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1、11车 辆 随 机 振 动车 辆 随 机 振 动理 论 及 应 用理 论 及 应 用主 讲：马 天 飞电子讲稿电子讲稿2车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞第 三 章动力可靠性分析3车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞第一节疲劳分析简介4一、基本概念车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞1、疲劳（fatigue）： 在某点或某些点。5二、结构的破坏形式车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞1、首次超越（偏移）
2、破坏是指结构关键部位的随机响应过程Y(t)首次超出上限值U或下限值L，结构便失效。6二、结构的破坏形式车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞1、首次超越（偏移）破坏假设Tf为发生超限前持续工作的时间，即首次超越时间。显然Tf为一个连续型的随机变量，其分布函数为表示在时刻t之前失效的累计概率。表示在规定时间T内失效的概率，则可靠度为( )fTfFtP Tt=( )fTFT1( )fRTPFT= 27二、结构的破坏形式车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞2、疲劳破坏 是由响应Y(t)的中、小幅值成份引起的
3、。 每一个工作循环对结构产生一定的损伤，当累积损伤达到某一固定值后，结构就破坏。 疲劳寿命的分析方法根据曼纳（Miner）提出的累积损伤理论进行。8二、结构的破坏形式车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞2、疲劳破坏 曼纳认为结构的累计损伤为 当累计数D1时，结构便破坏；而当D1时，认为结构有一定损伤但并没有破坏。iiinDN=9车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞第二节平稳高斯窄带过程的统计特性10一、宽带过程与窄带过程车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞
4、飞飞 根据随机过程所含频率成份的多少，即功率谱频带宽窄的不同，可以分为窄带随机过程和宽带随机过程。 窄带过程的自功率谱密度函数具有尖峰特性，并且只有在尖峰附近的一个很窄的频带内，才取有意义的量级。 它的极端情形是相位随机变化的正弦波。11一、宽带过程与窄带过程车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 宽带过程的功率谱密度函数在相当宽的频带上取有意义的量级。 它的极端情形是理想白噪声。12二、窄带过程的理想化自谱车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 单自由度系统在受到宽带激励时，响应过程是窄带过程。313
5、二、窄带过程的理想化自谱车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 将响应过程的自谱曲线理想化成直线，用下式描述 自相关函数为减幅正弦波 据此推测，Y(t)也是频率近似为0的周期函数，近似为变幅变相的正弦波。000,( )220,YSS+=其它0021sin(/2)( )( )cos2jYYSRSed +=14三、响应过程的概率密度函数车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 假设响应Y(t)为平稳高斯过程，则它的一维和二维概率密度函数取决于。 当时，即； 其导数过程的均值等于原过程均值的导数，； 它们的方差
6、 Y(t)与在同一时刻是正交的，所以。YYYYYY&、 ( )0YR 0Y =0Y =&2201( )( )2YYSE YtSd+=3320213YS=&( )Y t&0YY=&15三、响应过程的概率密度函数车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞22220011( )exp()222YyYyf yeSS=222211( , )( )( )exp22YYYYyyf y yf yf y =+&16车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞第三节穿 越 分 析17一、概念车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理
7、论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞穿越分析研究的是在规定时间T内响应时间历程曲线正穿越水平线ya的次数。 时间历程曲线穿过水平线ya，称为穿越； 若以正斜率穿越ya，称为正穿越； 若以负斜率穿越ya，则称为负穿越。18一、概念车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 一个样本函数在时间T内出现正穿越ya的次数，称为正穿越次数，用表示；显然它是一个随机变量。 它的集合平均，表示在时间T内正穿越y(t)a次数的均值，称为平均正穿越次数。显然，平均正穿越次数正比于时间段长度T是单位时间内正穿越y(t)a的平均次数，称为期望频率或平均频率。( )an
8、T+( )( )aaNTE n T+=( )aaNTT+=a+419二、正穿越水平线ya的条件车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 Y(t)在(t,t+dt)时间间隔内正穿越水平线ya的条件是 y(t)a。或者可以写成( )( )( )ay ty tay tdt&且( )( )( )y tay tay t dt &且20二、正穿越水平线ya的条件车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 几何意义：在坐标中满足上述条件的点都落在图中三角形阴影区域中，而在该区域之外的点就不会发生正穿越。yoy &21三、正
9、穿越水平线ya的概率车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 在dt时间内y(t)正穿越ya的概率等于二维概率密度函数曲面与三角形阴影区域的底面所构成的楔形体积。( , )f y y &10( , )( , )DaaydtayPP yaydtf y y dydydyf y y dy+=&I22三、正穿越水平线ya的概率车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 因为微元时间 dt很小，所以只有在 y(t)非常接近 a的情况下才会出现正穿越水平线 y=a的事件，可以认为则( , )( , )f y yf a y
10、&1000( , )( ( , )( , )aaydtPdyf a y dydy f a yydtdty f a y dy+=&23四、正穿越a的期望频率车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 在dt时间内正穿越ya的平均次数为。 显然，当dt很小时，可以认为dt时间内正穿越ya的平均次数与dt内发生正穿越a的事件的概率是相等的。即 从而得到适用于平稳过程正穿越a的期望频率的一般表达式adt+0( , )adtdty f a y dy+=&0( , )ay f a y dy+=&24四、正穿越a的期望频率车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论
11、论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 当Y(t)为平稳高斯过程时，假设均值为零，则有其期望频率2220( , )2YaYaYy f a y dye+=&22222211( , )( ) ( )22YYyaYYf a yf a f yee=&525四、正穿越a的期望频率车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 正穿越y0的期望频率为 从而，平稳高斯过程正穿越a的期望频率表达式 对于平稳过程，总有（例题3-1）02YY+=&2220Yaae+=aa+=26车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞第四节峰 值
12、 分 布27一、平稳窄带过程的峰值分布车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 峰值分布研究的是响应过程循环幅值的分布情况。 y(t)为一平稳窄带过程Y(t)的样本函数。显然，发生一次正穿越y=a的事件，必出现一个峰值大于a的峰。28一、平稳窄带过程的峰值分布车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 在一足够长的时间T内，正穿越ya的平均次数为，它等于这段时间里出现的峰值大于a的峰的平均个数。 而在这段时间内，正穿越y0的平均次数为。 对于窄带过程，所有极大值均出现在y0以上，而所有极小值均出现在y0以下，
13、因此就等于峰出现的平均个数。 则峰值大于a的峰出现的概率等于。aT+0T+0T+0/a+29一、平稳窄带过程的峰值分布车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 峰值小于a的峰出现的概率等于（1-）； 对于峰值 P这个连续型随机变量，其分布函数 因为Y(t)是平稳窄带过程，所以与a无关，是常数。则峰值的概率密度函数0/a+0( )1/PaF aP Pa+= 0+0( )1( )aPPddF afadada+= 30一、平稳窄带过程的峰值分布车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 当Y(t)为平稳高斯过程时，
14、有 则它峰值的分布函数和概率密度函数分别为2220Yaae+=222( )1YaPF ae= 2222( )YaPYafae=631一、平稳窄带过程的峰值分布车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 平稳高斯窄带过程的峰值分布服从瑞利分布2222( )YaPYafae= 曲线关于直线是不对称的； 当时，曲线有极大值； 峰值 P非常小或非常大的概率很小，而且大多数峰值都出现在标准差附近。 （例题3-2）Ya=32二、平稳宽带过程的峰值分布车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 随机过程Y(t)的极大值（峰值
15、）出现的平均频率称为极大值频率。 平稳宽带过程Y(t)的峰出现的条件是，在t时刻这也是负穿越的条件。( )0( )0y ty t=+=& &0dt ( )0y t &00000( , , )( ,0, )( ,0, )dtydtydyf y y y dydyf yy dydty f yy dy= & &0( ,0, )aP Yadtdyy f yy dy= & &36二、平稳宽带过程的峰值分布车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 令(a)为单位时间内峰值大于a的峰出现的平均次数，则dt时间内峰值大于a的峰出现的平均次数（大量样本的集合平均）为(a
16、) dt。它等于dt时间内峰值大于a的峰出现的概率，即则0( )( ,0, )aa dtP Yadtdyy f yy dy= &0( )( ,0, )aadyy f yy dy= & &737二、平稳宽带过程的峰值分布车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 单位时间内峰出现的平均次数（即极大值频率）为则峰值的分布函数可以表示为单位时间内峰值小于a的峰的平均个数与所有峰的平均个数的比值 此式也代表峰值小于a的峰所占的百分比。00()( ,0, )(0, )dyy f yy dyy fy dy+ = = & & &()( )( )( )1()()paa
17、F a = 38二、平稳宽带过程的峰值分布车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 峰值分布的概率密度函数为因为则所以( )1( )( )()ppdF adfaadada= 01( )( ,0, )()pfay f ay dy= & &0( )( ,0, )aadyy f yy dy= & &0( )( ,0, )day f ay dyda=&39二、平稳宽带过程的峰值分布车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 如果Y(t)为0均值的平稳高斯过程，可以得到式中，为误差函数；为波形不规则系数。()()()(
18、)11112222222112222( )2(1)exp2(1)2122exp2pYYYYYfaaaaaerf=+ 202uerfedu=0()+=40二、平稳宽带过程的峰值分布车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 因为Y(t)是平稳高斯过程，则亦为平稳高斯的，有所以( )Y t&002YyY+=&()002YyyY+= =&20/(2)()/(2)YYYYYYY +=&41二、平稳宽带过程的峰值分布车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 当=1时，说明有一次正穿越y0就有且只有一个峰出现。这时的Y(
19、t)为平稳高斯窄带过程，其峰值分布服从瑞利分布。 当非常小时，峰值分布近似为高斯分布。 对于一般的平稳高斯过程，在0和1之间，其峰值分布的概率密度函数既不是瑞利分布，也不是高斯分布，而是这两种分布形式的线性组合。（例题3-3、3-4）()0+ =42车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞第五节随机振动引起的疲劳破坏843一、材料的疲劳曲线车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 假设窄带过程S(t)为随机应力响应。 疲劳曲线sN中，si为应力循环幅值，相应的Ni为在应力幅值固定在si下产生破坏的应力循环次
20、数。44二、曼纳的假说车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 在幅值为si的循环应力作用下至疲劳破坏的循环次数为Ni； 而实际上在si下发生的循环次数为ni，这ni次循环造成的损伤分量则为ni/Ni； 当在其各种幅值的应力循环作用下损伤量累积到1时，即则发生疲劳破坏。1iiinN=45三、随机振动引起的疲劳破坏车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 在幅值为s的随机应力循环作用下，引起的疲劳破坏的总循环次数为N(s)，则一个循环产生的损伤分量为1/N(s)。 在时间T内，峰值为s的应力循环出现的平均次数
21、可以看作是峰值处于(ss+ds)范围内的峰的平均个数。46三、随机振动引起的疲劳破坏车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 应力峰值处于(ss+ds)间的平均百分数（或概率）为 在时间T内所有应力循环的平均次数为 因此在时间T内幅值为s的应力循环平均次数为它就是应力峰值为s的应力循环平均次数。( )Pfs ds0T+0( )PTfs ds+47三、随机振动引起的疲劳破坏车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 于是在时间T内，幅值为s的应力循环引起的损伤分量为 在时间T内各种幅值的应力循环引起的累计损伤分
22、量为0( )( )PTfs dsN s+00i1D=( )( )iPinTfs dsNN s+=48四、平稳高斯窄带过程引起的疲劳破坏车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 对于平稳高斯窄带过程，应力峰值分布为瑞利分布 由sN曲线可以写出 得到累积损伤分量2222( )YsPYsfse=0( )bbrdN ssCNs=()222100202(1)2YsbbYYTTbDsedsCC+=+949四、平稳高斯窄带过程引起的疲劳破坏车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 根据曼纳理论，取D1，可以得到出现疲劳损
23、坏前的寿命 误差来源：对疲劳规律的认识不够，即曼纳的理论有误差；对随机响应过程的认识不够，计算结果有统计误差；对材料的特性认识不够，试验得到的s-N曲线存在误差。()02(1)2bYCTb+=+50车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞第六节随机振动引起的首次超越破坏51一、穿越界限值的次数车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 设Y(t)为结构关键部位的响应过程。 当考虑到界限值a1和a2很大时，其时间历程y(t)穿越界限值的机会很少，可以认为穿越是独立发生的事件。 穿越界限值的次数 Y 就是一个离散
24、型随机变量，并服从泊松分布。52一、穿越界限值的次数车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 对于泊松分布，分布列为 其数学期望!keP Ykk= 0kE Yk P Yk=53二、首次超越问题的可靠度车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 令表示在时间T内y(t)以正斜率穿越ya1的次数，则随机变量的数学期望 可见，就是泊松分布的分布列中的参数。 由此得到在时间T内y(t)以正斜率穿越 ya1次数为i的概率1( )anT111( )( )aaaE nTNTT+ =1( )anT1aT+()111( )!a
25、iTaaTP nTiei+=54二、首次超越问题的可靠度车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 同理，在时间T内y(t)以负斜率与y-a2穿越次数为i的概率为 假设正穿越和负穿越事件相互独立，则在时间T内，y(t)不超过界限值的概率为 这就是双侧不等界限问题的可靠度。()222( )!aiTaaTP nTiei=1212()12(,)( )0( )0aaTRaaP aaP nTP nTe+=1055二、首次超越问题的可靠度车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 具有双侧等界限的问题不发生首次超越的可靠度
26、为 具有单侧界限时，在时间T内平稳过程Y(t)不超越ya的可靠度为 当Y(t)为平稳高斯过程时，可靠度为2( ,)aTRP aae+=( )aTRP ae+=2222( )aYYYTeRP ae=&56三、首次超越时间的统计特性车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 在时间T内发生首次超越破坏的概率为(1-PR)，这就是首次超越时间TfT的概率，即首次超越时间Tf的分布函数 对于单侧界限a，有则首次超越时间的概率密度函数( )1fTfRFTP TTP= ( )1afTTFTe+= ( )( )affTTTadfTFTedT+=57三、首次超越时间的统计特性车车车辆辆辆随随随机机机振振振动动动理理理论论论及及及应应应用用用马马马天天天飞飞飞 首次超越时间（寿命）的均值 首次超越时间（寿命）的均方值 首次超越时间（寿命）的标准差（例题3-5）01( )ffTaE TTfT dT+ =()22202( )ffTaE TT fT dT+ =()221fTffaE TE T+=58
