 3541 8407751 172803577 172801323 172802989 172802989 172801323 172803577 17280751 172808989 283505888 28350-928 2835010496 28350-4540 2835010496 28350-928 283505888 28350989 28350n=1时，称为时，称为梯形公式梯形公式，n
5、=2时，称为时，称为Simpson公式（辛浦生）公式（辛浦生），n=4时，称为时，称为柯特斯公式柯特斯公式(Cotes)，3 01()1 ()( ) , ( )212baI fQ ff xf xR fh f 5(4) 012()1 ()4 ( )() , ( )690baI fQ ff xf xf xR fh f hb a ()/2hba()/4hba012347(6)() 7 ()32 ( ) 12 ()32 ()7 ()90 8 ( )945baI fQ ff xf xf xf xf xR fh f 1.2复化求积公式复化求积公式 计算积分时，常常将积分区间分成许多小区间，在每个小区间计算
6、积分时，常常将积分区间分成许多小区间，在每个小区间 上应用基本积分公式，上应用基本积分公式，再相加得到新的求积公式，这种公再相加得到新的求积公式，这种公 式称为式称为复化求积公式复化求积公式。复化梯形公式复化梯形公式，区间，区间 n 等分，分点为等分，分点为，步长，步长： 112( )( )22 ()( ), , 12nk khI fT hf af xf bhR fba fa b kx()/hban区间区间2n等分等分，则得到，则得到复化辛浦生公式复化辛浦生公式()/2hban 1212 114 (4)( )( )423 ()( ), , 180nnkk kkhI fS hf af xf xf
7、 bhR fba fa b 例：利用各种公式计算例：利用各种公式计算sinx在区间在区间0 , /2上的积分。上的积分。 结果为：结果为：梯形公式：梯形公式：0.7854Simpson公式：公式：1.0023柯特斯公式：柯特斯公式：0.9999复化梯形公式：复化梯形公式：100个点计算结果，个点计算结果，0.99978复化辛浦生公式：复化辛浦生公式：100个点计算结果，个点计算结果，0.999987准确值：准确值：cos(0.0) - cos( /2)=0.999987DOUBLE PRECISION h,sum,sum1，pai integer n OPEN(10,FILE=INPUT.DA
8、T,STATUS=“UNKNOWN“) OPEN(20,FILE=OUTPUT.DAT,STATUS=“UNKNOWN“)pai=3.14159 h=pai/2/4 sum=pai*(32*sin(h)+12*sin(2*h)+32*sin(3*h)+7*sin(4*h)/180.0n=100 sum1=0.0 h1=pai/2/100 do 10 i=1,99 sum1=sin(i*h1)+sum1 10 continue sum1=(sin(0.0)+sum1*2+sin(100*h1)*h1/2write(20,*) sum,sum1 END变步长积分法变步长积分法：实际计算中，常常采取
9、如下策略：事先给出某个步长实际计算中，常常采取如下策略：事先给出某个步长（可（可以稍大一点），然后逐次减半，直到某前后两次计算的偏以稍大一点），然后逐次减半，直到某前后两次计算的偏差差在精度范围内为止。在精度范围内为止。对于梯形法，步长二分前后梯形公式值有如下递推关系式：对于梯形法，步长二分前后梯形公式值有如下递推关系式：首先，设步长为首先，设步长为，等分后得：等分后得：h /2I hI h213211( ( )()()22nnnhTTf xf xf xbahnixaih 1111( )22nnk kI fThf af xf b类似的可以得到变步长的类似的可以得到变步长的辛浦生辛浦生公式：公式
10、：22213nnnnSTTT例：计算积分，直到相邻两次计算绝对值小于例：计算积分，直到相邻两次计算绝对值小于0.01精确值精确值数值结果数值结果用辛浦生公式用辛浦生公式可以看出，对于同一步长，可以看出，对于同一步长，辛浦生公式计算比梯形公式好辛浦生公式计算比梯形公式好!1204 1Idxx11 02044|1Idxarctgxx(1)3 ,(1/2)3.1 ,(1/4)3.13117647TTT(1/8)3.138988493(1/4)(1/8)0.01TTTstop1(1/8)(1/8) (1/8)(1/4)3.14159253STTT1.3 代数精度与待定系数法：代数精度与待定系数法：一般
11、地一般地，取取内若干个内若干个(n个个)节点节点处的函数值处的函数值，求求积公式可以表示为：积公式可以表示为：定义：称求积公式具有定义：称求积公式具有m阶（代数）精度阶（代数）精度，如果它对于一切，如果它对于一切不超过不超过m次多项式是准确的，但对于次多项式是准确的，但对于m+1次多项式不准确。次多项式不准确。取取 f(x) = 1 , x ，容易推出系数满足：容易推出系数满足：, a bix if x 0nbiiaif x dxA f x2200110,()/2,()/1nniii iin mmm ii iAbaAxbaAxbam1.4 广义皮亚诺定理广义皮亚诺定理 广义皮亚诺定理：设下面的
12、积分计算公式具有广义皮亚诺定理：设下面的积分计算公式具有m阶代数精度阶代数精度则其计算误差为：则其计算误差为： 0 nii iQ fA f x(1)01 ( ) ( )( )( )()()()(1)! , mmiR f xR e xfxe xxxxxxxm xa b 1.5 求积公式的舍入误差求积公式的舍入误差舍入误差分析表明：求积分公式舍入误差分析表明：求积分公式的系数一般要大于零！的系数一般要大于零！ n较大时的牛顿柯特斯公式由于有系数较大时的牛顿柯特斯公式由于有系数 小于零，所以不能用！小于零，所以不能用！ 0 nbiiaiI ff x dxA f x第二节第二节龙贝格积分法龙贝格积分法
13、复化梯形公式计算值与积分精确值之间有如下关系复化梯形公式计算值与积分精确值之间有如下关系(h为步长为步长)：因此，用因此，用作为积分精确值作为积分精确值的近似值，误差为：的近似值，误差为：容易看出：容易看出：则则24 12 ( )I fT haha h( )T h I f242 12()aha hO h00 104( /2)( )( ),( )( )3T hT hT hT hT h46 123 ( )I fT hb hb h由此可得龙贝格积分法（逐次分半加倍法或梯形公式外推由此可得龙贝格积分法（逐次分半加倍法或梯形公式外推法）：法）：的计算误差为的计算误差为。下面，给出龙贝格积分法在计算机上实
14、现的具体计算步骤。下面，给出龙贝格积分法在计算机上实现的具体计算步骤。引入记号引入记号， i 表示将区间表示将区间a , b i 等分。等分。步骤如下：步骤如下：02 11 2( )( )2( /2)( )( )21k kk kkT hT hThThT h( )kT h2(1)()kO h00,( /2 )iii kTTT h1、求、求2、把区间二等分，计算、把区间二等分，计算3、把区间再对分（设、把区间再对分（设等分）计算等分）计算，依次计算，依次计算最后求出最后求出4、如、如，则可以将，则可以将作为积分的值，否则继续按作为积分的值，否则继续按 照第三步计算。照第三步计算。00 00, ( )( )2baTTf af b1 00( /2)TT h1010 010000 104 4 14 1TTTTTT0iT2m11 11111 11,2,3,4,0,1,4141kiiii iikkkk kkkkkmTTTTTTimk 0 mT00 1mmTT计算流程为（计算流程为（称为称为 T 数表数表）：）：0 010 01210 0123210 0123TTTTTTTTTT用用 梯梯 形形 公公 式式 计计 算算例：计算例：计算首先：首先：按流程得下表按流程得下表101 1Idxx(
