《利用等差数列的性质巧解题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用等差数列的性质巧解题（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、辅教 导学 数 学通讯2 O 1 O年第 7期( 上半 月) 5 利用等差数列的性质巧解题 刘元利 ( 湖北省武汉市关 山中学 ，4 3 0 0 7 4 ) 等 差数 列是 一 种 非 常重 要 的数 列 ， 它 不 仅 知 识 内涵丰 富 ， 与其 它知 识联 系紧 密 ， 而 且 应 用非 常 广泛 特 别是 它有许 多 有用 且 有趣 的性 质 ， 掌握 这 些性 质对 解有 关 等差数 列 的题 目往 往 会 起 到事 半 功倍 的作 用 性质 l 在 等 差 数 列 a )中 ， n 一 a 一 甘 l d a 例 1 已知等差 数列 n ) 中 ， a + 3 a s +a s 一
2、 1 2 0 ， 则 2 n 9 一 a 1 o一 ( ) ( A) 2 0 ( B) 2 2 ( C) 2 4 ( D)一 8 解 a 1 +n 1 5= = ： 2 a 8， 口 1 +3 a 8 +8 1 5 5 a 8 1 2 0 ， 从 而 a 8 2 4 又 2 a g a 1 o= a g + a 9 一 口 1 o= a 9 一 d= a 8 2 4 ， 故 选 ( C) 点评 由已知等式( 一个)不可能求出 a 和 d， 问题看 似 无解 ， 但巧用 性 质 1 ， 则 问题迎 刃而解 1 例 2 在等差数列 口 )中， 公差 d= 妄， S 。 。 厶 一4 5 ， 则 n
3、 1 + a 3 + a 5 + + a 9 9一 解 。 。 S l o o a l十a 2 + a 3+a 4 + + a 9 9+ a1 o o=4 5， 计l d a ， 。 a 1 + ( 口 2 一 )+ a 3 + ( 口 4 一 d)+ + a 9 9 + ( 口 l 0 o )一 4 5 5 0 d， al+ a1+ 。 3+ a3十 + a 9 9+ a9 9 1 4 55 0 一 2 O ， 厶 2 ( 。 l + a 3 + 。 5 + + n 9 9 )一 2 O 1+ a3+ a 5十 + 9 9 1 0 点 评 本 题若 直 接利用 求和 公 式来 求显 然较 繁
4、 ， 且 容 易 出错 性 质 2 在 等 差数 列 a )中 ， 若 m， n ， P， q N ， 且 m + n P+ g ， 则 a + a 一 a + a 口 特 别 地 ， 当 m+ ： = = 2 p时 ， 有 a + a 一 2 a 例 3 在 等差 数列 中 ， 3 ( a s + a s ) +2 ( n + a 1 。 + a 1 3 )一 2 4 ， 则 S l 3一 ( ) ( A) 1 3 ( B) 2 6 ( C) 5 2 ( D) 5 6 解 。 。 3+ 5 4+ 4， a 3+a s： 2 a ； 又 7+ 1 3 1 0+ 1 0， a 7 + a 1 3
5、= 2 a 1 o ； 结合 已知条 件等 式 ， 得 3 2 口 +2 ( 2 a 。 + a 。 ) =2 4 6 ( 口 4 + a 1 o )= 2 4， a 4+ a 1 o= 4 S l ： ： 一 2 6， 故选 ( B ) 点评 利用 性质 2时最 易犯 a 1 + 口 3 一 a 4 ， a 2 + a 5 +口 6 一 a 1 3 一 a 8 +a 5 等错误 ， 这 一点应 引起 大 家 的足 够 重视 性质 3 在 等差 数 列 a )中， 口 一 一 ( 2 n一 1 ) ( 口 l + 2 ， 广 1 ) a1+ 口 2 1 2一一 一一 一S塾 一 2 2n一 1
6、 2 n一 1 例 4 两个 等差 数 列 a 和 b 的前 项 和 分 别 为 s 和 T ， 则 一 孚， 则 使 得 为 整 n ， 0 数 的正 整数 的个 数是 ( ) ( A) 2 ( B) 3 ( C) 4 ( D) 5 解 根 据 性质 3可得 ， S2 r1 口 2 n一 1 S 2 l 7 ( 2 n一 1 )+ 4 5 一= = - 一 b T 2 一l T2 ，广 1( 2 n一 1 )+ 3 _ 二 = 7+ ， 欲 使 为整 数 ， 则必 须 + 1 为 1 2 的约 数 ， 又 N ， 从 而 + 1 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 1 2 ， 相应 地 一 1
7、， 2 ， 3 ， 5 ， 1 l ， 故选 ( D) 例 5 设 A ， B 分 别 为等差 数列 a 、 b ) 的 前 项 和 ， 且 = ， 求 0 5 D 十 4 6 数学通讯2 0 1 0年第 7期( 上半月) 辅教导学 解 根 据性 质 3 ， 有 A2 l o l 一 = 一 旦 b 5 B2 5 一 l 1 9 B9 2 5 1 9 1 9 9 = =一= =一 1 9 9+ 4 1 3 例 6 设 S 是等差 数列 a 的前 项 和 ， 若 a一 2 n 1 测 一 一” S 解 设数 列 口 的公 差 为 d ， 首 项 为 a 。 ， 由 = 得 窜 = ， 从而 d一
8、 2 a ， 2 n ( 2 n一 1 ) d S2 1一z撇 十 一一 一 一 一 点评 利 用 性 质 3解 题 必 须 注 意 条 件 ， 即 S ， r 一 ( 2 一 1 ) 口 ， 如果 两下标 之 间不具备 这种 关 系 ， 则不 能用 它来解题 ， 如例 6用 性 质 3无 法 顺利 解决 性质 4 等差数列 a ) 中， 依次每 项的和仍 成等 差 数 列 ， 即 S ， S 2 一 S ， S 。 一 S 。 ， ， S h S 卜 ， 也 成 等 差 数 列 ，特 别 地 ， S 。 一 3 ( S 一S ) 例 7 在等差 数列 a )中 ， ( 1 )若 S 1 。一
9、 3 0 ， S 2 。= 8 O ， 求 S ( 2 ) 若 a l +a 2 + + a 9 7 ， a 5 5 +a 5 6 + + 口 6 3 2 5 ， 求 a 9 1 + a 9 2 + + a 解 ( 1 )由性 质 4可 知 ， S S 2 。 一 5 1 。 ， 5 3 。 一 S ： 。 也 成等差 数列 ， 从 而 2 ( S 2 o S l 0 )一 S l o + S 3 0 一 S 2 。 ， 。S 3 o一 3 ( S 2 。一 S 1 。 )一 3 ( 8 O一 3 0 )一 1 5 O ( 2 )由性质 4可知 n 1 + a 2 + + a 9 ， n 1
10、0 +a 1 l + +a 1 8 ， n l 9 +a 2 o + + 口 2 7 ， 仍 成等 差数列 ， 不 妨设该 数列依 次 为 b ， b ， b 。 ， 公 差 为 D， 则 问 题 转化 为 ： 已知 b 一 7 ， 6 ： = ： 2 5 ， 从 而 6 D 一 2 5 7 1 8， 。 D = 3 b l 1= a 9 1+ a 9 2 + + a 9 9 = b 十 4D 一 25+ 4 3 2 5+ 1 2 37 点评 若 直接 用 等差 数 列 前 项 和 公 式 求 解 ， 则 计算 烦琐 ， 而根据 性质 4则可柳 暗花 明 性质 5 在 等差数 列 a ) 中
11、， ( 1 )若 a 0 ， d 0 ， 则 S 中有最小 项 例 8 在 等差数列 a )中， 若 a 一3 ( ， z 一1 2 ) ， 则此数列前多少项的和 最 小? 若 a 。 0 ， S 一 S ， 则 此数列 前 多少项 的 和最大 ? 若 a 0 ， S 一 S ， 则此数 列前 多少 项 的 和最大 ? 解 易知 a 。 一一3 3 0 ， 故所 有负数 项加起 来最小 ， 由 口 O 1 2 ， 说 明从第 1 项到第 1 1 项各项为负 ， a ： 一 0 ， 1 3 项以后 各项 为正数 ， S 一 S 为最小 。 a 0 ， S 一 S 。 a ) 为递减数 列 ， 公
12、 差 d 0 及 S 。 一 S 知公差 d 0 ， 故 S 。 2一 S 。 为最 大 点 评 事 实上 ， 在 等差数 列 a ) 中， 当a 0 且 S 一 S 时， 若 + 为偶数 ， 则 S 为最大 ； 若 m+ 为 奇数 ， 则 S = = ： S 为最 大 性 质 6 在等差数 列 a )中 ， 设公差 为 d， 则 ( 1 ) 点 列 ( ， n ) 是 斜率 为 d的直 线上 的 一群 孤 立的点 ； ( 2 ) 数列 是一 个 公差 为 的等 差 数列 ， 且点 列 ( ， )是 斜 率为 的直 线 上 的一 群 孤立 的点 ； ( 3 )点列 ( ， S )是抛物线 y一
13、 。 + 的图 象 上 的一 群孤立 的点 例 9 在 等差 数列 a )中 ， ( 1 )若 a 4 3 ， a 8 1 0 ， 求 a l 1 ( 2 )若 S 1 。 一 1 0 0 ， S 1 。 。= 1 0 ， 求 S 1 l 0 解 ( 1 )由性质 6可 知 ( 4 ， a ) ， ( 8 ， a ) ， ( 1 1 ， )在 同一 直线上 ， 一昔 一 ， 一 二 一 T 丁一 ( 下转 第 9页) 辅教导学 数学通讯 2 0 1 O年第 7期( 上半月) 9 变式 问题 之二 把底 面边 长 为 2 ， 高为 h一 1 的正三棱锥 P - AB C放置在平面a上 ， 把 B
14、 C固定在 平面 a上转 动正 三棱 锥 ， 在转 动过 程 中 ，正三 棱 锥 P - AB C在 平 面 a上 的射影 不 可能 为 ( ) ( A)等腰三角形 ( B ) 直角三角形 ( C) 矩形 ( D) 菱形 解 答 其 射影 若 是 矩形 ， 由于其 对 角线 互 相 垂 直 ， 则 此 矩 形 必 为 正 方 形 ， 由 变 式 问题 之 一 可 知 ： h一 _Z 4 - 6 ， 得 矛盾 故选( C ) 变式 问题 之 三 把 底 面 边长 为 2 ， 高 为 h= ： ： 的 i F _ -=棱 锥 P - ABC放 置在 平面 a 上 ， 把 B c固 0 定在平 面 a 上 转动 正三 棱锥 ， 在 转动过 程 中 ，正 三 棱锥 P - ABC在 平面 口上 的射 影 的面积 S的取值 范 围是 解答 当 一 时 ，正三棱 锥 P - AB C恰 。 为正四面体 ，
